Câu 29: Đáp án B
Ta có: $y'={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right).\ln \dfrac{1}{2}=-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right).\ln 2$
Hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Rightarrow y'>0\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le 12x-3{{x}^{2}}=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 1;3 \right) \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 1;3 \right)}{\mathop{Min}}\,g\left( x \right)$
Lại có $g'\left( x \right)=12-6x\Leftrightarrow x=2\Rightarrow g\left( 2 \right)=12;\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=9$
Lập bảng biến thiên suy ra $m\le 9$ là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.
Câu 30: Đáp án C
Ta có $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+2}=\dfrac{3}{4},$ vì $3x-3=\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)\left( \sqrt{3x+1}+2 \right)$
Để hàm số liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}$
Câu 31: Đáp án A
Ta có ${{2}^{x}}{{.15}^{x+1}}={{3}^{x+3}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow \log \left( {{2}^{x}}{{.5}^{x+1}} \right)=\log {{3}^{2}}\Leftrightarrow x\log 2+\left( x+1 \right)\log 5=2\log 3$
$ \Leftrightarrow x\left( {\log 2 + \log 5} \right) = 2\log 3 - \log 5 \Leftrightarrow x = \frac{{2\log 3 - \log 5}}{{\log 2 + \log 5}} = 2\log 3 - \log 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 5
\end{array} \right..$
Vậy $S=4009.$
Câu 32: Đáp án D
Ta có $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-mx+2m-3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-2mx-m;\forall x\in \mathbb{R}$
Yaau cầu bài toán $\Leftrightarrow y'>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-m>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow $ $\Delta '={{m}^{2}}+3m<0\Leftrightarrow -3<m<0$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1 \right\}$
Câu 33: Đáp án A
Ta có ${{\sin }^{2}}2x+3\sin 2x+2=0\Leftrightarrow \left( \sin 2x+1 \right)\left( \sin 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi $ mà $x\in \left[ 0;10\pi \right]$ suy ra $0\le -\dfrac{\pi }{4}+k\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le k\le \dfrac{41}{4}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=\left\{ 1;2;...;10 \right\}$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $T=10.\left( -\dfrac{\pi }{4} \right)+\left( 1+2+...+10 \right)\pi =\dfrac{105}{2}\pi $
