Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI

ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học:  2016 – 2017

Nội dung

Điểm

a) $1,0điểm$

$sqrt{x+2+2sqrt{x+1}}-sqrt{x+2-2sqrt{x+1}}=sqrt{x+1+2sqrt{x+1}+1}-sqrt{x+1-2sqrt{x+1}+1}$

0,25

$=sqrt{{{left$sqrtx+1+1right$}^{2}}}-sqrt{{{left$sqrtx+1-1right$}^{2}}}$

0,25

$=left| sqrt{x+1}+1 right|-left| sqrt{x+1}-1 right|$

0,25

$=sqrt{x+1}+1-left$sqrtx+1-1right$=2.$

0,25

b) $1,0điểm$

 Do $a+b+c=6$ nên $dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}=dfrac{6-left$b+cright$}{b+c}+dfrac{6-left$c+aright$}{c+a}+dfrac{6-left$a+bright$}{a+b}$

0,25

                                   $=dfrac{6}{b+c}+dfrac{6}{c+a}+dfrac{6}{a+b}-3$

0,25

                                   $=6left$dfrac1b+c+dfrac1c+a+dfrac1a+bright$-3$

0,25

                                         $=6.dfrac{47}{60}-3=dfrac{47}{10}-3=dfrac{17}{10}.$

0,25

Nội dung

Điểm

a) $1,0điểm$   Điều kiện $2{{x}^{2}}+3x+1ge 0;,,1-3xge 0.$

Đặt $a=sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1};,,b=sqrt{{{x}^{2}}+1};,,,,a;bge 0$. Khi đó ta được $2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}=1-3x.$

0,25

Phương trình đã cho trở thành:

$a+sqrt{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=2b$$Rightarrow sqrt{2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}=2b-a$

                                 $Rightarrow 2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{left$2b-aright$}^{2}}$

                                 $Rightarrow 2left$a^2-2ab+b^{2}right$=0Rightarrow a=b.$

0,25

Với $2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} + 1 Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x =  – 3.
end{array} right.$

0,25

Thử lại ta được nghiệm phương trình là: $x=0;,x=-3.$

0,25

2) $1,0điểm$   

     $left{ begin{array}{l}
{x^2} + 3{y^2} – 3x – 1 = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left$1right$\
{x^2} – {y^2} – x – 4y + 5 = 0,,,,,,,,,,,,left$2right$
end{array} right.$

Cộng vế với vế của $1$ và $2$ ta được   $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-4y+4=0,,,,,,,,,,,left$3right$$

0,25

Phương trình $3$ tương đương với   ${{left$x-yright$}^{2}}+{{left$x+y-2right$}^{2}}=0$

0,25

0,25

Ta thấy $x=y=1$ thỏa mãn $1$ và $2$. Hệ đã cho có duy nhất nghiệm $left$x;yright$=left$1;1right$.$

0,25

Nội dung

Điểm

a) $1,0điểm$.

Chứng minh được tứ giác $BNHK$ và tứ giác $CMHK$ là các tứ giác nội tiếp.

0,25

Chứng minh được tứ giác $BNMC$ nội tiếp.

0,25

Chứng minh được $widehat{NBM}=widehat{NKH};,,,widehat{MCN}=widehat{MKH};widehat{NBM}=widehat{MCN.}$

0,25

Từ đó chứng minh được $widehat{MKH}=widehat{NKH}.$

0,25

b) $1,0điểm$.

Kẻ đường kính $AS$ của $left$O;Rright$$, nối $BS$. Ta có $widehat{Btext{S}A}=widehat{ACB}$ $haigócnộitiếpcùngchắnmộtcung$.

0,25

Tứ giác $BNMC$ nội tiếp nên $widehat{ANM}=widehat{ACB}$ $cùngbùvới\$widehatBNM\$$$Rightarrow widehat{ANM}=widehat{ASB}$

0,25

Trong tam giác $ABS$ ta có $widehat{ABS}={{90}^{0}}$ $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$ nên $widehat{BSA}+widehat{BAS}={{90}^{0}}$. Suy ra $widehat{ANM}+widehat{BAS}={{90}^{0}}$ $Rightarrow AObot MN$ hay $AObot IJ.$

0,25

Tam giác $OIJ$ cân ở $O$$left$OI=OJright$$, $AObot IJ$ suy ra  $AO$ đi qua trung điểm $IJ.$

0,25

c) $1,0điểm$.  

Ta có $widehat{ABS}=widehat{SCA}={{90}^{0}}$ $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$ $Rightarrow SCbot AC;,SBbot AB$

$Rightarrow CH$ song song  $SB$ $cùngvuônggóc\$BC\$$

$Rightarrow BH$ song song  $SC$ $cùngvuônggóc\$AB\$$

$Rightarrow BHCS$ là hình bình hành $Rightarrow P$ là trung điểm của $HS$ $vì\$P\$làtrungđiểmcủa\$BC\$$.                                    

