PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 06
Đại số 8 : §7+8: Phân tích đa thức thành nhân tử (HĐT + nhóm hạng tử)
Hình học 8: § 7: Hình bình hành
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$ b) $49-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$
c) ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4bc-4{{c}^{2}}$ d) $4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}$
e) ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}+{{\left( a+b-c \right)}^{2}}-4{{c}^{2}}$
Bài 2: Tìm $x$, biết:
a) ${{x}^{2}}-3x=0$ b) ${{x}^{5}}-9x=0$
c) $\left( {{x}^{3}}-4{{x}^{2}} \right)-\left( x-4 \right)=0$ d) ${{\left( 4{{x}^{2}}-25 \right)}^{2}}-9{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}=0$
Bài 3: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. $AF$ và $EC$ lần lượt cắt $DB$ ở $G$ và $H$. Chứng minh:
a) $DG=GH=HB$
b) Các đoạn thẳng $AC;EF;GH$ đồng quy
Bài 4: Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $E,F,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,OE.$
a) Chứng minh $AF$ cắt $OE$ tại $H$.
b) $DF,DE$ lần lượt cắt $AC$ tại $T,S$. Chứng minh: $AS=ST=TC$
c) $BT$ cắt $DC$ ở $M$. Chứng minh $E,O,M$ thẳng hàng
Bài 5: Cho $\vartriangle ABC$ cân ở A. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH. Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. chứng minh:
- BDIA là hình bình hành
- BDIH là hình thang cân
- F là trọng tâm của $\Delta HDE$
- - Hết –
- PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
|
a) ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$ $={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $={{\left( x+y \right)}^{2}}-{{\left( 2xy \right)}^{2}}$ $=\left( x+y-2xy \right)\left( x+y+2xy \right)$ |
b) $49-{{a}^{2}}+2ab-{{b}^{2}}$ $=49-\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)$ $={{7}^{2}}-{{\left( a-b \right)}^{2}}$ $=\left( 7-a+b \right)\left( 7+a-b \right)$ |
|
c) ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4bc-4{{c}^{2}}$ $={{a}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-4bc+4{{c}^{2}} \right)$ $={{a}^{2}}-\left[ {{b}^{2}}-2b.2c+{{\left( 2c \right)}^{2}} \right]$ $={{a}^{2}}-{{\left( b-2c \right)}^{2}}$ $=\left( a-b+2c \right)\left( a+b-2c \right)$ |
d) $4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}$ $={{\left( 2bc \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}$ $=\left( 2bc-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\left( 2bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)$ $=\left[ {{a}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}} \right) \right]\left( {{b}^{2}}+2bc+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)$ $=\left[ {{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( b+c \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]$ $=\left( a-b+c \right)\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( b+c+a \right)$ |
|
e) ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}+{{\left( a+b-c \right)}^{2}}-4{{c}^{2}}$ $={{\left( a+b+c \right)}^{2}}+\left( a+b-c-2c \right)\left( a+b-c+2c \right)$ $={{\left( a+b+c \right)}^{2}}+\left( a+b-3c \right)\left( a+b+c \right)$ $=\left( a+b+c \right)\left( a+b+c+a+b-3c \right)$ $=\left( a+b+c \right)\left( 2a+2b-2c \right)$ $=2\left( a+b+c \right)\left( a+b-c \right)$
|
|
Bài 2:
|
a) ${x^2} - 3x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0$ \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $x \in \left\{ {0;3} \right\}$ . |
b) ${x^5} - 9x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left( {{x^4} - 9} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $x \in \left\{ { - \sqrt 3 ;0;\sqrt 3 } \right\}$ .
|
|
c) $\left( {{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {x - 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 4} \right) - \left( {x - 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $x \in \left\{ { - 1;1;4} \right\}$. |
d) ${\left( {4{x^2} - 25} \right)^2} - 9{\left( {2x - 5} \right)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {4{x^2} - 25 - 3\left( {2x - 5} \right)} \right]\left[ {4{x^2} - 25 + 3\left( {2x - 5} \right)} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} - 25 - 6x + 15} \right)\left( {4{x^2} - 25 + 6x - 15} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} - 6x - 10} \right)\left( {4{x^2} + 6x - 40} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 4x - 10x - 10} \right)\left( {4{x^2} + 16x - 10x - 40} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 4x - 10x - 10} \right)\left( {4{x^2} + 16x - 10x - 40} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4x - 10} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {4x - 10} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {4x - 10} \right)^2}\left( {x + 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} Vậy $x \in \left\{ { - 4; - 1;\frac{5}{2}} \right\}$.
|
Bài 3:
a)+ Gọi $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow OB=OD;OA=OC$ (tính chất hình bình hành).
