Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017 (đề chung)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

(2,0đ)

1)

Biểu thức $A=\sqrt{x-1}+\dfrac{2}{3-x}$ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 0\\
x \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \ne 3
\end{array} \right.$

0,5

2)

Ta có $B=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}+x=\left| x-3 \right|+x$.

Với $x=3-\sqrt{3}$, ta có $B=\left| 3-\sqrt{3}-3 \right|+\left( 3-\sqrt{3} \right)=3$.

0,5

3)

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ có đường kính $AC=5\sqrt{2}$ cm.

Suy ra bán kính đường tròn đó là $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ cm.

0,5

4)

Xét phương trình ${x^2} =  - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 2.
\end{array} \right.$

Với $x=1\Rightarrow y=1;$ với $x=-2\Rightarrow y=4$.

Tọa độ các giao điểm cần tìm là $\left( 1;1 \right)$ và $\left( -2;4 \right)$.

0,5

Câu 2

(1,5đ)

1)

Ta có $P=\dfrac{3x+6\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\dfrac{{{\left( \sqrt{x}+2 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

0,25

            $\,\,\,\,=\dfrac{3x+6\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}-4-x+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

0,25

               $\,=\dfrac{x+2\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

0,25

                $=\dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.

0,25

2)

$P=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$.

0,25

Với $x\ge 0;\,\,x\ne 1$ ta có $\sqrt{x}+2\ge 2\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\le \dfrac{1}{2}\Rightarrow 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow P\le \dfrac{3}{2}.$

0,25

Câu 3

(2,5đ)

1.a)

Ta có $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m-2 \right)={{m}^{2}}-6m+9={{\left( m-3 \right)}^{2}}$.

0,25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m\ne 3$.

0,25

0,25

Đối chiếu điều kiện ta được $m=1$ là giá trị cần tìm.

0,25

1.b)

0,25

Phương trình có nghiệm lớn hơn 2 khi và chỉ khi $m-1>2\Leftrightarrow m>3$.

0,25

2)

 ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = m - 1.
\end{array} \right.$

Điều kiện: $2x+y\ge 2$

(1) $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2x+y \right)+\left( x-y \right)=0\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2x+y+1 \right)=0$

0,25

 $\Leftrightarrow x=y$ vì $2x+y+1>0\,$ do $2x+y\ge 2$.

0,25

 Thế $y=x$ vào (2) ta được $\sqrt{3x-2}=2x-2$

0,25

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
4{x^2} - 11x + 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.$

Với $x=2\Rightarrow y=2$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right)$.

0,25

Câu 4

(3 đ)

1)

Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật, suy ra $I$ là trung điểm của $AH$

0,25

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của $\Delta AHD\Rightarrow IK$ song song $AD$

0,25

$\Rightarrow KI\bot AB$ ($AD\bot AB$)

0,25

Xét $\Delta ABK$ có $KI\bot AB$ và $AI\bot BD$ (giả thiết),

suy ra I là trực tâm của $\Delta ABK.$

0,25

2)

$BI\bot AK$ ( I  là trực tâm của $\Delta ABK$)                                               (1) 

0,25

$IK$ song song $AD$, $IK=\dfrac{1}{2}AD$ ($IK$ là đường trung bình của $\Delta AHD$)

$\Rightarrow IK$ song song $BM$, $IK=BM$

Do đó tứ giác $BMKI$ là hình bình hành $\Rightarrow BI$ song song $MK$         (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra $MK\bot AK$ hay $\widehat{AKM}={{90}^{0}}$.

0,25

$\widehat{ABM}\,\,+\,\,\widehat{AKM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$, do đó tứ giác $ABMK$ là tứ giác nội tiếp.

0,25

3)

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao nên $A{{H}^{2}}=BH.DH$

0,25

Do đó $A{{H}^{3}}=BE.BD.DF\Leftrightarrow AH.A{{H}^{2}}=BE.BD.DF$$\Leftrightarrow AH.BH.DH=BE.BD.DF$

$\Leftrightarrow AH.\dfrac{BH}{BD}.DH=BE.DF\Leftrightarrow AH.\dfrac{BE}{BA}.DH=BE.DF$ ($HE$ song song $AD$).

0,25

$\Leftrightarrow \dfrac{AH.DH}{BA}=DF\Leftrightarrow AH.DH=AB.DF$            (*)

0,25

$\Delta ABH$ đồng dạng với $\Delta DHF$(g.g), do đó $\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{DF}{DH}\Leftrightarrow AH.DH=AB.DF$. Suy ra (*)  đúng. Vậy $A{{H}^{3}}=BE.BD.DF$.

0,25

Câu 5

(1 đ)

Ta có $\dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2}=\dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2(xy+yz+zx)}=\dfrac{1}{4{{x}^{2}}+2xy+yz+2zx}$

                           $\,\,\,\,\,=\dfrac{1}{\left( 2x+y \right)\left( 2x+z \right)}$.

Tương tự, ta có $S=\dfrac{1}{\left( 2x+y \right)\left( 2x+z \right)}+\dfrac{1}{\left( 2y+z \right)\left( 2y+x \right)}+\dfrac{1}{\left( 2z+x \right)\left( 2z+y \right)}$

0,25

    $\Leftrightarrow S=\dfrac{yz}{\left( 2xz+yz \right)\left( 2xy+yz \right)}+\dfrac{xz}{\left( 2xy+xz \right)\left( 2yz+xz \right)}+\dfrac{xy}{\left( 2yz+xy \right)\left( 2xz+xy \right)}$

0,25

Với mọi $a,\,b$ ta có ${{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\Rightarrow ab\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}.$