PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 06
Đại số 8 : §7+8: Phân tích đa thức thành nhân tử (HĐT + nhóm hạng tử)
Hình học 8: § 7: Hình bình hành
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$ b) $49-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$
c) ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4bc-4{{c}^{2}}$ d) $4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right)}^{2}}$
e) ${{left( a+b+c right)}^{2}}+{{left( a+b-c right)}^{2}}-4{{c}^{2}}$
Bài 2: Tìm $x$, biết:
a) ${{x}^{2}}-3x=0$ b) ${{x}^{5}}-9x=0$
c) $left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}} right)-left( x-4 right)=0$ d) ${{left( 4{{x}^{2}}-25 right)}^{2}}-9{{left( 2x-5 right)}^{2}}=0$
Bài 3: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. $AF$ và $EC$ lần lượt cắt $DB$ ở $G$ và $H$. Chứng minh:
a) $DG=GH=HB$
b) Các đoạn thẳng $AC;EF;GH$ đồng quy
Bài 4: Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $E,F,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,OE.$
a) Chứng minh $AF$ cắt $OE$ tại $H$.
b) $DF,DE$ lần lượt cắt $AC$ tại $T,S$. Chứng minh: $AS=ST=TC$
c) $BT$ cắt $DC$ ở $M$. Chứng minh $E,O,M$ thẳng hàng
Bài 5: Cho $vartriangle ABC$ cân ở A. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH. Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. chứng minh:
- BDIA là hình bình hành
- BDIH là hình thang cân
- F là trọng tâm của $Delta HDE$
- – Hết –
- PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
|
a) ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$ $={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $={{left( x+y right)}^{2}}-{{left( 2xy right)}^{2}}$ $=left( x+y-2xy right)left( x+y+2xy right)$ |
b) $49-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$ $=49-left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} right)$ $={{7}^{2}}-{{left( a-b right)}^{2}}$ $=left( 7-a+b right)left( 7+a-b right)$ |
|
c) ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4bc-4{{c}^{2}}$ $={{a}^{2}}-left( {{b}^{2}}-4bc+4{{c}^{2}} right)$ $={{a}^{2}}-left[ {{b}^{2}}-2b.2c+{{left( 2c right)}^{2}} right]$ $={{a}^{2}}-{{left( b-2c right)}^{2}}$ $=left( a-b+2c right)left( a+b-2c right)$ |
d) $4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right)}^{2}}$ $={{left( 2bc right)}^{2}}-{{left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right)}^{2}}$ $=left( 2bc-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+{{a}^{2}} right)left( 2bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right)$ $=left[ {{a}^{2}}-left( {{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}} right) right]left( {{b}^{2}}+2bc+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} right)$ $=left[ {{a}^{2}}-{{left( b-c right)}^{2}} right]left[ {{left( b+c right)}^{2}}-{{a}^{2}} right]$ $=left( a-b+c right)left( a+b-c right)left( b+c-a right)left( b+c+a right)$ |
|
e) ${{left( a+b+c right)}^{2}}+{{left( a+b-c right)}^{2}}-4{{c}^{2}}$ $={{left( a+b+c right)}^{2}}+left( a+b-c-2c right)left( a+b-c+2c right)$ $={{left( a+b+c right)}^{2}}+left( a+b-3c right)left( a+b+c right)$ $=left( a+b+c right)left( a+b+c+a+b-3c right)$ $=left( a+b+c right)left( 2a+2b-2c right)$ $=2left( a+b+c right)left( a+b-c right)$
|
|
Bài 2:
|
a) ${x^2} – 3x = 0$ $ Leftrightarrow xleft( {x – 3} right) = 0$ [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} [ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Vậy $x in left{ {0;3} right}$ . |
b) ${x^5} – 9x = 0$ $ Leftrightarrow xleft( {{x^4} – 9} right) = 0$ $ Leftrightarrow xleft( {{x^2} – 3} right)left( {{x^2} + 3} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Vậy $x in left{ { – sqrt 3 ;0;sqrt 3 } right}$ .
|
|
c) $left( {{x^3} – 4{x^2}} right) – left( {x – 4} right) = 0$ $ Leftrightarrow {x^2}left( {x – 4} right) – left( {x – 4} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – 4} right)left( {{x^2} – 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – 4} right)left( {x – 1} right)left( {x + 1} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Vậy $x in left{ { – 1;1;4} right}$. |
d) ${left( {4{x^2} – 25} right)^2} – 9{left( {2x – 5} right)^2} = 0$ $ Leftrightarrow left[ {4{x^2} – 25 – 3left( {2x – 5} right)} right]left[ {4{x^2} – 25 + 3left( {2x – 5} right)} right] = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{x^2} – 25 – 6x + 15} right)left( {4{x^2} – 25 + 6x – 15} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{x^2} – 6x – 10} right)left( {4{x^2} + 6x – 40} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{x^2} + 4x – 10x – 10} right)left( {4{x^2} + 16x – 10x – 40} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {4{x^2} + 4x – 10x – 10} right)left( {4{x^2} + 16x – 10x – 40} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {4x – 10} right)left( {x + 4} right)left( {4x – 10} right) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x + 1} right){left( {4x – 10} right)^2}left( {x + 4} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Vậy $x in left{ { – 4; – 1;frac{5}{2}} right}$.
|
Bài 3:
a)+ Gọi $ACcap BD=left{ O right}Rightarrow OB=OD;OA=OC$ (tính chất hình bình hành).
