Câu 31. Chọn D
Gọi $t$ (ngày) là số chu kì bán rã. Khi đó ta có phương trình:
$20.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}=2,{{22.10}^{-15}}\Rightarrow t\approx 53$.
Thời gian phân rã gần bằng: $53.138:365\approx 20$(năm).
Câu 32. Chọn D
Theo tính chất tổ hợp SGK: $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.
Câu 33. Chọn B
Ta có: $\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+3m-1=0\,\,\left( 1 \right)$
Đặt $t={{\log }_{3}}x\Rightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-1=0\,\text{ }\left( 2 \right)$
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ thỏa mãn: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=27$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}$,${{t}_{2}}$thỏa mãn: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)={{\log }_{3}}27=3$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{\left( 2 \right)}} > 0\\
{t_1} + {t_2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) > 0\\
{t_1} + {t_2} = - \frac{b}{a} = \frac{{m + 2}}{1} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m + 8 > 0\\
m = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 4 + 2\sqrt 2 \\
m < 4 - 2\sqrt 2
\end{array} \right.\\
m = 1
\end{array} \right. \Rightarrow m = 1$
Khi đó $\left( 2 \right) \Rightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = 1 = {\log _3}{x_1}\\
{t_2} = 2 = {\log _3}{x_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {3^{{t_1}}} = 3\\
{x_2} = {3^{{t_2}}} = 9
\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 12$
Câu 34. Chọn D
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( x.{{\text{e}}^{x}}+1 \right)\text{d}x=}}\int{x.{{\text{e}}^{x}}\text{d}x+\int{\text{d}x={{I}_{1}}+x+C}}$với ${{I}_{1}}=\int{x.{{\text{e}}^{x}}\text{d}x}$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\
v = {{\rm{e}}^x}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = x{{\rm{e}}^x} - \int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = x{{\rm{e}}^x} - {{\rm{e}}^x} + C$
$f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=2\Rightarrow f\left( x \right)=x{{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{x}}+x+2\Rightarrow f\left( 1 \right)=3$.
Câu 35. Chọn A
Từ $S\left( t \right)={{t}^{4}}-3{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2t+1\,$$\Rightarrow v\left( t \right)=\left( S\left( t \right) \right)'=4{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}-6t+2$.
$a\left( t \right)=\left( v\left( t \right) \right)'=12{{t}^{2}}-18t-6$.
Suy ra gia tốc của vật tại thời điểm $t=3s$ là $a\left( 3 \right)={{12.3}^{2}}-18.3-6=48$.
Câu 36. Chọn C
Theo đề ta có $h=4a,r=\frac{a}{2}$. Suy ra thể tích khối trụ: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.4a=\pi {{a}^{3}}$
Câu 37. Chọn A
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left( 1;\,0;\,1 \right)$, $\overrightarrow{AD}=\left( 2;\,0;\,2 \right)$
Mà $\overrightarrow{AC}\wedge \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$, nên hai vecto $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ cùng phương, hay ba điểm $A,C,D$ thẳng hàng.
Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ $Oxyz$ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 38. Chọn B
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $M$ là trung điểm $DC$ suy ra $DC\bot \left( SHM \right)$
Kẻ $HI\bot SM$ suy ra $HI\bot \left( SCD \right)$ (do $HI\bot SM$, $HI\bot DC$)
Mặt khác:$AB//\left( SCD \right)$, $SD\subset \left( SCD \right)$
Khi đó: $d\left( AB,\,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\,\left( SCD \right) \right)=HI=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$
Gọi $AB=x\,\left( x>0 \right)$suy ra $HM=x$, $SH=\frac{x\sqrt{3}}{2}$, $SM=\frac{x\sqrt{7}}{2}$
Xét $\Delta SHM$ vuông tại $H$, $HI$ là đường cao trong $\Delta SHM$
$HI=\frac{SH.HM}{SM}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$$\Leftrightarrow \frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}.x}{\frac{x\sqrt{7}}{2}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\Leftrightarrow x=2a$
Nên ${AB=2a}$, ${SH=a\sqrt{3}}$ suy ra ${{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}$.
Câu 39. Chọn D
Ta có : ${{V}_{OABC}}=\frac{abc}{6}$ , ${{S}_{tp}}=\frac{1}{2}\left( ab+bc+ac+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}} \right)$.