+ Xét $\Delta ACB$ có: $E$ là trung điểm của $AB$; $O$ là trung điểm của $AC$
$\Rightarrow CE;BO$ là 2 đường trung tuyến
mà $CE\cap BO=\left\{ H \right\}\Rightarrow $ $H$ là trọng tâm của $\Delta ACB$
$\Rightarrow BH=\frac{2}{3}BO;HO=\frac{1}{3}BO$
Cmtt ta có: \[DG = \frac{2}{3}DO;GO = \frac{1}{3}DO\]
+ Có: \[BH = \frac{2}{3}BO;DG = \frac{2}{3}DO \Rightarrow BH = DG\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}\]
+ \[HO = \frac{1}{3}BO;GO = \frac{1}{3}DO\] .
Mà \[BO = DO \Rightarrow HO + GO = \frac{1}{3}BO + \frac{1}{3}DO = \frac{1}{3}BO + \frac{1}{3}BO = \frac{2}{3}BO \Rightarrow GH = BH\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 2 \right)}
\end{array}\]
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow BH=DG=HG$
b) + Có $AC\cap BD=\left\{ O \right\}$
+ Xét hình bình hành $ABCD$ có $AB=DC;AB//DC$ mà $E,F$ là trung điểm của $AB;DC$
$\Rightarrow AE=EB=CF=DF;AE//FC$.
+ Xét tứ giác $AECF$ có $AE=CF;AE//FC$ (cmt) $\Rightarrow $ tứ giác $AECF$ là hình bình hành
+ Xét hbh $AECF$ có $AC;EF$ là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà $O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AC\cap EF=\left\{ O \right\}$
$\Rightarrow $ ba đường thẳng $AC;BD;EF$ đồng quy tại $O$
Bài 4:
a) Xét $\Delta ABC$ có $E,O$ là trung điểm của $AB,AC\Rightarrow $ $EO$ là đường trung bình của tam giác $\Delta ABC$
$\Rightarrow EO=\frac{1}{2}BC;EO//BC$
Mà $F$ là trung điểm của $BC\Rightarrow AF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$.
Có $H$ là trung điểm của $EO;EO//BC\Rightarrow H\in AF$.
Vậy $AF\cap EO=\left\{ H \right\}$
b) + Gọi $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow OB=OD;OA=OC$ (tính chất hình bình hành).
+ Xét $\Delta ADB$ có: $E$ là trung điểm của $AB$; $O$ là trung điểm của $BD$
$\Rightarrow BE;AO$ là 2 đường trung tuyến
mà $DE\cap AO=\left\{ S \right\}\Rightarrow $ $S$ là trọng tâm của $\Delta ABD$
$\Rightarrow AS=\frac{2}{3}AO;SO=\frac{1}{3}AO$
Cmtt ta có: $CT=\frac{2}{3}CO;TO=\frac{1}{3}CO$
+ Có $AS = \frac{2}{3}AO;CT = \frac{2}{3}CO \Rightarrow AS = CT\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}$
+ $SO=\frac{1}{3}AO;TO=\frac{1}{3}CO$.
Mà $AO = CO \Rightarrow SO + TO = \frac{1}{3}AO + \frac{1}{3}CO = \frac{1}{3}AO + \frac{1}{3}AO = \frac{2}{3}AO \Rightarrow ST = AS\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 2 \right)}
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow AS=ST=TC$
c) Theo cm câu b, $T$ là trọng tâm của $\Delta BDC\Rightarrow BT$ là đường trung tuyến của $\Delta BDC$
Mà $BT\cap DC=\left\{ M \right\}\Rightarrow BM$ là đường trung tuyến của $\Delta BDC$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của $DC$
Xét $\Delta BDC$ có $M,O$ là trung điểm của $DC,DB\Rightarrow MO$ là đường trung bình của $\Delta BDC$
$\Rightarrow MO//BC$. Mà $EO//BC$
$\Rightarrow E,O,M$ thẳng hàng (tiên đề Ơcolit)
Cho $\vartriangle ABC$ cân ở A. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH. Các đường thẳng DE và AH cắt nhau tại I. chứng minh:
|
Bài 5: Hướng dẫn nhanh
a) DE là đường trung bình của $\vartriangle ABC$ $\Rightarrow DE//AB;DI//AB$ HACB là hình bình hành do FA = FB; FH = FC Hay AI // BD Xét tứ giác BDIA có:DI//AB; AI // BD $\Rightarrow $ BDIA là hình bình hành. |
|
b) Ta có: HIDB là hình thang ( HI // BD)
HACB là hình bình hành nên $\widehat{AHB}=\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ABC};\widehat{ABC}=\widehat{AID}$ .Vậy $\widehat{BHI}=\widehat{HID}$ $\Rightarrow $ BDIH là hình thang cân.
c) Ta có EG // AF hay G là trung điểm của FC.
Dễ dàng chứng minh FECD là hình bình hành từ đó suy ra GE = GD, nên HG là đường trung tuyến của tam giác HDE lại có HF = FC nên HF = 2 FG. Vậy H là trọng tâm tam giác HDE
P/s: Học sinh có thể có nhiều cách chứng minh khác.
- Hết -.
