PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $left
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$
Chú ý:
1.1.3. Tọa độ véc tơ
1.1.4. Tọa độ điểm
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
- $vec{u}=vec{v}Leftrightarrow left{ begin{align} & a=a’ \ & b=b’ \ & c=c’ \ end{align} right.$
- $koverrightarrow{u}=left
$ - $overrightarrow{u}overrightarrow{v}=left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|.cos left
=aa’+bb’+cc’$ - $cos left
=frac{overrightarrow{u}overrightarrow{v}}{left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|}=frac{aa’+bb’+cc’}{left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{v} right|}$ - $left| overrightarrow{u} right|=sqrt{{{overrightarrow{u}}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
- $overrightarrow{u}bot overrightarrow{v}Leftrightarrow overrightarrow{u}overrightarrow{v}=0$
- $overrightarrow{AB}=left
$ - $AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{left
}^{2}}+{{left }^{2}}+{{left }^{2}}}$
1.1.6. Chú ý
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là
Công thức tọa độ của M là :
1.1.8. Công thức trung điểm
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
-
- $left
$ vuông góc với $vec{u}$ và $vec{v}$ - $left| left
right|=left| {vec{u}} right|.left| {vec{v}} right|sin left $ - $left
=vec{0}Leftrightarrow vec{u},vec{v}$cùng phương
- $left
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
-
- Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
- Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích
Phương pháp giải
-
- Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
- Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
- Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
- Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
- $A,,B,,C$ thẳng hàng $Leftrightarrow overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC}$ cùng phương $Leftrightarrow overrightarrow{AB}=koverrightarrow{AC}Leftrightarrow left
=overrightarrow{0}$ - $ABCD$ là hình bình hành $Leftrightarrow overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$
- Cho $Delta ABC$ có các chân $E; F$ của các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$ của $Delta ABC$ trên $BC$.
Ta có: $overrightarrow{EB}=frac{-AB}{AC}.overrightarrow{EC}; overrightarrow{FB}=frac{AB}{AC}.overrightarrow{FC}$
- $A,,B,C,D$ không đồng phẳng $Leftrightarrow overrightarrow{AB}; overrightarrow{AC}; overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng
$Leftrightarrow left
2. MẶT PHẲNG
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
- $left
$ qua gốc tọa độ $Leftrightarrow D=0$ - $left
$ song song hoặc trùng $left Leftrightarrow A=B=0$ - $left
$ song song hoặc trùng $left Leftrightarrow B=C=0$ - $left
$ song song hoặc trùng $left Leftrightarrow A=C=0$ - $left
$ song song hoặc chứa $OxLeftrightarrow A=0$ - $left
$ song song hoặc chứa $OyLeftrightarrow B=0$ - $left
$ song song hoặc chứa $OzLeftrightarrow C=0$ - $left
$ cắt $Ox$ tại $Aleft ,$ cắt $Oy$ tại $Bleft $ và cắt $Oz$ tại $Cleft Leftrightarrow left $ có phương trình $frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1 left $
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
2.1.7. Chùm mặt phẳng
Nội dung |
Hình vẽ |
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng $left Gọi $left $left Khi đó nếu $left $mleft Với ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}ne 0$ |
|
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng $left
2.2.1. Dạng 1
$left
$left
2.2.2. Dạng 2
$left
2.2.3. Dạng 3
$left
2.2.4. Dạng 4
$left
2.2.5. Dạng 5
$left
- Trên $left
$ lấy điểm $A$ và VTCP $overrightarrow{u}$. - Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $
2.2.6. Dạng 6
$left
2.2.7. Dạng 7
$left
- Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
- Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $ - Lấy một điểm $M$ thuộc d1 hoặc ${{d}_{2}}Rightarrow Min left
$
2.2.8. Dạng 8
$left
- Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
- Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $ - Lấy một điểm $M$ thuộc ${{d}_{1}}Rightarrow Min left
$
2.2.9. Dạng 9
$left
- Xác định các VTCP $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}.$
- Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $.