Do đó $OP$ là đường trung bình của tam giác $AHS$$Rightarrow OP=dfrac{1}{2}AH.$

0,5

Trong tứ giác $ANHM$ ta có  $A{{H}^{2}}=N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}$

$N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}ge 2NA.NH$ hay $N{{A}^{2}}+N{{H}^{2}}ge 4{{S}_{Delta NAH}}$ $Vì\$2NA.NH=4S_{DeltaNAH}\$$

$M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}ge 2MA.MHRightarrow M{{A}^{2}}+M{{H}^{2}}ge 4{{S}_{Delta MAH}}$ (Vì $2MA.MH=4{{S}_{Delta MAH}}$)

$Rightarrow 2.H{{A}^{2}}ge 4{{S}_{ANHM}}$$Rightarrow 8.text{O}{{P}^{2}}ge 4S$ hay $2.O{{P}^{2}}ge S.$

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $NH=NA;MH=MA$, khi đó $widehat{MAN}={{90}^{0}}$ hay $widehat{BAC}={{90}^{0}}$ $mâuthuẫnvớitamgiác\$ABC\$nhọn$. Do đó không xảy ra dấu bằng, suy ra $2.O{{P}^{2}}>S.$

0,25

Nội dung

Điểm

a) $0,75điểm$.

Với mỗi số nguyên $kne 0$ ta có: ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{text{z}}^{2}}=0Leftrightarrow {{k}^{30}}{{x}^{5}}+{{k}^{30}}.8{{y}^{3}}+{{k}^{30}}.7{{text{z}}^{2}}=0$

                                                                                    $Leftrightarrow {{left$k^6.xright$}^{5}}+8{{left$k^{10}.yright$}^{3}}+7{{left$k^{15}.zright$}^{2}}=0.$

0,25

Do đó nếu $left$x_0;y_0;z_{0}right$$ là một bộ số nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài thì với mỗi số nguyên $kne 0$ ta cũng có  $left$k^6{x}_0;k^{10}{y}_0;k^{15}{z}_{0}right$$cũng là một bộ số nguyên khác thỏa mãn điều kiện đề bài.

0,25

Ta thấy bộ $left$1;-2;3right$$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Từ đó suy ra tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên $left$x,y,zright$$ thỏa mãn $xyzne 0$ và ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{text{z}}^{2}}=0.$

Lưu ý: Học sinh có thể chỉ ra ngay bộ $left$k^6;-k^{10};k^{15}right$$ với $k$ là số nguyên khác 0 tùy ý là một bộ số nguyên thỏa mãn đề bài.

0,25

b) $0,75điểm$.

Giả sử $a;b;c$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài, ta có:

${{left$a-bright$}^{2}}+{{left$b-cright$}^{2}}+{{left$c-aright$}^{2}}=6abcLeftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=3abc$   $1$

0,25

Phân tích ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=left$a+b+cright$left$a^2+b^2+c^2-ab-bc-caright$$          $2$

0,25

Từ $1$ và $2$  ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=3abcleft$a+b+cright$$ hay ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abcleft$a+b+c+1right$$.

Do ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+1$ chia hết cho $a+b+c+1$ nên ta được 1 chia hết cho $a+b+c+1$

Suy ra $a=b=c=0.$

Thử lại: $a=b=c=0$ thỏa mãn. Vậy có duy nhất bộ số $left$a;b;cright$=left$0;0;0right$$ thỏa mãn đề bài.

0,25

Nội dung

Điểm

a) $0,75điểm$.

Đặt $x-y=a;,,x-z=b$ ta được $ab=1;,,ane b.$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

 $dfrac{1}{{{a}^{2}}}+dfrac{1}{{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{left$a-bright$}^{2}}}ge 4Leftrightarrow dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab}ge 4$$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 4$

0,25

$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2.$

0,25

Do $ab=1;,,ane b$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>2ab$ hay  ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2>0.$

Mặt khác $left$a^2+b^2-2right$+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2sqrt{left$a^2+b^2-2right$.dfrac{1}{left$a^2+b^2-2right$}}$ tức là

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2+dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2}ge 2$. Vậy  $dfrac{1}{{{left$x-yright$}^{2}}}+dfrac{1}{{{left$y-zright$}^{2}}}+dfrac{1}{{{left$z-xright$}^{2}}}ge 4.$

0,25

b) $0,75điểm$.

Đặt $k=ab+a+b=left$a+1right$left$b+1right$-1.$

Nếu trong 2 số $a,b$ tồn tại một số chia 3 dư 2 thì k chia 3 dư 2.

0,5

Ban đầu trên bảng gồm có số 2 và số 4 $mộtsốchia3dư1;mộtsốchia3dư2$. Suy ra tại mọi thời điểm, trên bảng luôn chỉ có một số chia 3 dư 1 và các số còn lại chia 3 dư 2. Do đó với cách thực hiện như đề bài, trên bảng không thể xuất hiện số