PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 22
Đại số 8 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Hình học 8: Tính chất đường phân giác của tam giác
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$ |
b) $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-1}{2-x}$ |
c) $\frac{x+4}{{{x}^{2}}-3x+2}+\frac{x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}-4x+3}$ |
d) $\frac{2}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x(x-2)}+\frac{x-4}{x(x+2)}=0$ |
e) $\frac{4x}{{{x}^{2}}+4x+3}-1=6\left( \frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2} \right)$ |
f) $\frac{3}{4(x-5)}+\frac{15}{50-2{{x}^{2}}}=\frac{7}{6x+30}$ |
g) $\frac{1}{x-1}+\frac{2{{x}^{2}}-5}{{{x}^{3}}-1}=\frac{4}{{{x}^{2}}+x+1}$ |
h) $\frac{12x+1}{6x-2}-\frac{9x-5}{3x+1}=\frac{108x-36{{x}^{2}}-9}{4(9{{x}^{2}}-1)}$ |
i) $x+\frac{1}{x}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ |
j) $\frac{1}{x}+2=\left( \frac{1}{x}+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)$ |
Bài 2: Cho $\Delta ABC$có$AB=6cm,AC=9cm,BC=10cm$, đường phân giác trong$AD$, đường phân giác ngoài$AE$.
a) Tính $DB,DC,EB$.
b) Đường phân giác$CF$của $\Delta ABC$cắt $AD$ở$I$. Tính tỉ số diện tích $\Delta DIF$và diện tích$\Delta ABC$.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm.
Tính AD, DC.
Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 phân giác trong AM, BN, CP cắt nhau tại I.
Chứng minh a) ${\frac { \mathrm { AP } } { A P } \cdot \frac { B M } { B C } \cdot \frac { C N } { C A } = 1}$
b) ${\frac { M I } { M A } + \frac { N I } { N B } + \frac { P I } { P C } = 1}$
- Hết –
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
a) $\frac{4}{{x - 1}} - \frac{5}{{x - 2}} = - 3$ (1) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} Mẫu chung: (x-1)(x-2) Phương trình (1) trở thành $\frac{{4(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 2)}} - \frac{{5(x - 1)}}{{(x - 2)(x - 1)}} = \frac{{ - 3(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 2)}}$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{3};3} \right\}$ |
b) $3x - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}$ (2) Điều kiện: $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ Mẫu chung: x-2 Phương trình (2) trở thành $\frac{{3x(x - 2)}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{ - (x - 1)}}{{x - 2}}$ $ \Rightarrow 3x(x - 2) - 1 = - (x - 1)$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{3}} \right\}$ |
c) $\frac{{x + 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{{2x + 5}}{{{x^2} - 4x + 3}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{x + 4}}{{(x - 1)(x - 2)}} + \frac{{x + 1}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{2x + 5}}{{(x - 1)(x - 3)}}$ (3) Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} Phương trình (3) trở thành $\frac{{(x + 4)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}} + \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 3)(x - 2)}} = \frac{{(2x + 5)(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 3)(x - 2)}}$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow x = - 4$ (nhận) Vậy $S = \left\{ { - 4} \right\}$ |
|
d) $\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x(x - 2)}} + \frac{{x - 4}}{{x(x + 2)}} = 0$ $\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x(x - 2)}} + \frac{{x - 4}}{{x(x + 2)}} = 0$ (4) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} Mẫu chung: $x(x + 2)(x - 2)$ Phương trình (4) trở thành $\frac{{2x}}{{(x - 2)(x + 2)x}} - \frac{{1(x + 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} + \frac{{(x - 4)(x - 2)}}{{x(x + 2)(x - 2)}} = 0$$\frac{{2x}}{{(x - 2)(x + 2)x}} - \frac{{1(x + 2)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} + \frac{{(x - 4)(x - 2)}}{{x(x + 2)(x - 2)}} = 0$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $S = \left\{ 3 \right\}$
|
|
e) $\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 3}} - 1 = 6\left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{2x + 2}}} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{(x + 1)(x + 3)}} - 1 = 6\left( {\frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{2(x + 1)}}} \right)$ (5) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} Mẫu chung: $2(x + 1)(x + 3)$ Phương trình (5) trở thành $\frac{{4.2x}}{{2(x + 1)(x + 3)}} - \frac{{2(x + 1)(x + 3)}}{{2(x + 1)(x + 3)}} = 6\left( {\frac{{1(x + 1).2}}{{(x + 3)(x + 1).2}} - \frac{{1(x + 3)}}{{2(x + 1)(x + 3)}}} \right)$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy$S = \left\{ 0 \right\}$
|
f) $\frac{3}{{4(x - 5)}} + \frac{{15}}{{50 - 2{x^2}}} = \frac{7}{{6x + 30}}$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{{4(x - 5)}} - \frac{{15}}{{2({x^2} - 25)}} = \frac{7}{{6(x + 5)}}$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{{4(x - 5)}} - \frac{{15}}{{2(x - 5)(x + 5)}} = \frac{7}{{6(x + 5)}}$ (6) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} Mẫu chung: $12(x + 5)(x - 5)$ Phương trình (6) trở thành $\frac{{3.3(x + 5)}}{{4.3(x + 5)(x - 5)}} - \frac{{15.6}}{{2(x - 5)(x + 5)}} = \frac{{7.2(x - 5)}}{{6(x + 5).2(x - 5)}}$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow x = 5$ (loại) Vậy $S = \left\{ \emptyset \right\}$ |