2.2.10. Dạng 10
$left
- Xác định VTCP $overrightarrow{u}$ của $d$ và VTPT $overrightarrow{{{n}_{beta }}}$ của $left
$ - Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $ - Lấy một điểm $M$ thuộc $dRightarrow Min left
$
2.2.11. Dạng 11
$left
- Xác định các VTPT $overrightarrow{{{n}_{beta }}}, overrightarrow{{{n}_{gamma }}}$ của $left
$ và $left $ - Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=left $
2.2.12. Dạng 12
$left
- Giả sử $left
$ có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0 left $ - Lấy 2 điểm $ABin left
Rightarrow A, Bin left $ (ta được hai phương trình $left ,left $) - Từ điều kiện khoảng cách $dleft
right)=k$ , ta được phương trình . - Giải hệ phương trình $left
,left ,left $ .
2.2.13. Dạng 13
$left
- Giả sử mặt cầu $left
$ có tâm $I$ và bán kính $R$ - Một VTPT của $left
$ là: $overrightarrow{n}=overrightarrow{IH}$
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $left
Khi đó:
- $left
$ cắt $left $ $Leftrightarrow A:B:Cne A’:B’:C’$ - $left
//left Leftrightarrow frac{A}{A’}=frac{B}{B’}=frac{C}{C’}ne frac{D}{D’}$ - $left
equiv left Leftrightarrow frac{A}{A’}=frac{B}{B’}=frac{C}{C’}=frac{D}{D’}$ - $left
bot left Leftrightarrow {{overrightarrow{n}}_{left }}bot {{overrightarrow{n}}_{left }}Leftrightarrow {{overrightarrow{n}}_{left }}.{{overrightarrow{n}}_{left }}=0Leftrightarrow AA’+BB’+CC’=0$
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}left
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $left
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm $M’$ đối xứng với điểm $M$ qua $left
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $left
$ left
Góc giữa $left
$cos left
Chú ý: ${{0}^{0}}le left
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng $left
- $left
$ và $left $ không có điểm chung $Leftrightarrow dleft right)>R$ - $left
$ tiếp xúc với $left Leftrightarrow dleft right)=R$ với$left $ là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ của $left
$ và vuông góc với $left $. - Tìm toạ độ giao điểm $H$ của $d$ và $left
$. $H$ là tiếp điểm của $left $ với $left $.
- $left
$ cắt $left $ theo một đường tròn $Leftrightarrow dleft right)<R$
Để xác định tâm $H$ và bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ của $left
$ và vuông góc với $left $. - Tìm toạ độ giao điểm $H$ của $d$ và $left
$. Với $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến của $left $ với $left $. - Bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến: $r=sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$
3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa
3.1.1.2. Chú ý
3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
3.2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
Khi đó :
$left
$left
vec a.vec n = 0\
{M_0} notin left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} ne 0
end{array} right.$
$left
vec a.vec n = 0\
{M_0} in left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = 0
end{array} right.$
Đặc biệt
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: ${{Delta }_{1}}$ đi qua $M$ và có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}$
${{Delta }_{2}}$ đi qua $N$ và có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}$
- ${{Delta }_{1}}equiv {{Delta }_{2}}Leftrightarrow left
=left =overrightarrow{0}$
${Delta _1} / / {Delta _2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left
left
end{array} right.$
${Delta _1} cap {Delta _2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left
left
end{array} right.$
- ${{Delta }_{1}}$ và ${{Delta }_{2}}$ chéo nhau $Leftrightarrow left
.overrightarrow{MN}ne 0$
3.2.2.2. Phương pháp đại số
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
3.2.3.1. Phương pháp hình học
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Thế
- Nếu phương trình $left
$ vô nghiệm thì d không cắt $left $ - Nếu phương trình
có một nghiệm thì s tiếp xúc - Nếu phương trình
có hai nghiệm thì d cắt tại hai điểm phân biệt M , N
Chú ý:
Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d
3.3. Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Nội dung |
Hình vẽ |
Định lý Trong không gian $left $begin{array}{l} Gọi $varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $alpha , beta $ ta có công thức: $cos varphi =frac{left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} right|}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$ |
|
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung |
Hình vẽ |
Cho đường thẳng $left và mặt phẳng $left Gọi $varphi $ là góc giữa $left $sin varphi =frac{left| Aa+Bb+Cc right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ |
|
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung |
Hình vẽ |
Cho mặt phẳng $left Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}$ đến mặt phẳng $left $dleft |
|
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung |
Hình vẽ |
Cho đường thẳng $left $dleft |
|
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau
Nội dung |
Hình vẽ |
Định lý: Trong không gian $left $left $left Khi đó khoảng cách giữa $left |
|
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng $d$ ta cần xác định 1 điểm thuộc $d$ và một VTCP của nó.