+ Xét $Delta ACB$ có: $E$ là trung điểm của $AB$; $O$ là trung điểm của $AC$
$Rightarrow CE;BO$ là 2 đường trung tuyến
mà $CEcap BO=left{ H right}Rightarrow $ $H$ là trọng tâm của $Delta ACB$
$Rightarrow BH=frac{2}{3}BO;HO=frac{1}{3}BO$
Cmtt ta có: [DG = frac{2}{3}DO;GO = frac{1}{3}DO]
+ Có: [BH = frac{2}{3}BO;DG = frac{2}{3}DO Rightarrow BH = DGbegin{array}{*{20}{c}}
{}&{left( 1 right)}
end{array}]
+ [HO = frac{1}{3}BO;GO = frac{1}{3}DO] .
Mà [BO = DO Rightarrow HO + GO = frac{1}{3}BO + frac{1}{3}DO = frac{1}{3}BO + frac{1}{3}BO = frac{2}{3}BO Rightarrow GH = BHbegin{array}{*{20}{c}}
{}&{left( 2 right)}
end{array}]
Từ $left( 1 right);left( 2 right)Rightarrow BH=DG=HG$
b) + Có $ACcap BD=left{ O right}$
+ Xét hình bình hành $ABCD$ có $AB=DC;AB//DC$ mà $E,F$ là trung điểm của $AB;DC$
$Rightarrow AE=EB=CF=DF;AE//FC$.
+ Xét tứ giác $AECF$ có $AE=CF;AE//FC$ (cmt) $Rightarrow $ tứ giác $AECF$ là hình bình hành
+ Xét hbh $AECF$ có $AC;EF$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà $O$ là trung điểm của $ACRightarrow ACcap EF=left{ O right}$
$Rightarrow $ ba đường thẳng $AC;BD;EF$ đồng quy tại $O$
Bài 4:
a) Xét $Delta ABC$ có $E,O$ là trung điểm của $AB,ACRightarrow $ $EO$ là đường trung bình của tam giác $Delta ABC$
$Rightarrow EO=frac{1}{2}BC;EO//BC$
Mà $F$ là trung điểm của $BCRightarrow AF$ là đường trung tuyến của $Delta ABC$.
Có $H$ là trung điểm của $EO;EO//BCRightarrow Hin AF$.
Vậy $AFcap EO=left{ H right}$
b) + Gọi $ACcap BD=left{ O right}Rightarrow OB=OD;OA=OC$ (tính chất hình bình hành).
+ Xét $Delta ADB$ có: $E$ là trung điểm của $AB$; $O$ là trung điểm của $BD$
$Rightarrow BE;AO$ là 2 đường trung tuyến
mà $DEcap AO=left{ S right}Rightarrow $ $S$ là trọng tâm của $Delta ABD$
$Rightarrow AS=frac{2}{3}AO;SO=frac{1}{3}AO$
Cmtt ta có: $CT=frac{2}{3}CO;TO=frac{1}{3}CO$
+ Có $AS = frac{2}{3}AO;CT = frac{2}{3}CO Rightarrow AS = CTbegin{array}{*{20}{c}}
{}&{left( 1 right)}
end{array}$
+ $SO=frac{1}{3}AO;TO=frac{1}{3}CO$.
Mà $AO = CO Rightarrow SO + TO = frac{1}{3}AO + frac{1}{3}CO = frac{1}{3}AO + frac{1}{3}AO = frac{2}{3}AO Rightarrow ST = ASbegin{array}{*{20}{c}}
{}&{left( 2 right)}
end{array}$
Từ $left( 1 right);left( 2 right)Rightarrow AS=ST=TC$
c) Theo cm câu b, $T$ là trọng tâm của $Delta BDCRightarrow BT$ là đường trung tuyến của $Delta BDC$
Mà $BTcap DC=left{ M right}Rightarrow BM$ là đường trung tuyến của $Delta BDC$
$Rightarrow M$ là trung điểm của $DC$
Xét $Delta BDC$ có $M,O$ là trung điểm của $DC,DBRightarrow MO$ là đường trung bình của $Delta BDC$
$Rightarrow MO//BC$. Mà $EO//BC$
$Rightarrow E,O,M$ thẳng hàng (tiên đề Ơcolit)
Cho $vartriangle ABC$ cân ở A. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH. Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. chứng minh:
|
Bài 5: Hướng dẫn nhanh
a) DE là đường trung bình của $vartriangle ABC$ $Rightarrow DE//AB;DI//AB$ HACB là hình bình hành do FA = FB; FH = FC Hay AI // BD Xét tứ giác BDIA có:DI//AB; AI // BD $Rightarrow $ BDIA là hình bình hành. |
|
b) Ta có: HIDB là hình thang ( HI // BD)
HACB là hình bình hành nên $widehat{AHB}=widehat{ACB}$
Mà $widehat{ACB}=widehat{ABC};widehat{ABC}=widehat{AID}$ .Vậy $widehat{BHI}=widehat{HID}$ $Rightarrow $ BDIH là hình thang cân.
c) Ta có EG // AF hay G là trung điểm của FC.
Dễ dàng chứng minh FECD là hình bình hành từ đó suy ra GE = GD, nên HG là đường trung tuyến của tam giác HDE lại có HF = FC nên HF = 2 FG. Vậy H là trọng tâm tam giác HDE
P/s: Học sinh có thể có nhiều cách chứng minh khác.
– Hết -.