Gọi T là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC, ta có: ${{V}_{OABC}}={{V}_{TOAB}}+{{V}_{TOAC}}+{{V}_{TOBC}}+{{V}_{TABC}}=\frac{1}{3}r({{S}_{OAB}}+{{S}_{OAC}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{ABC}})=\frac{1}{3}r.{{S}_{tp}}$ ($r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$)
$\Rightarrow r=\frac{3{{V}_{OABC}}}{{{S}_{tp}}}=\frac{abc}{ab+bc+ac+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}$
$\Rightarrow \frac{a}{r}=\frac{ab+bc+ac+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}{bc}=\frac{a}{c}+1+\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+1+\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}$
$\ge 1+1+1+\sqrt{1+1+1}=3+\sqrt{3}$.
Vậy ${{\left( \frac{a}{r} \right)}_{\min }}=3+\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c$.
Câu 40. Chọn A
Ta có: $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-1}}\text{d}x=\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\ln \left| x-1 \right|-\frac{1}{2}\ln \left| x+1 \right|+C$.
$\Rightarrow a=\frac{1}{2}$; $b=\frac{-1}{2}$$\Rightarrow a-b=1$.
Câu 41. Chọn C
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot AD}\\
{CD \bot SA}
\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$
Do $\left\{ \begin{array}{l}
CD = \left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\
AD \subset \left( {ABCD} \right),\,AD \bot CD\\
SD \subset \left( {SCD} \right),\,SD \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right] = \left[ {\widehat {SD,AD}} \right] = 60^\circ $
$\Rightarrow SA=AD\tan 60{}^\circ =AD\sqrt{3}.$
Mà $SA=\frac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}\Leftrightarrow AD\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}\Leftrightarrow AD=a$
$\Rightarrow SA=a\sqrt{3}.$
Trong tam giác vuông $SAD$ có $SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SCD}}=\frac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}$.
Mặt khác ${{V}_{M.SCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta MCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
$\Rightarrow d\left[ M,\left( SCD \right) \right]=\frac{3{{V}_{M.SCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Câu 42. Chọn D
Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông”
Ta có: $n(\Omega )=6!$
Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:
+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.
+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ
có:$A_{4}^{2}$ (cách)
+Xếp 2 người đàn ông còn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có:$4!$ (cách)
$\Rightarrow n(A)=A_{4}^{2}.4!=288$
Vậy: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{288}{6!}=\frac{2}{5}$.
Câu 43. Chọn C
Đồ thị của hàm số được vẽ theo 2 bước:
+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ qua bên phải 1 đơn vị.
+ Giữ nguyên phần bên phải, lấy đối xứng phần bên phải qua trục $Oy.$
Từ đồ thị ta thấy: phương trình $f(\left| x \right|-1)=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi$-3<m<1.$
Vậy có 3 giá trị nguyên $m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}$
Câu 44. Chọn D
Gọi ${{V}_{\left( H \right)}},{{V}_{\left( DH \right)}},{{V}_{\left( CL \right)}}$ lần lượt là thể tích của hộp đứng, đồng hồ cát và phần còn lại.
Cho cạnh đáy hộp bằng 6, chiều cao hộp bằng 8. Đồng hồ cát tạo bởi 2 nón bằng nhau và chiều cao nón bằng 4 (cao hộp chia 2); bán kính đáy nón bằng 3 (đáy hộp chia 2).
Ta có: ${{V}_{\left( H \right)}}={{8.6}^{2}}=288$; ${{V}_{\left( DH \right)}}=2.\frac{1}{3}.4.\pi {{.3}^{2}}=24\pi $; ${{V}_{\left( CL \right)}}={{V}_{\left( H \right)}}-{{V}_{\left( DH \right)}}=288-24\pi $.
Theo đề thì đáp án bằng $\frac{{{V}_{\left( DH \right)}}}{{{V}_{\left( CL \right)}}}=\frac{24\pi }{288-24\pi }=\frac{\pi }{12-\pi }$.
Câu 45.Chọn C
Xét hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ có
+) $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = 3}
\end{array}} \right.$
+) Xét $y = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1 = 1 \Leftrightarrow - {x^3} + 6x - 9x = 0 \Leftrightarrow {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = 3}
\end{array}} \right.^{}}$
+) Xét $y = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1 = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow - {x^3} + 6x - 9x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = 4}
\end{array}} \right.^{}}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = a \in \left( {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} ;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1} \right)}\\
{x = b \in \left( {1{\kern 1pt} ;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 3} \right)}\\
{x = c \in \left( {3;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 4} \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = a \in \left( {0;1} \right)}\\
{f\left( x \right) = b \in \left( {1;3} \right)}\\
{f\left( x \right) = c \in \left( {3;4} \right)}
\end{array}} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
+) Phương trình $f\left( x \right)=a\left( 1 \right)$ có 3 nghiệm phân biệt .
