Câu 31. Chọn D
Gọi $t$
$20.{{left
Thời gian phân rã gần bằng: $53.138:365approx 20$
Câu 32. Chọn D
Theo tính chất tổ hợp SGK: $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.
Câu 33. Chọn B
Ta có: $log _{3}^{2}x-left
Đặt $t={{log }_{3}}xRightarrow {{t}^{2}}-left
Để phương trình $left
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{left
{t_1} + {t_2} = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left
{t_1} + {t_2} = – frac{b}{a} = frac{{m + 2}}{1} = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 8m + 8 > 0\
m = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4 + 2sqrt 2 \
m < 4 – 2sqrt 2
end{array} right.\
m = 1
end{array} right. Rightarrow m = 1$
Khi đó $left
{t_1} = 1 = {log _3}{x_1}\
{t_2} = 2 = {log _3}{x_2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = {3^{{t_1}}} = 3\
{x_2} = {3^{{t_2}}} = 9
end{array} right. Rightarrow {x_1} + {x_2} = 12$
Câu 34. Chọn D
Ta có $fleft
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
{rm{d}}v = {{rm{e}}^x}{rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = {rm{d}}x\
v = {{rm{e}}^x}
end{array} right. Rightarrow {I_1} = x{{rm{e}}^x} – int {{{rm{e}}^x}{rm{d}}x} = x{{rm{e}}^x} – {{rm{e}}^x} + C$
$fleft
Câu 35. Chọn A
Từ $Sleft
$aleft
Suy ra gia tốc của vật tại thời điểm $t=3s$ là $aleft
Câu 36. Chọn C
Theo đề ta có $h=4a,r=frac{a}{2}$. Suy ra thể tích khối trụ: $V=pi {{r}^{2}}h=pi .{{left
Câu 37. Chọn A
Ta có: $overrightarrow{AC}=left
Mà $overrightarrow{AC}wedge overrightarrow{AD}=overrightarrow{0}$, nên hai vecto $overrightarrow{AC}$, $overrightarrow{AD}$ cùng phương, hay ba điểm $A,C,D$ thẳng hàng.
Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ $Oxyz$ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 38. Chọn B
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SHbot left
Gọi $M$ là trung điểm $DC$ suy ra $DCbot left
Kẻ $HIbot SM$ suy ra $HIbot left
Mặt khác:$AB//left
Khi đó: $dleft
Gọi $AB=x,left
Xét $Delta SHM$ vuông tại $H$, $HI$ là đường cao trong $Delta SHM$
$HI=frac{SH.HM}{SM}=frac{2asqrt{21}}{7}$$Leftrightarrow frac{frac{xsqrt{3}}{2}.x}{frac{xsqrt{7}}{2}}=frac{2asqrt{21}}{7}Leftrightarrow x=2a$
Nên ${AB=2a}$, ${SH=asqrt{3}}$ suy ra ${{{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{4{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}}$.
Câu 39. Chọn D
Ta có : ${{V}_{OABC}}=frac{abc}{6}$ , ${{S}_{tp}}=frac{1}{2}left
Gọi T là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC, ta có: ${{V}_{OABC}}={{V}_{TOAB}}+{{V}_{TOAC}}+{{V}_{TOBC}}+{{V}_{TABC}}=frac{1}{3}r
$Rightarrow r=frac{3{{V}_{OABC}}}{{{S}_{tp}}}=frac{abc}{ab+bc+ac+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}$
$Rightarrow frac{a}{r}=frac{ab+bc+ac+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}{bc}=frac{a}{c}+1+frac{a}{b}+sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+1+frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}$
$ge 1+1+1+sqrt{1+1+1}=3+sqrt{3}$.
Vậy ${{left
Câu 40. Chọn A
Ta có: $int{frac{1}{{{x}^{2}}-1}}text{d}x=int{frac{1}{left
$Rightarrow a=frac{1}{2}$; $b=frac{-1}{2}$$Rightarrow a-b=1$.
Câu 41. Chọn C
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{CD bot AD}\
{CD bot SA}
end{array}} right. Rightarrow CD bot left
Do $left{ begin{array}{l}
CD = left
AD subset left
SD subset left
end{array} right. Rightarrow left
$Rightarrow SA=ADtan 60{}^circ =ADsqrt{3}.$
Mà $SA=frac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}Leftrightarrow ADsqrt{3}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}Leftrightarrow AD=a$
$Rightarrow SA=asqrt{3}.$
Trong tam giác vuông $SAD$ có $SD=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
$Rightarrow {{S}_{Delta SCD}}=frac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}$.
Mặt khác ${{V}_{M.SCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{Delta MCD}}=frac{1}{3}.asqrt{3}.frac{1}{2}.frac{a}{2}.a=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$
$Rightarrow dleft
Câu 42. Chọn D
Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông”
Ta có: $n
Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:
+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.
