User Avatar
Tài khoản
User Avatar
Sách Tập 2: Tập đề thi thử vào 10 môn Toán các trường trên toàn quốc (thi vào tháng 4 và tháng 5) Lời giải đề 8 : Lời giải đề thi thư vào 10 trường THCS Quang Trung lần 2 năm 2017-2018

Lời giải đề 8 : Lời giải đề thi thư vào 10 trường THCS Quang Trung lần 2 năm 2017-2018

Lời giải đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Quang Trung lần 2 năm 2017-2018

Bài 1:

a) Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}$ với $x = 3 - 2\sqrt 2 $

$\begin{array}{l}
x = 3 - 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2  + {1^2} = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\\
 \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2  - 1
\end{array}$

ĐKXĐ: $x \ge 0;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \ne 25$

Thay $x={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$(TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

Vậy $x=3-2\sqrt{2}$ thì $A=1-\sqrt{2}$

b) Rút gọn biểu thức

$\begin{array}{l}
B = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt x  + 5}} + \dfrac{{\sqrt x  - 15}}{{25 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 5}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{DK:x \ge 0;x \ne 25}
\end{array}\\
B = \left[ {\dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  - 15}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}} \right].\dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}}
\end{array}$

$B = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 5} \right) - \sqrt x  + 15}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 1}}$

$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{2\sqrt x  - 10 - \sqrt x  + 15}}{{\sqrt x  + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}\\
B = \dfrac{{\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}\\
B = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}
\end{array}$

c) Với $P=A+B$. Tìm x để $P$ nhận giá trị nguyên

$P = A + B = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}$

Vì $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\forall x\in $ĐKXĐ $\Rightarrow \sqrt{x}+1>0\forall x\in $ĐKXĐ

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow P \ge 0\\
 \Rightarrow 0 \le P < 1
\end{array}$

$ \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}=0$

$\Leftrightarrow x=0$ (TMĐK)

Vậy x = 0 thì $A+B\in Z$

Bài 2:

Gọi năng suất dự kiến của người công nhân là $x$ (sản phẩm/giờ, $x\in N*$)

Thời gian người công nhân hoàn thành công việc theo dự kiến là $\dfrac{120}{x}$(giờ)

Số sản phẩm $2$ giờ đều người công nhân làm với năng suất dự kiến là: $2x$ (sản phẩm)

Số sản phẩm còn lại là $120-2x$ (sản phẩm)

Năng suất làm việc của người công nhân khi làm nốt số sản phẩm còn lại là: $x+3$ (sản phẩm/giờ)

Thời gian hoàn thành công việc còn lại là: $\dfrac{120-2x}{x+3}$(giờ)

Thời gian hoàn thành công việc trước dự định $1$ giờ $36$ phút  = $\dfrac{8}{5}$ giờ nên ta có phương trình:

$\dfrac{{120}}{x} - \left( {2 + \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}}} \right) = \dfrac{8}{3}$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}} = \dfrac{8}{3} + 2\\
 \Leftrightarrow 120(x + 3) - (120 - 2x)x = \dfrac{{18}}{5}(x + 3)x\\
 \Leftrightarrow 600x + 1800 - 600x + 10{x^2} = 18{x^2} + 54x\\
 \Leftrightarrow 8{x^2} + 54x - 1800 = 0\\
 \Leftrightarrow 4{x^2} + 27x - 900 = 0\\
\Delta  = {27^2} - 4( - 900).4 = 15129 > 0
\end{array}$

Phương trình có hai nghiệm phương trình:

$ \Rightarrow \sqrt \Delta   = \sqrt {15129}  = 123$

${x_1} = \dfrac{{ - 27 - 123}}{{2.4}} = \dfrac{{ - 150}}{8} = \dfrac{{ - 75}}{4}$(Loại)

${x_2} = \dfrac{{ - 27 + 123}}{{2.4}} = \dfrac{{96}}{8} = 12$(TMĐK)

Vậy năng suất dự định của người công nhân là 12 sản phẩm/giờ.

