Phiếu bài tập tuần Toán 8 - Tuần 22

a) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$

b) $3x-\frac{1}{x-2}=\frac{x-1}{2-x}$

c) $\frac{x+4}{{{x}^{2}}-3x+2}+\frac{x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}=\frac{2x+5}{{{x}^{2}}-4x+3}$

d) $\frac{2}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x(x-2)}+\frac{x-4}{x(x+2)}=0$

e) $\frac{4x}{{{x}^{2}}+4x+3}-1=6\left( \frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2} \right)$

f) $\frac{3}{4(x-5)}+\frac{15}{50-2{{x}^{2}}}=\frac{7}{6x+30}$

g) $\frac{1}{x-1}+\frac{2{{x}^{2}}-5}{{{x}^{3}}-1}=\frac{4}{{{x}^{2}}+x+1}$

h) $\frac{12x+1}{6x-2}-\frac{9x-5}{3x+1}=\frac{108x-36{{x}^{2}}-9}{4(9{{x}^{2}}-1)}$

i) $x+\frac{1}{x}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}$

j) $\frac{1}{x}+2=\left( \frac{1}{x}+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)$

f) $\frac{3}{{4(x - 5)}} + \frac{{15}}{{50 - 2{x^2}}} = \frac{7}{{6x + 30}}$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{{4(x - 5)}} - \frac{{15}}{{2({x^2} - 25)}} = \frac{7}{{6(x + 5)}}$

$ \Leftrightarrow \frac{3}{{4(x - 5)}} - \frac{{15}}{{2(x - 5)(x + 5)}} = \frac{7}{{6(x + 5)}}$   (6)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x + 5 \ne 0\\
x - 5 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne  - 5\\
x \ne 5
\end{array} \right.$

Mẫu chung: $12(x + 5)(x - 5)$

Phương trình (6) trở thành

$\frac{{3.3(x + 5)}}{{4.3(x + 5)(x - 5)}} - \frac{{15.6}}{{2(x - 5)(x + 5)}} = \frac{{7.2(x - 5)}}{{6(x + 5).2(x - 5)}}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow 9(x + 5) - 15.6 = 14(x - 5)\\
 \Leftrightarrow 9x + 45 - 90 = 14x - 70\\
 \Leftrightarrow  - 5x =  - 25
\end{array}$

$ \Leftrightarrow x = 5$ (loại)                                                    

   Vậy $S = \left\{ \emptyset  \right\}$

g) $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{{x^3} - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}$  (7)

Điều kiện: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$  vì ${x^2} + x + 1 > 0\forall x$

Mẫu chung: $(x - 1)({x^2} + x + 1)$

Phương trình (7) trở thành

$\frac{{1({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{2{x^2} - 5}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{4(x - 1)}}{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}}$                                                              

  Vậy $S = \left\{ 0 \right\}$

h) $\frac{{12x + 1}}{{6x - 2}} - \frac{{9x - 5}}{{3x + 1}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(9{x^2} - 1)}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{12x + 1}}{{2(3x - 1)}} - \frac{{9x - 5}}{{3x + 1}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(3x - 1)(3x + 1)}}$   (8)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
3x - 1 \ne 0\\
3x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{1}{3}\\
x \ne \frac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right.$

Mẫu chung: $4(3x + 1)(3x - 1)$

Phương trình (8) trở thành

$\frac{{2(12x + 1)(3x + 1)}}{{2.2(3x + 1)(3x - 1)}} - \frac{{4(9x - 5)(3x - 1)}}{{4(3x + 1)(3x - 1)}} = \frac{{108x - 36{x^2} - 9}}{{4(3x - 1)(3x + 1)}}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow 2(12x + 1)(3x + 1) - 4(9x - 5)(3x - 1) = 108x - 36{x^2} - 9\\
 \Leftrightarrow 2(36{x^2} + 15x + 1) - 4(27{x^2} - 24x + 5) - 108x + 36{x^2} + 9 = 0\\
 \Leftrightarrow 72{x^2} + 30x + 2 - 108{x^2} + 96x - 20 - 108x + 36{x^2} + 9 = 0\\
 \Leftrightarrow 18x - 9 = 0
\end{array}$

