|
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH |
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2018 - 2019 Môn : TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) |
Câu 1: (2,0 điểm)
|
Nội dung |
Điểm |
|
a) (1,0 điểm) Điều kiện: $x\ne -y;\,x\ne -1;\,y\ne 1.$ |
0,25 |
|
$P=\dfrac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{3}}}{(x+y)(1-y)(1+x)}=\dfrac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}+x-y-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{(1-y)(1+x)}$ |
0,25 |
|
$=\dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}y+x-y}{1+x}$ |
0,25 |
|
$=x+xy-y.$ |
0,25 |
|
b) (1,0 điểm) Đặt $S=\sqrt{1+\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{2017}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2018}^{2}}}}.$ Ta có$\sqrt{1+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(n+1)}^{2}}}}=\sqrt{1+{{\left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)}^{2}}+\dfrac{2}{n(n+1)}}$ $(n\in {{\mathbb{N}}^{*}})$ |
0,25 |
|
$=\sqrt{{{\left( 1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right)}^{2}}}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.$ |
0,25 |
|
Áp dụng đẳng thức trên ta được $S=\left( 1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right)+\left( 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right)+...+\left( 1+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018} \right)$ |
0,25 |
|
= $2018-\dfrac{1}{2018}<2018.$ (điều phải chứng minh) |
0,25 |
Câu 2: (2,0 điểm)
|
Nội dung |
Điểm |
|
a) (1,0 điểm) Điều kiện: ${{x}^{2}}+2x-1>0.$ $2\left( \left( 1-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}+x \right)={{x}^{2}}-1\Leftrightarrow 2(1-x)\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}={{x}^{2}}-2x-1\,\,\,\,(1)$ Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=y\,.\,\,\,\,\,\,(y\ge 0)$ |
0,25 |
|
PT (1) trở thành ${{y}^{2}}-2(1-x)y-4x=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0,25 |
|
Với $y=2$ thì $\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=2\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{6}.$ (thỏa mãn điều kiện) Với $y=-2x$ thì $\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}=-2x$ (vô nghiệm) |
0,25 |
|
Phương trình có tập nghiệm $\left\{ -1-\sqrt{6};-1+\sqrt{6} \right\}.$ |
0,25. |
|
2) (1,0 điểm) Điều kiện $x\le 8;y\ge -1;x-y\ge 0.$ Hệ đã cho tương đương $\left\{ \begin{array}{l} Nhận xét: $y=-1$ và $y=0$ không thỏa mãn, do đó |
0,25 |
|
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{x-y}{y+1}+\sqrt{\dfrac{x-y}{y+1}}-2=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x-y}{y+1}}=1\Leftrightarrow x=2y+1$. Thế vào (2) ta được phương trình $4\sqrt{y+1}-3\sqrt{7-2y}+4{{y}^{2}}-10y-11=0$$\Leftrightarrow 4\left( \sqrt{y+1}-2 \right)-3\left( \sqrt{7-2y}-1 \right)+4{{y}^{2}}-10y-6=0$ $\Leftrightarrow \left( y-3 \right)\left( \dfrac{2}{\sqrt{y+1}+2}+\dfrac{3}{\sqrt{7-2y}+1}+2y+1 \right)=0.\,\,(3)$ |
0,25 |
|
Với $-1<y\le \dfrac{7}{2}$ thì $\dfrac{2}{\sqrt{y+1}+2}\ge \dfrac{2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}};\,\dfrac{3}{\sqrt{7-2y}+1}>\dfrac{3}{4};\,2y+1>-1$ $\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{y+1}+2}+\dfrac{3}{\sqrt{7-2y}+1}+2y+1>0$. |
0,25 |
|
Do đó $(3)\Leftrightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3.$ $\Rightarrow x=7$ thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là$(x;y)=(7;3).$ |
0,25 |
