Lời giải đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Quang Trung lần 2 năm 2017-2018
Bài 1:
a) Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ với $x = 3 - 2\sqrt 2 $
$\begin{array}{l}
x = 3 - 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 + {1^2} = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\\
\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1
\end{array}$
ĐKXĐ: $x \ge 0;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \ne 25$
Thay $x={{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$(TMĐK) vào biểu thức $A$ có:
Vậy $x=3-2\sqrt{2}$ thì $A=1-\sqrt{2}$
b) Rút gọn biểu thức 
$\begin{array}{l}
B = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt x + 5}} + \dfrac{{\sqrt x - 15}}{{25 - x}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{DK:x \ge 0;x \ne 25}
\end{array}\\
B = \left[ {\dfrac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}} \right].\dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}}
\end{array}$
$B = \dfrac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right) - \sqrt x + 15}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}}$
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{2\sqrt x - 10 - \sqrt x + 15}}{{\sqrt x + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\\
B = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 5}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\\
B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}
\end{array}$
c) Với $P=A+B$. Tìm x để $P$ nhận giá trị nguyên
$P = A + B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$
Vì $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\forall x\in $ĐKXĐ $\Rightarrow \sqrt{x}+1>0\forall x\in $ĐKXĐ
$\begin{array}{l}
\Rightarrow P \ge 0\\
\Rightarrow 0 \le P < 1
\end{array}$
$ \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{x}=0$
$\Leftrightarrow x=0$ (TMĐK)
Vậy x = 0 thì $A+B\in Z$
Bài 2:
Gọi năng suất dự kiến của người công nhân là $x$ (sản phẩm/giờ, $x\in N*$)
Thời gian người công nhân hoàn thành công việc theo dự kiến là $\dfrac{120}{x}$(giờ)
Số sản phẩm $2$ giờ đều người công nhân làm với năng suất dự kiến là: $2x$ (sản phẩm)
Số sản phẩm còn lại là $120-2x$ (sản phẩm)
Năng suất làm việc của người công nhân khi làm nốt số sản phẩm còn lại là: $x+3$ (sản phẩm/giờ)
Thời gian hoàn thành công việc còn lại là: $\dfrac{120-2x}{x+3}$(giờ)
Thời gian hoàn thành công việc trước dự định $1$ giờ $36$ phút = $\dfrac{8}{5}$ giờ nên ta có phương trình:
$\dfrac{{120}}{x} - \left( {2 + \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}}} \right) = \dfrac{8}{3}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}} = \dfrac{8}{3} + 2\\
\Leftrightarrow 120(x + 3) - (120 - 2x)x = \dfrac{{18}}{5}(x + 3)x\\
\Leftrightarrow 600x + 1800 - 600x + 10{x^2} = 18{x^2} + 54x\\
\Leftrightarrow 8{x^2} + 54x - 1800 = 0\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 27x - 900 = 0\\
\Delta = {27^2} - 4( - 900).4 = 15129 > 0
\end{array}$
Phương trình có hai nghiệm phương trình:
$ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {15129} = 123$
${x_1} = \dfrac{{ - 27 - 123}}{{2.4}} = \dfrac{{ - 150}}{8} = \dfrac{{ - 75}}{4}$(Loại)
${x_2} = \dfrac{{ - 27 + 123}}{{2.4}} = \dfrac{{96}}{8} = 12$(TMĐK)
Vậy năng suất dự định của người công nhân là 12 sản phẩm/giờ.
