Câu 30: Chọn C. .
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$.
Câu 31: Chọn D.
Ta có : $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right){{\text{e}}^{x}}}{x+2+{{\text{e}}^{-x}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( x+2 \right)\left( x+3 \right){{\text{e}}^{2x}}}{\left( x+2 \right){{\text{e}}^{x}}+1}\text{d}x}$.
Đặt $t=\left( x+2 \right){{\text{e}}^{x}}$$\Rightarrow \text{d}t=\left( x+3 \right){{\text{e}}^{x}}\text{d}x$.
Đổi cận : $x=0\Rightarrow t=2$, $x=1\Rightarrow t=3\text{e}$.
$I=\int\limits_{2}^{3\text{e}}{\frac{t\text{d}t}{t+1}}=\int\limits_{2}^{3\text{e}}{\left( 1-\frac{1}{t+1} \right)\text{d}t}=\left. \left( t-\ln \left| t+1 \right| \right) \right|_{2}^{3\text{e}}=3\text{e}-2-\ln \frac{3\text{e}+1}{3}$.
Vậy $a=3$, $b=2$, $c=1$$\Rightarrow S=9$.
Câu 32: Chọn D.
$I=\int\limits_{0}^{2018}{{{2}^{x}}\text{d}x}=\left. \frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{0}^{2018}=\frac{{{2}^{2018}}-1}{\ln 2}$.
Câu 33: Chọn B.
Điều kiện: $-1\le x\le 1$.
Đặt $t={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$. Ta có $x\in \left[ -1;1 \right]$ nên $t\in \left[ 3;9 \right]$ (do $0\le \sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 1$).
Phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow m\left( t-2 \right)={{t}^{2}}-3t+1\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-2}$ (do $t-2\ne 0,\forall t\in \left[ 3;9 \right]$) $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-2}$, $t\in \left[ 3;9 \right]$.
${f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-4t+7}{{{\left( t-2 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left[ 3;9 \right]$.
Vậy $f\left( 3 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 9 \right)$ hay $1\le f\left( t \right)\le \frac{55}{7}$, $\forall t\in \left[ 3;9 \right]$ .
Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 3;9 \right]$$\Leftrightarrow 1\le m\le \frac{55}{7}$.
Vậy $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Câu 34: Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $d$:
${{x}^{3}}-3x=k\left( x+1 \right)+2$$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 2 - k} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 \Rightarrow y = 2\\
{x^2} - x - 2 - k = 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.$.
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow $phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{\left( 1 \right)}} > 0\\
g\left( { - 1} \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k > - \frac{9}{4}\\
k \ne 0
\end{array} \right.$.
Khi đó, $d$ cắt $\left( C \right)$ tại $M\left( -1;2 \right)$, $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, $P\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)$.
Theo định lý vietè: $\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = 1\\
P = {x_1}{x_2} = - k - 2
\end{array} \right.$.
Tiếp tuyến tại $N$ và $P$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow {y}'\left( {{x}_{1}} \right).{y}'\left( {{x}_{2}} \right)=-1$$\Leftrightarrow \left( 3x_{1}^{2}-3 \right)\left( 3x_{2}^{2}-3 \right)=-1$
$\Leftrightarrow 9x_{1}^{2}x_{1}^{2}-9\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+9=-1\Leftrightarrow 9{{P}^{2}}+18P-9{{S}^{2}}+9=-1$
$\Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+18k+1=0\Leftrightarrow k=\frac{-3\pm 2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy tích các phần tử trong $S$ là $\frac{1}{9}$.
Câu 35: Chọn A.
Ta có ${B}'=3B$ nên thể tích khối chóp mới là $V=\frac{1}{3}{B}'h=Bh$.
Câu 36: Chọn C.
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx=\int{\frac{2}{2x-1}dx=\int{\frac{2.\frac{1}{2}d\left( 2x-1 \right)}{2x-1}}}}=\ln \left| 2x-1 \right|+c$.
$f\left( 0 \right)=1$$\Leftrightarrow \ln \left| 2\times 0-1 \right|+c=1$ $\Leftrightarrow c=1$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=\ln \left| 2x-1 \right|+1$.
$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 1} \right) = \ln 3 + 1\\
f\left( 3 \right) = \ln 5 + 1
\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=2+\ln 15$.
Câu 37: Chọn A.
Gọi số cần lập là $\overline{abcdefghi}$.
Không gian mẫu : Tập hợp số có $9$ chữ số đôi một khác nhau.
Vì $a\ne 0$ $\Leftrightarrow $ có $9$ cách chọn $a$.
$\overline{bcdefghi}$không có chữ số ở $a$ $\Leftrightarrow $ có $9!$ cách chọn.
