Câu 34: Đáp án B
Đặt $SO'=x$. Theo định lí Talet ta có: $\dfrac{x}{h}=\dfrac{r'}{r}\left( 0<x<h \right)$
Thể tích khối trụ là $V=\pi r{{'}^{2}}\left( h-x \right)=\pi \dfrac{{{\left( xr \right)}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)=f\left( x \right)$
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{x}^{2}}\left( h-x \right)$
Cách 1. Xét $M\left( x \right)={{x}^{2}}\left( h-x \right)$
Cách 2. Ta có $M\left( x \right)=4.\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}\left( h-x \right)\le 4{{\left( \dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+h-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4{{h}^{3}}}{27}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=h-x\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}h\Rightarrow MN=h-x=\dfrac{h}{3}$
Câu 35: Đáp án D
Ta có $3C_{n+1}^{3}-3A_{n}^{2}=52\left( n-1 \right)\Leftrightarrow 3\dfrac{\left( n+1 \right)!}{\left( n-2 \right)!.3!}-3\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}=52\left( n-1 \right)$
$\Leftrightarrow 3\dfrac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{2}-3n\left( n-1 \right)=52\left( n-1 \right)\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6n=104\Leftrightarrow {{n}^{2}}-5n-104=0\Leftrightarrow n=13$
Khi đó ${{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}^{13}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{13-k}}.{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{13}{C_{13}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{39-3k}}.{{y}^{2k}}}$
Vì tổng số mũ của x và y bằng $34\xrightarrow{{}}39-3k+2k=34\Leftrightarrow k=5$
Vậy hệ số cần tìm ứng với $k=5\xrightarrow{{}}{{T}_{5}}=C_{13}^{5}{{2}^{5}}=41184$
Câu 36: Đáp án C
Đặt$t={{5}^{x}}\left( t>0 \right)$
Khi đó $PT\Rightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=m\left( t-2 \right)\left( * \right)$
Rõ ràng $t=2$ không là nghiệm của phương trình
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=t+\dfrac{1}{t-2}=f\left( t \right)$
Xét $f\left( t \right)$ trên tập $\left( 0;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ ta có:$f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 3
\end{array} \right.$
Mặt khác $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\dfrac{1}{2};f\left( 1 \right)=0;\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\infty ;\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;f\left( 3 \right)=2;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty $
Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m \in [0;2018]$ suy ra có 2018 giá trị của tham số m.
Câu 37: Đáp án C
Do góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB'C' \right)$ và dfrac(ABC)dfrac bằng $60^\circ $
Suy ra $\left( {\widehat {(AB'C');(ABC)}} \right) = 60^\circ $
Dựng $HK\bot B'C',$ do $AH\bot B'C'\Rightarrow B'C'\bot \left( AKH \right)$
Do đó: $\widehat {AKH} = 60^\circ $
Mặt khác $B'C'=a\sqrt{3},\sin \widehat{A'B'C'}=\dfrac{A'C'}{B'C'}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Suy ra $HK=HB'\sin \widehat{B'}=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}};AH=HK\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Do $C'H=\sqrt{A'{{H}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{r}_{HB'C'}}=\dfrac{HC'}{2\sin \widehat{HB'C'}}=\dfrac{3a\sqrt{6}}{8}$
Áp dụng công thức tính nhanh $R=\sqrt{{{r}^{2}}+\dfrac{A{{H}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{62}}{8}$
