Lời giải đề 8 trang 2

Câu 9 (2,5đ)

a)

Vẽ đúng hình ý a)

0,25

Có N là điểm chính giữa của AD (giả thiết)

• AN = ND

0,25

Có $\widehat{\text{ACN}}$ và $\widehat{\text{DMN}}$ lần lượt là 2 góc nội tiếp chắn cung AN và ND

• $\widehat{\text{ACN}}$ = $\widehat{\text{DMN}}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

0,25

Xét tứ giác MCKH có:

$\widehat{\text{ACN}}$ = $\widehat{\text{DMN}}$. Mà 2 góc cùng nhìn cạnh HK

• MCKH là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

0,25

b)

c. MCKH nội tiếp (CM câu a) Þ $\widehat{\text{CHK}}$ = $\widehat{\text{CMK}}$ (cùng chắn $\overset\frown{\text{CK}}$)

0,25

Xét đường tròn đường kính AB có: $\widehat{\text{CMK}}$ = $\widehat{\text{CAD}}$ (cùng chắn $\overset\frown{\text{CD}}$)

0,25

(1) và (2) Þ $\widehat{\text{CHK}}$ = $\widehat{\text{CAD}}$

0,25

2 góc ở vị trí đồng vị Þ HK // AD (đpcm)

0,25

c)

Có AK // ND

• $\widehat{\text{KAD}}$ = $\widehat{\text{ADN}}$ = $\widehat{\text{KMI}}$ Þ MAIK nội tiếp

$\widehat{\text{ADN}}$ = $\widehat{\text{ACN}}$ = $\widehat{\text{AMI}}$ = $\widehat{\text{AKI}}$

• $\widehat{\text{KAI}}$ = $\widehat{\text{AKI}}$ Þ DAKI cân tại I. Mà IM là phân giác của $\widehat{\text{AIK}}$

0,25

• MI ^ AK

Mà AK // ND

• MI ^ ND hay MN ^ ND Þ $\widehat{\text{MND}}$ = 90⁰
• MD là đường kính của đường tròn đường kính AB
• sđ MAD = 180⁰
• MA + AD = 180⁰
• $\frac{\text{AC}}{\text{2}}$ + AD = 180⁰

0,25

Câu 10 (1,0đ)

a)

Áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số dương, ta có:

$4({{a}^{2}}+1)\ge 4.2\sqrt{{{a}^{2}}.1}=8a$           (1)

$6({{b}^{2}}+\frac{4}{9})\ge 6.2\sqrt{{{a}^{2}}.\frac{4}{9}}=8b$         (2)

$3({{c}^{2}}+\frac{16}{9})\ge 3.2\sqrt{{{c}^{2}}.\frac{16}{9}}=8c$       (3)

Cộng theo vế (1), (2), (3)

Ta có $\text{A}+4+\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\ge 8(a+b+c)=8.3=24$

0,25

• A ≥ 12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
{b^2} = \frac{4}{9}\\
{c^2} = \frac{{16}}{9}\\
a,b,c \ge 0\\
a + b + c = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \frac{2}{3}\\
c = \frac{4}{3}
\end{array} \right.$

Vậy Min A = 12 khi (a, b, c) = $\left( 1;\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right)$

0,25

0,5

b)

x² – 2ax – 3b = 0 (1); x² – 2bx – 3a = 0 (2)

$\Delta _{(1)}^{'}$= a² + 3b = m²; $\Delta _{(2)}^{'}$= b² + 3a = n²(m, n Î ${N^*}$ )

Không mất tổng quát, giả sử

$\begin{array}{l}
a \ge b > 0 \Rightarrow {a^2} < {m^2} < {\left( {a + 2} \right)^2} \Rightarrow {m^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} = {a^2} + 3b\\
 \Rightarrow 2a + 1 = 3b \Rightarrow 2a = 3b - 1\\
 \Rightarrow a = 3k + 1 \Rightarrow 2\left( {3k + 1} \right) + 1 = 3b \Rightarrow b = 2k + 1\;\left( {k \in } \right)
\end{array}$

0,25

  $\begin{array}{l}
{b^2} + 3a = {n^2} \Rightarrow {\left( {2k + 1} \right)^2} + 3\left( {3k + 1} \right) = {n^2}\\
 \Rightarrow {\left( {2k + 2} \right)^2} \le {n^2} < {\left( {2k + 4} \right)^2}\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{n^2} = {\left( {2k + 2} \right)^2}\\
{n^2} = {\left( {2k + 3} \right)^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 5\\
k = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {11;16} \right);\left( {16;11} \right);\left( {1;1} \right)} \right\}
\end{array}$

0,25.