+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ
có:$A_{4}^{2}$
+Xếp 2 người đàn ông còn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có:$4!$
$Rightarrow n
Vậy: $P
Câu 43. Chọn C
Đồ thị của hàm số được vẽ theo 2 bước:
+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số $y=fleft
+ Giữ nguyên phần bên phải, lấy đối xứng phần bên phải qua trục $Oy.$
Từ đồ thị ta thấy: phương trình $f
Vậy có 3 giá trị nguyên $min left{ -2;-1;0 right}$
Câu 44. Chọn D
Gọi ${{V}_{left
Cho cạnh đáy hộp bằng 6, chiều cao hộp bằng 8. Đồng hồ cát tạo bởi 2 nón bằng nhau và chiều cao nón bằng 4
Ta có: ${{V}_{left
Theo đề thì đáp án bằng $frac{{{V}_{left
Câu 45.Chọn C
Xét hàm số $y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ có
+) $y’ = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = 3}
end{array}} right.$
+) Xét $y = 1 Leftrightarrow frac{{ – 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x + 1 = 1 Leftrightarrow – {x^3} + 6x – 9x = 0 Leftrightarrow {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\
{x = 3}
end{array}} right.^{}}$
+) Xét $y = frac{{ – 1}}{3} Leftrightarrow frac{{ – 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x + 1 = frac{{ – 1}}{3} Leftrightarrow – {x^3} + 6x – 9x + 4 = 0 Leftrightarrow {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = 4}
end{array}} right.^{}}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $fleft
{x = a in left
{x = b in left
{x = c in left
end{array}} right.$
Khi đó $fleft
{fleft
{fleft
{fleft
end{array}} right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
+) Phương trình $fleft
+) Phương trình $fleft
+) Phương trình $fleft
Vậy phương trình $fleft
Câu 46. Chọn D
Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau là $90.000.000div 36=2.500.000$ đồng.
Tháng đầu tiên, người đó phải trả số tiền lãi là $90.000.000times 0.8%=36times 2.500.000times 0.8%$.
Tháng thứ hai, người đó phải trả số tiền lãi là $87.500.000times 0.8%=35times 2.500.000times 0.8%$.
Tháng cuối cùng, người đó phải trả số tiền lãi là $2.500.000times 0.8%=1times 2.500.000times 0.8%$.
Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là $left
Vậy tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình trả nợ là $90.000.000+13.320.000=103.320.000$ đồng.
Câu 47. Chọn A
Gọi $H$ là trung điểm của $ACRightarrow SHbot left
Gọi $I$ là trung điểm của $ABRightarrow HI=frac{BC}{2}=frac{asqrt{6}}{6}$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $aRightarrow SI=frac{asqrt{3}}{2}$
$SH=sqrt{S{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=frac{asqrt{21}}{6}$
$AC=2AH=2sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=frac{asqrt{15}}{3}$
Gọi ${{r}_{b}},{{r}_{d}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAC,,ABC$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
${{S}_{Delta SAC}}=frac{1}{2}SH.AC=frac{{{a}^{2}}sqrt{35}}{12}Rightarrow {{r}_{b}}=frac{SA.SC.AC}{4{{S}_{Delta SAC}}}=frac{asqrt{21}}{7}$
Theo công thức Hê-rông: ${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{6}}{6}Rightarrow {{r}_{d}}=frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{Delta ABC}}}=frac{asqrt{15}}{6}$
$R=sqrt{{{r}_{b}}^{2}+{{r}_{d}}^{2}-frac{A{{C}^{2}}}{4}}=frac{asqrt{21}}{7}$ Vậy: ${{S}_{mc}}=4pi {{left
Câu 48. Chọn A
Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ nên từ ${{log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}left
Suy ra: $left{ begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} > 1\
{left
end{array} right.$
Khi đó: $P=2a+4b-3=2left
Đẳng thức xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
frac{{a – frac{1}{2}}}{2} = frac{{b – frac{1}{2}}}{4} > 0\
{left
\
{a^2} + {b^2} > 1
end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}left{ begin{array}{l}
a = frac{1}{2} + frac{1}{{sqrt {10} }}\
b = frac{1}{2} + frac{2}{{sqrt {10} }}
end{array} right.$
Vậy ${{{P}_{text{max}}}=sqrt{10}}$ khi $left{ begin{array}{l}
a = frac{1}{2} + frac{1}{{sqrt {10} }}\
b = frac{1}{2} + frac{2}{{sqrt {10} }}
end{array} right.$
Câu 49. Chọn B
Từ giả thiết: ${f}’left
${f}’left
$Rightarrow frac{{f}’left
$Rightarrow int{frac{{f}’left
$Rightarrow ln left| fleft
Mà $fleft
Khi đó, ta được: $ln left| fleft
Thế $x=1$, ta có: $ln left| fleft
Câu 50. Chọn A
+) Nếu $mge 0$ ta thấy $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},left
$underset{xto -{{1}^{pm }}}{mathop{lim }},left
Vậy $mge 0$ không thỏa mãn đề bài.
+) Nếu $m<0$ ta có hàm số xác định trên $D=left
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng $x=-1$ khi $underset{xto -{{1}^{pm }}}{mathop{lim }},left
Khi đó $m$ phải thỏa mãn hệ $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{ – 1}}{{sqrt { – m} }} le – 1 le frac{1}{{sqrt { – m} }}}\
{m < 0}
end{array}} right. Leftrightarrow – 1 le m < 0$