Vậy $n\left( \Omega \right)=9\times 9!$.
Biến cố $A$: Số được chọn có đúng $4$ chữ số lẻ sao cho số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
Số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số $0$ không thể đứng ở $a$ hoặc $i$.
$\Leftrightarrow $ có $7$ cách sắp xếp chữ số $0$.
Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số $0$(có sắp xếp) có $A_{5}^{2}$ cách chọn.
Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào$2$ trong $6$vị trí còn lại có $C_{3}^{2}\times A_{6}^{2}=90$ cách chọn.
Còn lại $4$ vị trí, chọn từ $4$ số chẵn $\left\{ 2;4;6;8 \right\}$ có $4!=24$ cách chọn.
Vậy $n\left( A \right)=7\times A_{5}^{2}\times 90\times 24=302400$ cách chọn.
Xác suất để xảy ra biến cố $A$ là $p\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{302400}{9\times 9!}=\frac{5}{54}$.
Câu 38: Chọn A.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$. Hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ; đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $\left( 2;-2 \right)$và $\left( 0;2 \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 2 \right) = - 2\\
f'\left( 2 \right) = 0\\
f\left( 0 \right) = 2\\
f'\left( 0 \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8a + 4b + 2c + d = - 2\\
12a + 4b + c = 0\\
d = 2\\
c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 3\\
c = 0\\
d = 2
\end{array} \right. \Rightarrow S = 0$
Câu 39: Chọn B.
Ta có $C_{n}^{3}=\frac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}=\frac{\left( n-3 \right)!\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)n}{\left( n-3 \right)!\times 6}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}$$\Rightarrow \frac{1}{C_{n}^{3}}=\frac{6}{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}$
Vậy ta có ${{S}_{n}}=\frac{6}{1.2.3}+\frac{6}{2.3.4}+\frac{6}{3.4.5}+...+\frac{6}{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}$
Nhận xét $\frac{2}{1.2.3}=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}$; $\frac{2}{2.3.4}=\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}$ ;…; $\frac{2}{\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)n}=\frac{1}{\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)}-\frac{1}{\left( n-1 \right)n}$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=3\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)$ $=3\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right)$$=3\left( \frac{n-2}{2n} \right)$$=\frac{3n-6}{2n}$
Vậy $\lim {{S}_{n}}=\lim \left( \frac{3n-6}{2n} \right)=\lim \left( \frac{3-\frac{6}{n}}{2} \right)=\frac{3}{2}$.
Câu 40: Chọn A.
Gọi $I\left( a;b;c \right)$
Ta có $IA=IO=R$$\Leftrightarrow $ hình chiếu của $I$ lên $OA$ là trung điểm $H\left( \frac{1}{2};0;\frac{-1}{2} \right)$ của $OA$.
${{S}_{\Delta OIA}}=\frac{1}{2}IH.OA=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c+\frac{1}{2} \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-a+c+\frac{1}{2}}.\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow 17=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2a+2c+1$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2a+2c-16=0$.
Theo bài ra ta có $\left\{ \begin{array}{l}
OI = IA\\
{S_{\Delta OIA}} = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
I \in \left( P \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {c + 1} \right)}^2}} \\
2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2a + 2c - 16 = 0\\
a + b - c - 3 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - c - 1 = 0\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} - a + c - 8 = 0\\
a + b - c - 3 = 0
\end{array} \right.$$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)\\
\left( 2 \right)\\
\left( 3 \right)
\end{array}$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}
a - c = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1 + c\\
b = 2
\end{array} \right.$ thế vào $\left( 2 \right)$ ta có
${{\left( c+1 \right)}^{2}}+4+{{c}^{2}}-\left( c+1 \right)+c-8=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = - 2\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
I\left( { - 1;2; - 2} \right)\\
I\left( {2;2;1} \right)
\end{array} \right.$ $\Rightarrow OI=R=3$.
Câu 41: Chọn D.
Vì ${A}'$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy$nên ${A}'\left( 0;\,-1;\,0 \right)$$\Rightarrow O{A}'=1$.
Câu 42: Chọn D.
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-2mx-m$. Gọi $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có hệ số góc là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}-2m{{x}_{0}}-m$$=3{{\left( {{x}_{0}}-\frac{m}{3} \right)}^{2}}-\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)$$\ge -\left( \frac{{{m}^{2}}+3m}{3} \right)$.
Để mọi đường thẳng tiếp xúc với $\left( C \right)$ đều có hệ số góc dương thì :
$-\left( \frac{{{m}^{2}}+3m}{3} \right)>0$$\Leftrightarrow \left( \frac{{{m}^{2}}+3m}{3} \right)<0$$\Leftrightarrow -3<m<0$.