Bài 3:
a) $\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 2\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}\\
4x + my = 4\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{\left( 2 \right)}
\end{array}
\end{array} \right.$
Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow y = 2 - mx\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( 3 \right)$
Thay (3) vào $\left( 2 \right) \Rightarrow 4x + m\left( {2 - mx} \right) = 4$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4x + 2m - {m^2}x = 4\\
\Leftrightarrow \left( {4 - {m^2}} \right)x = 4 - 2m
\end{array}$
Khi $m\ne \pm 2$ $\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( \dfrac{2}{m+2};\dfrac{4}{m+2} \right)$
$\Rightarrow $ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x,y \right)$
Mà $x > 0,y > 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 2\\
m \ne 2
\end{array} \right.$
b) Phương trình hoành độ của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là:
${{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x-\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0$
Ta có $\Delta = {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall m$
$\Rightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có $2$nghiệm phân biệt
$\Rightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0$
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 1\\
{x_1}.{x_2} = - {m^2} - 1
\end{array} \right.$
Theo đề bài $\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2\sqrt 2 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} + 2\left| {{x_1}.{x_2}} \right| = 8\\
\Rightarrow {m_1} = 1;{m_2} = \dfrac{{ - 3}}{5}
\end{array}$
Bài 4:
a) Chứng minh tứ giác : $AMHC$ và $AMBK$ nội tiếp
+) Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{CHB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{CHM}=90{}^\circ $.
Xét tứ giác$AMHC$ có: $\widehat{CHM}+\widehat{CAM}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $mà hai góc ở vị trí đối nhau
⇒ tứ giác$AMHC$ nội tiếp.
+) Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{CKB}={{90}^{0}}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{MKB}=90{}^\circ $.
Xét tứ giác$AMBK$ có:
$\widehat{MKB}=\widehat{MAB}=90{}^\circ $mà hai đỉnh A và K liền kề cùng nhìn đoạn MB
⇒ tứ giác$AMBK$ nội tiếp.
b) Chứng minh : $BH.BM$ có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Xét $\left( MACH \right)$có: $\widehat{CAH}=\widehat{CMH}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{CH}$)$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CMB}\,\,$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MBC$ có: $\widehat{BAH}=\widehat{CMB}$; $\widehat{B}$ chung.
$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta MBC\,(g.g)\Rightarrow \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{AB}{MB}\Rightarrow BH.BM=AB.BC$
Vì$A,\,B,\,C$cố định $\Rightarrow AB,\,\,AC$không đổi $\Rightarrow BH.BM$ không đổi
$\Rightarrow BH.BM$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c) Chứng minh: $KN$ song song với một đường thẳng cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.
Xét $\left( O \right)$có: $\widehat{HNK}=\widehat{HBK}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{HK}$) $(1)$
$\Rightarrow \widehat{HBK}=\widehat{HCM}\,\,$( cùng phụ $\widehat{HMC}\,$hoặc cùng bù $\widehat{HCK}\,)\,\,$ $(2)$
Xét $\left( MACH \right)$có: $\widehat{HCM}=\widehat{HAM}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset\frown{MH}\,\,$) $(3)$
Từ $(1)\,,$$(2),$$(3)$$\Rightarrow \widehat{HNK}=\widehat{HAM}\,\,$
Hay $\widehat{ANK}=\widehat{NAM}\,$ mà hai góc này ở vị trí so le trong
$\Rightarrow KN//d$
d) Chứng minh trọng tâm $G$ của $\Delta ABH$chạy trên một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.
Gọi $O$ là trung điểm $BC$
$HG$cắt $BC$tại $E$; $GI//OH\,\,\left( I\,\,\in \,\,BC \right)$
+) $IG=\dfrac{1}{3}OH=\dfrac{1}{3}OB$ không đổi mà I cố định ⇒ $G\,\,\in \,\,\left( I\,\,;\,\dfrac{1}{3}OB \right)$
Bài 5:
Ta có: $\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \ge \,\,0$
Chứng minh: $ab + bc + ca \ge \,2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le \,5$
$ \Rightarrow {A_{\max }} = 5 \Leftrightarrow abc = 0\,$ hay $\,\left( {a,b,c} \right)$ sẽ là hoán vị của bộ 3 số $\left( {0;1;2} \right)$.
NHÓM GIẢI ĐỀ THI THỬ TOÁN 9 LÊN 10 HÀ NỘI