3.5.1. Dạng 1
$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left
x = {x_0} + {a_1}t\
y = {y_0} + {a_2}t\
z = {z_0} + {a_3}t
end{array} right.;;;left
3.5.2. Dạng 2
$d$ đi qua hai điểm $A, B:$ Một VTCP của $d$ là $overrightarrow{AB}$.
3.5.3. Dạng 3
$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left
3.5.4. Dạng 4
$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left
3.5.5. Dạng 5
$d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $left
- Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP.
- Tìm toạ độ một điểm $Ain d$ bằng cách giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}
left \
left
end{array} right.$ - Tìm một VTCP của $d:overrightarrow{a}=left
$
- Cách 2:
Tìm hai điểm $A, B$ thuộc $d$, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.5.6. Dạng 6
$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left
Vì $dbot {{d}_{1}}, dbot {{d}_{2}}$ nên một VTCP của $d$ là: $overrightarrow{a}=left
3.5.7. Dạng 7
$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}left
- Cách 1:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $Delta $. Thì $left{ begin{array}{l}
H in Delta \
overrightarrow {{M_0}H} bot overrightarrow {{u_Delta }}
end{array} right.$
- Cách 2:
Gọi $left
3.5.8. Dạng 8
$d$đi qua điểm ${{M}_{0}}left
- Cách 1:
Gọi ${{M}_{1}}in {{d}_{1}}, {{M}_{2}}in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $M, {{M}_{1}}, {{M}_{2}}$ thẳng hàng ta tìm được ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}$. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d$.
- Cách 2:
Gọi $left
3.5.9. Dạng 9
$d$ nằm trong mặt phẳng $left
Tìm các giao điểm $A={{d}_{1}}cap left
Khi đó chính là đường thẳng $AB.$
3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng $left
Khi đó $d=left
3.5.11. Dạng 11
$d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ chéo nhau:
- Cách 1:
Gọi ${{M}_{1}}in {{d}_{1}}, {{M}_{2}}in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $left{ begin{array}{l}
MN bot {d_1}\
MN bot {d_2}
end{array} right.,$
- Cách 2:
- Vì $left{ begin{array}{l}
d bot {d_1}\
d bot {d_2}
end{array} right.$ nên một VTCP của $d$ có thể là: .$overrightarrow a = left $ - Lập phương trình mặt phẳng $left
$ chứa$d$và ${{d}_{1}},$ bằng cách:
- Lấy một điểm $A$ trên ${{d}_{1}}.$
- Một VTPT của $left
$ có thể là: ${{overrightarrow{n}}_{P}}=left $.
- Tương tự lập phương trình mặt phẳng $left
$ chứa $d$ và ${{d}_{2}}.$ Khi đó $d=left cap left $.
3.5.12. Dạng 12
$d$ là hình chiếu của đường thẳng $Delta $ lên mặt phẳng $left
- Lấy $Min Delta $.
- Vì $left
$ chứa $Delta $ và vuông góc với $left $ nên ${{overrightarrow{n}}_{Q}}=left $. - Khi đó $d=left
cap left $.
3.5.13. Dạng 13
$d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${{d}_{1}}$ và cắt ${{d}_{2}}:$
- Cách 1:
Gọi $N$ là giao điểm của$d$ và ${{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $MNbot {{d}_{1}}$, ta tìm được $N.$ Khi đó, $d$ là đường thẳng $MN$.
- Cách 2:
- Viết phương trình mặt phẳng $left
$ qua $M$ và vuông góc với ${{d}_{1}}$ - Viết phương trình mặt phẳng $left
$ chứa $M$ và ${{d}_{2}}.$ - Khi đó $d=left
cap left .$
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
- Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
- Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
- Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
- Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
- Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.
3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$
- Cách 1:
Cho đường thẳng $d$ đi qua ${{M}_{0}}$ và có VTCP $overrightarrow{a}$ thì $dleft
- Cách 2:
- Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên đường thẳng $d$
- $dleft
=MH$
- Cách 3:
- Gọi $Nleft
in d$. Tính $M{{N}^{2}}$theo $t (t$ tham số trong phương trình đường thẳng $d)$ - Tìm $t$ để $M{{N}^{2}}$ nhỏ nhất.