Bài 3:

a) $\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 2\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}\\
4x + my = 4\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{\left( 2 \right)}
\end{array}
\end{array} \right.$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow y = 2 - mx\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( 3 \right)$

Thay (3) vào $\left( 2 \right) \Rightarrow 4x + m\left( {2 - mx} \right) = 4$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4x + 2m - {m^2}x = 4\\
 \Leftrightarrow \left( {4 - {m^2}} \right)x = 4 - 2m
\end{array}$

Khi $m\ne \pm 2$ $\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{2}{m+2};\dfrac{4}{m+2} \right)$

$\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x,y \right)$

Mà $x > 0,y > 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  - 2\\
m \ne 2
\end{array} \right.$

b) Phương trình hoành độ của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là:

${{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x-\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0$

Ta có $\Delta  = {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall m$

$\Rightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có $2$nghiệm phân biệt

$\Rightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0$

Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 1\\
{x_1}.{x_2} =  - {m^2} - 1
\end{array} \right.$

Theo đề bài $\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2\sqrt 2 $

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} + 2\left| {{x_1}.{x_2}} \right| = 8\\
 \Rightarrow {m_1} = 1;{m_2} = \dfrac{{ - 3}}{5}
\end{array}$

Bài 4:

a) Chứng minh tứ giác : $AMHC$ và $AMBK$ nội tiếp

+) Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{CHB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{CHM}=90{}^\circ $.

Xét tứ giác$AMHC$ có:  $\widehat{CHM}+\widehat{CAM}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $mà hai góc ở vị trí đối nhau

⇒ tứ giác$AMHC$ nội tiếp.

+) Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{CKB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{MKB}=90{}^\circ $.

Xét tứ giác$AMBK$ có:

$\widehat{MKB}=\widehat{MAB}=90{}^\circ $mà hai đỉnh A và K liền kề cùng nhìn đoạn MB

⇒ tứ giác$AMBK$ nội tiếp.

b) Chứng minh : $BH.BM$ có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.

Xét $\left( MACH \right)$có: $\widehat{CAH}=\widehat{CMH}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{CH}$)$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CMB}\,\,$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MBC$ có: $\widehat{BAH}=\widehat{CMB}$; $\widehat{B}$ chung.

$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta MBC\,(g.g)\Rightarrow \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{AB}{MB}\Rightarrow BH.BM=AB.BC$

Vì$A,\,B,\,C$cố định $\Rightarrow AB,\,\,AC$không đổi $\Rightarrow BH.BM$ không đổi

$\Rightarrow BH.BM$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

c) Chứng minh: $KN$ song song với một đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.

Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{HNK}=\widehat{HBK}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{HK}$)                  $(1)$

$\Rightarrow \widehat{HBK}=\widehat{HCM}\,\,$( cùng phụ $\widehat{HMC}\,$hoặc cùng bù $\widehat{HCK}\,)\,\,$                     $(2)$

Xét $\left( MACH \right)$có: $\widehat{HCM}=\widehat{HAM}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{MH}\,\,$)       $(3)$

Từ $(1)\,,$$(2),$$(3)$$\Rightarrow \widehat{HNK}=\widehat{HAM}\,\,$

Hay  $\widehat{ANK}=\widehat{NAM}\,$ mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow KN//d$

d) Chứng minh trọng tâm $G$ của $\Delta ABH$chạy trên một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$

$HG$cắt $BC$tại $E$; $GI//OH\,\,\left( I\,\,\in \,\,BC \right)$

+) $IG=\dfrac{1}{3}OH=\dfrac{1}{3}OB$ không đổi mà I cố định $G\,\,\in \,\,\left( I\,\,;\,\dfrac{1}{3}OB \right)$

Bài 5:

Ta có: $\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \ge \,\,0$

Chứng minh: $ab + bc + ca \ge \,2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le \,5$

$ \Rightarrow {A_{\max }} = 5 \Leftrightarrow abc = 0\,$ hay $\,\left( {a,b,c} \right)$ sẽ là hoán vị của bộ 3 số $\left( {0;1;2} \right)$.

 

NHÓM GIẢI ĐỀ THI THỬ TOÁN 9 LÊN 10 HÀ NỘI

Mục lục - Tập 2: Tập đề thi thử vào 10 môn Toán các trường trên toàn quốc (thi vào tháng 4 và tháng 5)
Nhóm toan123.vn trên facebook