Phiếu bài tập tuần Toán 8 – Tuần 27

PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 27

Hình học 8:   Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

†††††††††

Bài 1:   Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC hai tam giác CAE và CBF tương ứng vuông góc tại E ; F và thỏa mãn $widehat{ACE}=widehat{CBA};widehat{BCF}=widehat{CAB}$ .

Chứng minh rằng:$C{{K}^{2}}=AE.BF$ .

Bài 2:  Cho hình bình hành ABCD $AC>BD$ vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng $AB.AEtext{ }+text{ }AD.text{ }AFtext{ }=text{ }A{{C}^{2}}$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

      a) Chứng minh:  EA.EB = ED.EC.

      b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.

      c) Kẻ DH ^ BC, (H Î BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ^ PD.

Bài 4: Cho tam giác ABC có hai góc B và C thỏa mãn điều kiện $widehat{B}-widehat{C}={{90}^{0}}$ . Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng: $A{{H}^{2}}=BH.CH$

Bài 5 : Cho tam giác ABC cân tại A$\$widehatA<{90}^0\$$, đường cao AD, trực tâm H. Chứng minh hệ thức

$C{{D}^{2}}=text{ }DH.DA$

Bài 6:

Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 150cm² (như hình vẽ). Gọi E, F là trung điểm AB và BC. Gọi M, N là giao điểm của DE, DF với AC. Tính tổng diện tích phần tô đậm.

– Hết –

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:  

∆ACK và ∆CBF có : $widehat {CKA} = widehat {BFC} = {90^0};widehat {CAK} = widehat {BCF} Rightarrow $  ∆ACK ∆CBF $g.g$ $ Rightarrow frac{{CK}}{{CA}} = frac{{BF}}{{BC}}$  $1$.

Tương tự ta có ∆BCK $$ ∆CAE$g.g$ $Rightarrow frac{CK}{CB}=frac{AE}{AC}$ $2$

Nhân từng vế của $1$ và $2$ ta được:

$Rightarrow frac{CK}{CA}cdot frac{CK}{CB}=frac{BF}{BC}cdot frac{Atext{E}}{AC}Rightarrow C{{K}^{2}}=Atext{E}.BF.$

Bài 2:

Vẽ $BHbot ACleft$HinACright$$

Xét $Delta $ ABH và $Delta $ ACE có $widehat {AHB} = widehat {AEC} = {90^0};widehat {BAC}$ chung . Suy ra $Delta $ ABH $Delta $ ACE $g.g$ $ Rightarrow frac{{AB}}{{AC}} = frac{{AH}}{{AE}} Rightarrow AB.AE = AC.AH$ $1$

Xét$Delta $CBH và $Delta $ACF có $widehat{BCH}=widehat{CAF}$$soletrong$ $widehat{CHB}=widehat{CFA}left$={90}^{0}right$$

Suy ra $Delta $CBH $backsim $$Delta $ACF $g.g$ $Rightarrow frac{BC}{AC}=frac{CH}{AF}Rightarrow BC.AF=AC.CH$$2$

Cộng vế theo vế $1$ và $2$ ta được:

$AB.AE+BC.AF=AC.AH+AC.CHRightarrow AB.AE+AD.AF=ACleft$AH+CHright$=A{{C}^{2}}.$

Bài 3:

a) Chứng minh EA.EB = ED.EC

 Xét  ∆EBD và  ∆ECA có: $widehat{Etext{D}B}=widehat{Etext{A}C}={{90}^{0}}$ , $widehat{BEC}$  chung nên ∆EBD $$ ∆ECA $g-g$      

 Từ đó suy ra

$frac{EB}{EC}=frac{ED}{EA}Rightarrow EA.EB=ED.EC$

b) Kẻ MI vuông góc với BC $IÎBC$. Ta có ∆BIM và ∆BDC có  $widehat{BIM}=widehat{Btext{D}C}={{90}^{0}}$ , $widehat{MBC}$  chung , nên ∆BIM $backsim $∆BDC $g-g$ $Rightarrow frac{BM}{BC}=frac{BI}{Btext{D}}Rightarrow $BM.BD = BC.BI  $1$

Tương tự: ∆ACB $backsim $∆ICM $g-g$ $Rightarrow frac{CM}{BC}=frac{CI}{CA}$

$Rightarrow $CM.CA = BC.CI  $2$

Từ $1$ và $2$ cộng vế với vế,suy ra $BM.BD+CM.CA=BI.BC+CI.BC=BC$BI+CI$=B{{C}^{2}}$$khôngđổi$

c) Xét  ∆BHD ∆DHC $g-g$ Þ $frac{{BH}}{{DH}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}} Rightarrow frac{{2.HP}}{{2.HQ}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}} Rightarrow frac{{HP}}{{HQ}} = frac{{H{rm{D}}}}{{HC}}$  

 Þ∆HPD ∆HQC $c-g-c$ Þ $widehat {PDH} = widehat {QCH}$   mà $widehat {HDP} + widehat {DPC} = {90^o}$

$ Rightarrow widehat {HCQ} + widehat {DPC} = {90^o}$   $ Rightarrow CQ bot PD$

Bài 4:  

Ta có $widehat{ABC}=widehat{BAH}+widehat{AHB}=widehat{BAH}+{{90}^{0}}$  mà $widehat{ABC}=widehat{ACB}+{{90}^{{}^circ }}$$ Rightarrow widehat {ACH} = widehat {BAH}$ .

Từ đó suy ra: $Delta $ ABH $$  $Delta $ CAH$g.g$ ${Rightarrow frac { mathrm { AH } } { mathrm { CH } } = frac { mathrm { BH } } { mathrm { AH } } Rightarrow mathrm { AH } ^ { 2 } = mathrm { BH.CH }}$

Bài 5:

Ta có: $widehat{BAD}=widehat{BCH}$ $$={90}^0-widehatABC$$ và  $widehat{CDH}=widehat{ADB}={{90}^{0}}$

Suy ra: ∆CDH $$  ∆ADB$g.g$ nên ${frac { C mathrm { D } } { A mathrm { D } } = frac { D H } { D B }}$ .

Ta lại có CD = DB nên CD² = DA.DH.

Bài 6:

Ta có: ∆AME ” ∆CMD $ Rightarrow frac{{EM}}{{DM}} = frac{{AE}}{{DC}} = frac{1}{2} Rightarrow DM = 2.EM$

Đặt ${{S}_{AEM}}=x$ Ta có ${frac { S _ { A B M } } { S _ { A D M } } = frac { E M } { D M } = frac { 1 } { 2 } Rightarrow S _ { A M M } = 2 x}$Ta có: ${{S}_{AEM}}+{{S}_{ADM}}={{S}_{ADE}}=frac{1}{2}{{S}_{ABD}}=frac{1}{4}{{S}_{ABCD}}$ $Rightarrow x+2x=37,5Leftrightarrow x=12,5$ $Rightarrow {{S}_{AMD}}=25text{ }c{{m}^{2}}$

Tương tự ta có: ${S _ { mathrm { CNE } } = 12,5 mathrm { cm } ^ { 2 } ; mathrm { S } _ { mathrm { CND } } = 25 mathrm { cm } ^ { 2 }}$

${{S}_{DMN}}={{S}_{ACD}}-{{S}_{AMD}}-{{S}_{CND}}=75-25-25=25text{ }c{{m}^{2}}$

Þ diện tích phần tô đậm là: ${12,5 + 12,5 + 25 = 50 mathrm { cm } ^ { 2 }}$.                                                                                           – Hết –