|
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
|
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2018-2019 NGÀY THI: 07/6/2018 MÔN THI: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang)
|
|
Câu |
Hướng dẫn giải |
Điểm |
|
Câu I |
|
(5.0 đ) |
|
Phần 1.a (2,0 điểm) |
+ Biến đổi $\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ = $\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$ |
0.5 |
|
+ Biến đổi $\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}$ |
0.5 |
|
|
+ Ta có $A=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}:\dfrac{2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{2\sqrt{x}}$ |
0.5
|
|
|
+ Vậy $A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$, với điều kiện $x>0,\,\,x\ne 1$. |
0,5 |
|
|
Phần 1.b (1,0 điểm) |
$A\ge \dfrac{1+\sqrt{2018}}{\sqrt{2018}}\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge 1+\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2018}}$ |
0.5 |
|
$\sqrt{x}\le \sqrt{2018}\Rightarrow 0<x\le 2018$ |
0.25 |
|
|
Vì $x>0,\,\,x\ne 1$ và $x$ nguyên nên $x\in \left\{ 2;3;4;...;2018 \right\}$. Suy ra có 2017 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán. |
0.25 |
|
|
Phần 2 (2,0 điểm) |
Phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-3=0$ (1) + Nhận xét $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+12>0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}$. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ + Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} |
0.25 |
|
Ta có $B = \dfrac{{3x_1^2 + 3x_2^2 + 4{x_1} + 4{x_2} - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 - 4}} = \frac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 - 4}}$ $ = \dfrac{{3\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 4}} = \dfrac{{3\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6} \right] + 4\left( {m + 1} \right) - 5}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6 - 4}}$ $ = \frac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}$ |
0.5 |
|
|
$ \Leftrightarrow \left( {B - 3} \right){m^2} + 2\left( {B - 5} \right)m + 3B - 20 = 0$ (*) + Nếu $B = 3$ thì $m = - \dfrac{{11}}{4}.$ + Nếu $B \ne 3$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn $m$. Phương trình (*) có nghiệm |
0.5 |
|
|
hay ${\left( {B - 5} \right)^2} - \left( {B - 3} \right)\left( {3B - 20} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2{B^2} - 19B + 35 \le 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le B \le 7$ . |
0.25 |
|
|
Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi $m = - \frac{1}{2}.$ |
0.5 |
|
|
Câu II |
|
(5.0 đ) |
|
Phần 1 (2.5 điểm) |
+ Điều kiện $x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3$ + Phương trình đã cho tương đương $\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right) + \left( {{x^2} + 4x - 5} \right) = 0$ |
0,25 |
|
$\Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$ |
0.5 |
|
|
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \left( {x + 5} \right)} \right] = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0.75 |
|
|
+) $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ +) $\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \left( {x + 5} \right) = 0$ vô nghiệm vì $\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \left( {x + 5} \right) > 0,\,\forall x \ge - 3.$ |
0.75 |
|
|
+ So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là $\left\{ 1 \right\}$. |
0.25 |
|
|
Phần 2 (2.5 điểm) |
+ ) Điều kiện $x \ge \dfrac{6}{5},y \le \frac{{16}}{3}$ +)${x^2} - xy - x + 3y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0.75 |
|
+) Với $x = 3$ thay vào phương trình $\sqrt {5x - 6} + \sqrt {16 - 3y} = 2{x^2} - 2x + y - 4$, ta được $\sqrt {16 - 3y} = y + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |
0.75 |
|
|
+) $y=x+2$ thay vào phương trình $\sqrt{5x-6}+\sqrt{16-3y}=2{{x}^{2}}-2x+y-4$, ta được $\sqrt{5x-6}+\sqrt{10-3x}=2{{x}^{2}}-x-2\Leftrightarrow \left( \sqrt{5x-6}-2 \right)+\left( \sqrt{10-3x}-2 \right)=2{{x}^{2}}-x-6$ $\Leftrightarrow \dfrac{5\left( x-2 \right)}{\sqrt{5x-6}+2}-\dfrac{3\left( x-2 \right)}{\sqrt{10-3x}+2}-\left( x-2 \right)\left( 2x+3 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \dfrac{5}{\sqrt{5x-6}+2}-\dfrac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x-3 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} +) Với $x=2\Rightarrow y=4$ (thỏa mãn) +) Vì $\dfrac{6}{5}\le x\le \dfrac{10}{3}\Rightarrow \sqrt{5x-6}+2\ge 2\Rightarrow \dfrac{5}{\sqrt{5x-6}+2}\le \dfrac{5}{2}\Rightarrow \dfrac{5}{\sqrt{5x-6}+2}-3<0$ $\dfrac{6}{5}\le x\le \dfrac{10}{3}\Rightarrow -\dfrac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x<0$ Do đó phương trình $\dfrac{5}{\sqrt{5x-6}+2}-\dfrac{3}{\sqrt{10-3x}+2}-2x-3=0\,$ vô nghiệm |
0.75 |
|
|
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là $\left\{ \left( 2;4 \right);\left( 3;\dfrac{-13+\sqrt{133}}{2} \right) \right\}$ |
0.25 |
|
|
Câu III |
|
(3.0đ) |
|
Phần 1 (1.5 điểm) |
Giả sử $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương thì $2018+{{n}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ Suy ra $2018={{m}^{2}}\,-{{n}^{2}}\,\,\Leftrightarrow 2018=\left( m-n \right)\left( m+n \right)$ |
0.5 |
|
Như vậy trong hai số $m-n$ và $m+n$ phải có ít nhất một số chẵn (1) Mà $\left( m-n \right)+\left( m+n \right)=2m$ nên suy ra hai số $m-n$ và $m+n$ cùng tính chẵn lẻ (2) |
0.5 |
|
|
Từ (1) và (2) suy ra hai số $m-n$ và $m+n$ là hai số chẵn $\Rightarrow \left( m-n \right)\left( m+n \right)$ chia hết cho 4 Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương. |
0.5 |
|
|
Phần 2 (1.5 điểm) |
Có 10 đội bóng, mỗi đội thi đấu đúng 9 trận với 9 đội còn lại. Do đó số trận thua của mỗi đội từ đội thứ nhất đến đội thứ 10 lần lượt là : ${{y}_{1}}=9-{{x}_{1}},{{y}_{2}}=9-{{x}_{2}},...,{{y}_{10}}=9-{{x}_{10}}$.
|
0.5 |
|
Có tất cả số trận đấu là : $\dfrac{10.9}{2}=45$ trận Vì không có trận hòa nên tổng số các trận thắng của 10 đội là: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{10}}=9+8+...+2+1=45$
|
0.5 |
|
|
Ta có : $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{10}^{2}={{\left( 9-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 9-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+...+{{\left( 9-{{x}_{10}} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{10}^{2}={{10.9}^{2}}-18\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{10}} \right)+\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+....+x_{10}^{2} \right)$ $\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{10}^{2}$ ( đpcm) |
0.5 |