- Khi đó $Nequiv H.$ Do đó $dleft
=MH.$
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$ Biết ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có VTCP ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có VTCP $overrightarrow{{{a}_{2}}}$ thì $dleft
Chú ý:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ bằng khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ với mặt phẳng $left
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng $left
3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ lần lượt có các VTCP ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{overrightarrow{a}}_{2}}$.
Góc giữa ${{d}_{1}}, {{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa ${{overrightarrow{a}}_{1}}, {{overrightarrow{a}}_{2}}$ là: $cos left
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng $d$ có VTCP $overrightarrow{a}=left
Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $left
4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
4.1.2. Phương trình tổng quát
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
4.3. Một số bài toán liên quan
4.3.1. Dạng 1
$left
4.3.2. Dạng 2
$left
4.3.3. Dạng 3
$left
- Tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng
$AB: {{x}_{1}}=frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}; {{y}_{1}}=frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}; {{z}_{1}}=frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}$
- Bán kính $R=IA=frac{AB}{2}$
4.3.4. Dạng 4
$left
- Giả sử phương trình mặt cầu $left
$ có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0 left
- Thay lần lượt toạ độ của các điểm $A,B,C,D$ vào
ta được 4 phương trình. - Giải hệ phương trình đó, ta tìm được $a, b, c,d Rightarrow $ Phương trình mặt cầu $left
$ .
4.3.5. Dạng 5
$left
4.3.6. Dạng 6
$left
- Xác định tâm I và bán kính R’ của mặt cầu
. - Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính $R$ của mặt cầu $left
$.
Chú ý:
4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu
4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu
- Đường tròn cho trước
thì từ công thức diện tích đường tròn $S=pi {{r}^{2}}$ hoặc chu vi đường tròn $P=2pi r$ ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến $r$. - Tính $d=dleft
right)$ - Tính bán kính mặt cầu $R=sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}$
- Kết luận phương trình mặt cầu.
4.3.9. Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu
4.3.10. Dạng 10
4.3.10. Dạng 10
4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm $M$ thoả tính chất $left
- Tìm hệ thức giữa các toạ độ $x, y,z$ của điểm $M$
${{left
- Tìm giới hạn quĩ tích
.
4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
- Tìm toạ độ của tâm $I$, chẳng hạn: $left{ begin{array}{l}
x = fleft \
y = gleft \
z = hleft
end{array} right.$ - Khử $t$ trong
ta có phương trình tập hợp điểm. - Tìm giới hạn quĩ tích
.
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN
5.1. Dạng 1
Cho $left
Phương pháp
- Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $left
Rightarrow M, A, B$ thẳng hàng$Rightarrow M=ABcap left $ - Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $left
$ thì tìm $B’$ là đối xứng của $B$ qua $left $
5.2. Dạng 2
Cho $left
Phương pháp
- Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $left
Rightarrow M, A, B$ thẳng hàng $Rightarrow M=ABcap left $ - Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $left
$ thì tìm $B’$ là đối xứng của $B$ qua $left $
$Rightarrow left| MA-MB’ right|=AB’$
5.3. Dạng 3
Cho điểm $Mleft
Phương pháp $left
5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng $left
Phương pháp $left
Qua;A in d\
{overrightarrow n _{left
5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng $left
Phương pháp $left
Qua;A\
{overrightarrow n _{left
end{array} right.$
5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng $left
Phương pháp $left
Qua;A in d\
{overrightarrow n _{left
5.7. Dạng 7
Cho $Delta //left
Phương pháp
Lấy $Ain Delta $ , gọi $A’$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $left
Qua;A’\
{overrightarrow u _d} = {overrightarrow u _Delta }
end{array} right.$
5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $left
Phương pháp $d:left{ begin{array}{l}
Qua;A in d\
{overrightarrow u _d} = left
5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $left
Phương pháp $d:;left{ begin{array}{l}
Qua;A in d\
{overrightarrow u _d} = left
5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $Ain left
Phương pháp
$d:;left{ begin{array}{l}
Qua;A in d\
{overrightarrow u _d} = left