$\Rightarrow $ Tập các giá trị nguyên của $m$là: $T=\left\{ -2;\,-1 \right\}$. Vậy tổng các phần tử của $T$ là: $-3$.
Câu 43: Chọn C.
Ta có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$ mà $BC\bot AB$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$, $AM\subset \left( SAB \right)$$\Rightarrow BC\bot AM$.
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
AM \bot SB\\
AM \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$$\Rightarrow AM\bot SC$$\Rightarrow $ Đáp án A đúng.
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
AM \bot \left( {SBC} \right)\\
MN \subset \left( {SBC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot MN$ $\Rightarrow $ Đáp án B đúng.
$SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$$\Rightarrow $ Đáp án D đúng.
Vậy C sai.
Câu 44: Chọn B.
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\sin x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \sin x\\
{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \cos x{\rm{d}}x\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right.$.
$I=\left. \sin x.f\left( x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x.f\left( x \right)\text{d}x}$$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-{{I}_{1}}$.
$2=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \sin x.\tan x.f\left( x \right) \right]\text{d}x}$$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ {{\sin }^{2}}x.\frac{f\left( x \right)}{\cos x} \right]\text{d}x}$$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \left( 1-{{\cos }^{2}}x \right).\frac{f\left( x \right)}{\cos x} \right]\text{d}x}$.
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \frac{f\left( x \right)}{\cos x} \right]\text{d}x-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x.f\left( x \right)\text{d}x}}$$=1-{{I}_{1}}$.
$\Rightarrow {{I}_{1}}=-1$$\Rightarrow I=\frac{3\sqrt{2}}{2}+1$$=\frac{3\sqrt{2}+2}{2}$.
Câu 45: Chọn B.
$2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$.
$\Leftrightarrow 2\left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \right)+\left( y-1 \right)=2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x}-2\sqrt{1-x}$.
$\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+\left( y-1 \right)=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}\,\,\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t$ trên $\left[ 0;\,+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1$$>0$ với $\forall t\ge 0$$\Rightarrow f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left[ 0;\,+\infty \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}$$\Leftrightarrow y=1+\sqrt{1-x}$.
$\Rightarrow P=x+2y=x+2+2\sqrt{1-x}$ với $\left( x\le 1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=2+x+2\sqrt{1-x}$ trên $\left( -\infty ;\,1 \right]$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=1-\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$=\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{1-x}}$. ${g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=0$.
Bảng biến thiên $g\left( x \right)$
|
|
Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là: $\underset{\left( -\infty ;\,1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4$.
Câu 46: Chọn B.
Gọi $I=AC\cap BD$.
Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\
SI \bot BD\\
AI \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}\].
Ta có $\tan \alpha =\tan \widehat{SIA}=\frac{SA}{AI}\Leftrightarrow SA=a$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có
$A\left( 0;\,0;\,0 \right)$, $B\left( a;\,0;\,0 \right)$, $C\left( a;\,a;\,0 \right)$, $S\left( 0;\,0;\,a \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{SA}=\left( 0;\,0;\,-a \right)$; $\overrightarrow{SC}=\left( a;\,a;\,-a \right)$; $\overrightarrow{SB}=\left( a;\,0;\,-a \right)$.
Mặt phẳng $\left( SAC \right)$ có vectơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{1}}=\left( -1;\,1;\,0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( SBC \right)$ có vectơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{2}}=\left( 1;\,0;\,1 \right)$.
Suy ra $\cos \left( \widehat{\left( SAC \right);\left( SBC \right)} \right)=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}.{{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}$$=\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SAC \right);\left( SBC \right)} \right)=60{}^\circ $.
Câu 47: Chọn B.
Ta có
${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)$.
${g}'\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)=0$$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=1-x$.
Dựa vào hình vẽ ta có: $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 4\\
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right.$.
Và ta có bảng biến thiên
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.
Câu 48: Chọn C.
Ta có $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}$$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1-{{2}^{2}}}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{3x+1}+2 \right)}$$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}=\frac{3}{4}$.
Với $f\left( 1 \right)=m$ ta suy ra hàm số liện tục tại $x=1$ khi $m=\frac{3}{4}$.
Câu 49: Chọn D.
Mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( 2;\,1;\,0 \right)$.
Câu 50: Chọn B.
Parabol $y={{x}^{2}}-4x+4$ có đỉnh $I\left( 2;0 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y={{x}^{2}}-4x+4$ và $y={{x}^{3}}$ là ${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow x=1$.
Ta có $S=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)\text{d}x}$$=\frac{7}{12}$.