$ \Leftrightarrow x = \frac{9}{{18}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$  (nhận)                                       

   Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$

i) $x + \frac{1}{x} = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$  $ \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2x.\frac{1}{x}$  $ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - \left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2 = 0$  (9)

Điều kiện: $x \ne 0$

Đặt $x + \frac{1}{x} = t$ , phương trình (9) trở thành
 ${t^2} - t - 2 = 0$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2t - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow t(t + 1) - 2(t + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 2 = 0\\
t + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Với t =  2, ta có $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nhận)

Với t= - 1, ta có $x + \frac{1}{x} =  - 1 \Rightarrow {x^2} + 1 =  - x \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0$  (vô nghiệm)

vì ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\forall x$                                                                                                                  

  Vậy $S = \left\{ 1 \right\}$

j) $\frac{1}{x} + 2 = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 - \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0$  Điều kiện: $x \ne 0$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( { - {x^2} - 1} \right) = 0
\end{array}$

$ \Leftrightarrow  - \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$  $ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 = 0$  vì $\left( {{x^2} + 1} \right) > 0\forall x$

$ \Rightarrow 1 + 2x = 0$

$ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$            

Vậy $S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}$

BD là phân giác trong của góc B nên

${\Rightarrow \frac { D A } { D C } = \frac { B A } { B C }}$

Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có

 ${\frac { D A + D C } { D C } = \frac { B A + B C } { B C } \Rightarrow \frac { A C } { D C } = \frac { 15 + 10 } { 10 }}$

${\Rightarrow D C = \frac { 10 . A C } { 25 } = \frac { 10.15 } { 25 } = 6}$ (cm)

                 Ta có DA + DC = AC   ${\Rightarrow A D = A C - D C = 15 - 6 = 9}$ (cm)

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có

          ${\frac { M B } { M C } = \frac { A B } { A C }}$

Tương tự đối với các đường phân giác BN, CP ta có

         ${\frac { N C } { N A } = \frac { B C } { B A } ; \frac { P A } { P B } = \frac { C A } { C B }}$

Do đó ${\frac { M B } { M C } \cdot \frac { N C } { N A } \cdot \frac { P A } { P B } = \frac { A B } { A C } \cdot \frac { B C } { B A } \cdot \frac { C A } { C B } = 1}$

Vậy ${\frac { \mathrm { AP } } { A P } \cdot \frac { B M } { B C } \cdot \frac { C N } { C A } = 1}$

b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB

Trong ${\Delta A B M}$thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

         $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{BA}=\frac{BM}{c}\Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{BM}{BM+c}\Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{BM}{BM+c}$    (1)

Trong ${\Delta A C M}$thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

        $\frac{MI}{IA}=\frac{CM}{CA}=\frac{CM}{b}\Rightarrow \frac{MI}{MI+IA}=\frac{CM}{CM+b}\Rightarrow \frac{MI}{MA}=\frac{CM}{CM+b}$    

Mà CM = BC – BM = a – BM . Nên   ${\frac { M I } { M A } = \frac { a - B M } { a - B M + b }}$           (2)

So sánh (1) và (2) ta có  ${\frac { M I } { M A } = \frac { B M } { B M + c } = \frac { a - B M } { a - B M + b } = \frac { B M + a - B M } { B M + c + a - B M + b }}$

                                        ${\Rightarrow \frac { M I } { M A } = \frac { a } { a + b + c }}$

Chứng minh tương tự ta có ${\frac { N I } { B N } = \frac { b } { a + b + c }}$

                                            ${\frac { P I } { C P } = \frac { c } { a + b + c }}$

Suy ra ${\frac { M I } { M A } + \frac { N I } { B N } + \frac { P I } { C P } = \frac { a } { a + b + c } + \frac { b } { a + b + c } + \frac { c } { a + b + c } = \frac { a + b + c } { a + b + c } = 1}$

Vậy ${\frac { M I } { M A } + \frac { N I } { N B } + \frac { P I } { P C } = 1}$