Đáp án
Bài 1
a. $A=\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$ , với $x>0$
$\begin{array}{l}
A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}}\\
A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x \_1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\\
A = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right){{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\sqrt x }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{x} = \frac{{1 - x}}{x}
\end{array}$
b. Điều kiện: $x>0$
$A>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1-x}{x}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2-2x>x\Leftrightarrow 3x<2\Leftrightarrow x<\dfrac{2}{3}$
Kết hợp với điều kiện $x>0$, Vậy với $0<x<\dfrac{2}{3}$ thì $A>\dfrac{1}{2}$
Bài 2
Gọi pt đường thẳng d có hệ số góc k là $y=kx+b$
a. M(1;-3) ϵ d nên: $-3=k.1+b\Rightarrow b=-3-k$
Khi đó đường thẳng d có dạng: $y=kx-3-k$
Nếu $k = 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y = - 3$ thì M$\notin $ d trái với giả thiết, suy ra $k\ne 0$
Đường thẳng d cắt Ox tại A nên $A({{x}_{0}};0)\in d:$ $k{{x}_{0}}-3-k=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{3+k}{k}$
$\Rightarrow A\left( \dfrac{3+k}{k};0 \right)$
Đường thẳng d cắt Oy tại B nên $B\left( 0;{{y}_{0}} \right)\in d:$ ${{y}_{0}}=k.0-3-k=-3-k$
$\Rightarrow B\left( 0;-3-k \right)$
b. Khi $k = 2$ thì $A\left( \dfrac{5}{2};0 \right)$; $B\left( 0;-5 \right)$
$OA=\dfrac{5}{2};OB=5$
Tam giác OAB vuông tại O
${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5 = \frac{{25}}{4}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {dvdt} \right)$
Bài 3:
Số có 2 chữ số có dạng $\overline{xy}$ , điều kiện: $x,y\in \left\{ 1;2;3;...;9\} \right.$
Số đảo ngược của $\overline{xy}$ là $\overline{yx}$. $\overline{xy}=10x+y;\overline{yx}=10y+x$
Theo đề ta có:$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overline {xy} - \overline {yx} = 18\\
\overline {xy} + {\overline {yx} ^2} = 618
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10x + y - (10y + x) = 18\\
10x + y + {(10y + x)^2} = 618
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9x - 9y = 18\\
10x + y + {(10y + x)^2} = 618
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y + 2\\
{x^2} + 100{y^2} + 20xy + 10x + y = 618{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.
\end{array}$
$x = 2 + y$ thế vào (2) ta được
$\begin{array}{l}
{\left( {2 + y} \right)^2} + 100{y^2} + 20\left( {2 + y} \right)y + 10\left( {2 + y} \right) + y = 618\\
\Leftrightarrow 4 + {y^2} + 4y + 100{y^2} + 40y + 20{y^2} + 20 + 10y + y = 618\\
\Leftrightarrow 121{y^2} + 55y - 594 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {tm} \right)\\
y = \frac{{ - 27}}{{11}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 4
\end{array} \right.$
Vậy số cần tìm là 42
Bài 4: 
a. Chứng minh APMQ nt (O)
Xét tứ giác APMQ có:
$\begin{array}{l}
\widehat {APM} = {90^o},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \widehat {AQM} = {90^o}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {gt} \right)\\
\Rightarrow \widehat {APM} + \widehat {AQM} = {180^o}
\end{array}$
Suy ra tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM
Gọi O là trung điểm của AM.
Suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ
b. Chứng minh $OH\bot PQ$
Ta có:
$\widehat{HPQ}=\widehat{HAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)
$\widehat{HQP}=\widehat{HAB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP)
Mà $\widehat{HAC}=\widehat{HAB}$ (do ∆ABC đều, AH đường cao, phân giác)
$ \Rightarrow $$\widehat{HPQ}=\widehat{HQP}$ suy ra ∆PHQ cân tại H suy ra HP=HQ (1)
Mặt khác OP=OQ (do O,Q đều thuộc (O) ) (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow $ OH là trung trực của PQ
$ \Rightarrow $$OH\bot PQ$ (đpcm)
c. Chứng minh MP+MQ=AH
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}MP.AB = \dfrac{1}{2}MP.BC{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {do{\kern 1pt} AB = BC} \right)\\
{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}MQ.AC = \dfrac{1}{2}MQ.BC{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {do{\kern 1pt} AB = BC} \right)\\
{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC
\end{array}$
Mà ${S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}MP.BC + \dfrac{1}{2}MQ.BC\\
\Leftrightarrow AH.BC = BC.\left( {MP + MQ} \right)\\
\Leftrightarrow AH = MP + MQ{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {dpcm} \right)
\end{array}$
Bài 5: 
∆ABC đều cạnh a
$\begin{array}{l}
\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.AM = x,AN = y\\
Cm:MN = a - x - y
\end{array}$
Ta có:
$\dfrac{AM}{MB}+\dfrac{AN}{NC}=1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{AM}}{{AB - AM}} + \frac{{AN}}{{AC - AN}} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} + \frac{y}{{a - y}} = 1\\
\Leftrightarrow x(a - y) + y(a - x) = (a - x)(a - y)\\
\Leftrightarrow {a^2} - 2ax - 2ay + 3xy = 0\\
\Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} - xy
\end{array}$
$ \Leftrightarrow {(a - x - y)^2} = {x^2} + {y^2} - xy$ (1)
Kẻ $MH\bot AC$
Ta có $\widehat{MAH}=60{}^\circ $ (do ∆ABC đều)
∆AHM vuông tại H: $MH=x.\sin 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$
$AH=x.\sin 60{}^\circ =\dfrac{x}{2}$
$HN=y-\dfrac{x}{2}$
Áp dụng ĐL Pitago trong tam giác vuông MNH:
$M{{N}^{2}}=M{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}$
= ${{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{x}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $M{{N}^{2}}={{(a-x-y)}^{2}}\Leftrightarrow MN=\left| a-x-y \right|$
Vì $\dfrac{x}{a-x}<1$ nên $x<\dfrac{a}{2}$ ; $\dfrac{y}{a-y}<1$ nên $y<\dfrac{a}{2}$
$\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{2}a\\
y < \frac{1}{2}a
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $$x+y<a$ nên $a-(x+y)>0$ hay $a-x-y>0$
Vậy $MN = a - x - y$ (đpcm)
