LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH MÔN TOÁN VÀO CHUYÊN 10 TỈNH HÀ NAM
NĂM 2017-2018
(Đề thi chung)
Câu 1: (1,5 điểm).
Rút gọn các biểu thức sau:
- $A=4\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{18}$.
- $B=\left( \dfrac{x-2\sqrt{x}}{x-4}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2} \right):\left( 1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+2} \right)$, (với $x\ge 0$, $x\ne 4$).
Lời giải
- $A=4\sqrt{2}-3\sqrt{8}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}-3\sqrt{{{2}^{2}}.2}+\sqrt{{{3}^{2}}.2}=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
- Với điều kiện $x\ge 0$, $x\ne 4$ biểu thức $B$ trở thành:
$B=\left( \frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}-\frac{2}{\sqrt{x}+2} \right):\left( 1-\frac{4}{\sqrt{x}+2} \right)$
$\,\,\,\,\,=\left( \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\frac{2}{\sqrt{x}+2} \right):\left( \frac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2} \right)\,\,\,\,\,=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}+2} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2} \right)$
$\,\,\,\,\,\,=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=1$.
Câu 2: (2,0 điểm).
- Giải phương trình $3{x^2} - 2x - 1 = 0$.
- Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 13\\
2x - y = 1
\end{array} \right.$.
Lời giải
- $3{{x}^{2}}-2x-1=0$
$\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.3.\left( -1 \right)=16$.
$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=4$.
Vì $\Delta >0$ nên phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt :
${{x}_{1}}=\frac{2+4}{6}=1$; ${{x}_{2}}=\dfrac{2-4}{6}=\dfrac{-1}{3}$.
Vậy phương trình trên có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ - 1}}{3};{\mkern 1mu} 1} \right\}$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = 13\\
2x - y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4y = 12\\
2x - y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3\\
2x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3\\
x = 2
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm: $\left( 2;\,3 \right)$.
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình $y=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}$ (với $m$ là tham số).
- Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
- Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$. Xác định $m$ để $\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13$.
Lời giải
- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và $y=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}$ là:
\(\begin{align} & {{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}=0\quad \left( 1 \right) \\ \end{align}Ta có: {\Delta }'={{\left[ -\left( m+1 \right) \right]}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1\)
Để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0$$\Leftrightarrow 2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$.
Vậy với $m>-\frac{1}{2}$ thì đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
- Với $m>-\frac{1}{2}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$ (giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right)$).
Áp dụng hệ thức Vi – ét với phương trình $\left( 1 \right)$, ta có:\(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2\left( m+1 \right) \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}={{m}^{2}}\quad \quad \quad \\ \end{matrix} \right.\)Khi đó:\(\begin{align} & \left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13 \\ & \Leftrightarrow 4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1-13=0 \\ & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+2.2\left( m+1 \right)-12=0 \\ & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m-8=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1 \\ m=-2 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\)Kết hợp điều kiện $m>-\frac{1}{2}$, ta thấy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