g) $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{{x^3} - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$ (7) Điều kiện: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ vì ${x^2} + x + 1 > 0\forall x$ Mẫu chung: $(x - 1)({x^2} + x + 1)$ Phương trình (7) trở thành $\frac{{1({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{4(x - 1)}}{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}}$
|
|
|
\Rightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4x - 4\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow 3x(x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}$
Vậy $S = \left\{ 0 \right\}$ |
||
h) $\frac{{12x + 1}}{{6x - 2}} - \frac{{9x - 5}}{{3x + 1}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(9{x^2} - 1)}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{12x + 1}}{{2(3x - 1)}} - \frac{{9x - 5}}{{3x + 1}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(3x - 1)(3x + 1)}}$ (8) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} Mẫu chung: $4(3x + 1)(3x - 1)$ Phương trình (8) trở thành $\frac{{2(12x + 1)(3x + 1)}}{{2.2(3x + 1)(3x - 1)}} - \frac{{4(9x - 5)(3x - 1)}}{{4(3x + 1)(3x - 1)}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(3x - 1)(3x + 1)}}$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow x = \frac{9}{{18}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (nhận) Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$
|
||
i) $x + \frac{1}{x} = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ $ \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2x.\frac{1}{x}$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - \left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2 = 0$ (9) Điều kiện: $x \ne 0$ Đặt $x + \frac{1}{x} = t$ , phương trình (9) trở thành $\begin{array}{l} Với t = 2, ta có $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nhận) Với t= - 1, ta có $x + \frac{1}{x} = - 1 \Rightarrow {x^2} + 1 = - x \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0$ (vô nghiệm) vì ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\forall x$ Vậy $S = \left\{ 1 \right\}$ |
||
j) $\frac{1}{x} + 2 = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 - \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0$ Điều kiện: $x \ne 0$ $\begin{array}{l} $ \Leftrightarrow - \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 = 0$ vì $\left( {{x^2} + 1} \right) > 0\forall x$ $ \Rightarrow 1 + 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$ Vậy $S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}$ |
Bài 2:
Ta có: $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$(do $AD$là phân giác trong của $\Delta ABC$)
$\Rightarrow BD=\frac{2}{3}.DC$
Mà $BD+DC=BC=10$(do $D$nằm giữa $B$và $C$)
$\Rightarrow \frac{2}{3}DC+DC=10\Rightarrow \frac{5}{3}DC=10\Rightarrow DC=6cm\Rightarrow BD=4cm$
Ta có: $CE=BE+BC=BE+10$(do $B$ nằm giữa $E$và $C$)
Và $\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$(do $AE$là phân giác ngoài của $\Delta ABC$)
$\Rightarrow \frac{BE}{BE+10}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3BE=2\left( BE+10 \right)\Rightarrow BE=20cm$
Vậy $BD=4cm,DC=6cm,BE=20cm$
Bài 3:
|
BD là phân giác trong của góc B nên ${\Rightarrow \frac { D A } { D C } = \frac { B A } { B C }}$ Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có ${\frac { D A + D C } { D C } = \frac { B A + B C } { B C } \Rightarrow \frac { A C } { D C } = \frac { 15 + 10 } { 10 }}$ ${\Rightarrow D C = \frac { 10 . A C } { 25 } = \frac { 10.15 } { 25 } = 6}$ (cm) |
Ta có DA + DC = AC ${\Rightarrow A D = A C - D C = 15 - 6 = 9}$ (cm) |
Bài 4:
a) Ta có AM là phân giác của góc A Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có ${\frac { M B } { M C } = \frac { A B } { A C }}$ Tương tự đối với các đường phân giác BN, CP ta có ${\frac { N C } { N A } = \frac { B C } { B A } ; \frac { P A } { P B } = \frac { C A } { C B }}$ |
|
Do đó ${\frac { M B } { M C } \cdot \frac { N C } { N A } \cdot \frac { P A } { P B } = \frac { A B } { A C } \cdot \frac { B C } { B A } \cdot \frac { C A } { C B } = 1}$ Vậy ${\frac { \mathrm { AP } } { A P } \cdot \frac { B M } { B C } \cdot \frac { C N } { C A } = 1}$ b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB Trong ${\Delta A B M}$thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{BA}=\frac{BM}{c}\Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{BM}{BM+c}\Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{BM}{BM+c}$ (1) Trong ${\Delta A C M}$thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên $\frac{MI}{IA}=\frac{CM}{CA}=\frac{CM}{b}\Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{CM}{CM+b}\Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{CM}{CM+b}$ Mà CM = BC – BM = a – BM . Nên ${\frac { M I } { M A } = \frac { a - B M } { a - B M + b }}$ (2) So sánh (1) và (2) ta có ${\frac { M I } { M A } = \frac { B M } { B M + c } = \frac { a - B M } { a - B M + b } = \frac { B M + a - B M } { B M + c + a - B M + b }}$ ${\Rightarrow \frac { M I } { M A } = \frac { a } { a + b + c }}$ Chứng minh tương tự ta có ${\frac { N I } { B N } = \frac { b } { a + b + c }}$ ${\frac { P I } { C P } = \frac { c } { a + b + c }}$ Suy ra ${\frac { M I } { M A } + \frac { N I } { B N } + \frac { P I } { C P } = \frac { a } { a + b + c } + \frac { b } { a + b + c } + \frac { c } { a + b + c } = \frac { a + b + c } { a + b + c } = 1}$ Vậy ${\frac { M I } { M A } + \frac { N I } { N B } + \frac { P I } { P C } = 1}$ |
- Hết -