+) Phương trình $f\left( x \right)=b\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm khác nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
+) Phương trình $f\left( x \right)=c$ có 1 nghiệm khác nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$.
Vậy phương trình $f\left( f\left( x \right) \right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 46. Chọn D
Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau là $90.000.000\div 36=2.500.000$ đồng.
Tháng đầu tiên, người đó phải trả số tiền lãi là $90.000.000\times 0.8%=36\times 2.500.000\times 0.8%$.
Tháng thứ hai, người đó phải trả số tiền lãi là $87.500.000\times 0.8%=35\times 2.500.000\times 0.8%$.
Tháng cuối cùng, người đó phải trả số tiền lãi là $2.500.000\times 0.8%=1\times 2.500.000\times 0.8%$.
Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là $\left( 1+2+...+36 \right)\times 2.500.000\times 0.8%=13.320.000$ đồng.
Vậy tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình trả nợ là $90.000.000+13.320.000=103.320.000$ đồng.
Câu 47. Chọn A
Gọi $H$ là trung điểm của $AC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow HI=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$SH=\sqrt{S{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$
$AC=2AH=2\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$
Gọi ${{r}_{b}},{{r}_{d}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAC,\,ABC$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
${{S}_{\Delta SAC}}=\frac{1}{2}SH.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{35}}{12}\Rightarrow {{r}_{b}}=\frac{SA.SC.AC}{4{{S}_{\Delta SAC}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Theo công thức Hê-rông: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{6}\Rightarrow {{r}_{d}}=\frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}$
$R=\sqrt{{{r}_{b}}^{2}+{{r}_{d}}^{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$ Vậy: ${{S}_{mc}}=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{21}}{7} \right)}^{2}}=\frac{12\pi {{a}^{2}}}{7}$
Câu 48. Chọn A
Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ nên từ ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1\text{ }\Rightarrow \text{ }a+b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$.
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} > 1\\
{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} \le {\rm{ }}\frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Khi đó: $P=2a+4b-3=2\left( a-\frac{1}{2} \right)+4\left( b-\frac{1}{2} \right)\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left[ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]\text{ }}\le \sqrt{20.\left( \frac{1}{2} \right)}=\sqrt{10}$
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki)
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{a - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{b - \frac{1}{2}}}{4} > 0\\
{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\rm{ }}\frac{1}{2}\\
\\
{a^2} + {b^2} > 1
\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\
b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.$
Vậy ${{{P}_{\text{max}}}=\sqrt{10}}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\
b = \frac{1}{2} + \frac{2}{{\sqrt {10} }}
\end{array} \right.$
Câu 49. Chọn B
Từ giả thiết: ${f}'\left( x \right)+2x.f\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)$, ta có
${f}'\left( x \right)=f\left( x \right)\left( {{\text{e}}^{x}}-2x \right)$
$\Rightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}={{\text{e}}^{x}}-2x$ ( vì $f\left( x \right)\ne 0\,,\,\forall x$ )
$\Rightarrow \int{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int{\left( {{\text{e}}^{x}}-2x \right)\text{d}x}}$
$\Rightarrow \ln \left| f\left( x \right) \right|={{\text{e}}^{x}}-{{x}^{2}}+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=1$ nên $C=-1$.
Khi đó, ta được: $\ln \left| f\left( x \right) \right|={{\text{e}}^{x}}-{{x}^{2}}-1$.
Thế $x=1$, ta có: $\ln \left| f\left( 1 \right) \right|=\text{e}-2$$\Rightarrow \left| f\left( 1 \right) \right|={{\text{e}}^{\text{e}-2}}$.
Câu 50. Chọn A
+) Nếu $m\ge 0$ ta thấy $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} \right)=\pm \sqrt{m}\Rightarrow y=\pm \sqrt{m}$ là tiệm cận ngang.
$\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} \right)=\pm \infty \Rightarrow x=-1$là tiệm cận đứng.
Vậy $m\ge 0$ không thỏa mãn đề bài.
+) Nếu $m<0$ ta có hàm số xác định trên $D=\left[ \frac{-1}{\sqrt{-m}};\frac{1}{\sqrt{-m}} \right]$ không phải là một khoảng vô cùng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng $x=-1$ khi $\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} \right)=\pm \infty $.
Khi đó $m$ phải thỏa mãn hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{ - 1}}{{\sqrt { - m} }} \le - 1 \le \frac{1}{{\sqrt { - m} }}}\\
{m < 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 0$
