Lời giải đề 5: Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2018 trường THPT chuyên ĐH Vinh - Nghệ An lần 2 trang 1

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án D

Phương pháp:

Áp dụng các công thức của hàm số lũy thừa sau: ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}};\left( \sqrt{{{a}^{m}}} \right)={{a}^{\frac{m}{2}}};{{\left( \sqrt{a} \right)}^{m}}=\sqrt{{{a}^{m}}}$

Cách giải:

Áp dụng các công thức lũy thừa ta thấy chỉ có đáp án D sai: $\left( {{10}^{\alpha }} \right)={{10}^{\alpha .2}}={{10}^{2\alpha }}={{100}^{\alpha }}$

Câu 2: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính giới hạn của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+1}{{{\left( -2+2 \right)}^{2}}}=-\infty $

Câu 3: Đáp án C

Phương pháp:

Thể  tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),x=a,x=b$khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$

Cách giải:

Áp dụng công thức ta có thể tích hình phẳng bài cho là: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{2}}dx=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx}}$

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b là góc giữa đường thẳng a’ và  b với a // a’.

Cách giải:

Ta có: $AC//A'C'\Rightarrow \left( AC,A'D \right)=\left( A'C',A'D \right)$

Ta có $\Delta DA'C'$là tam giác đều $\Rightarrow DA'C={{60}^{0}}$

$\Rightarrow \left( AC,A'D \right)={{60}^{0}}$

Câu 5: Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải:

Vì có 10 ghế nên bạn thứ nhất có 10 cách xếp.

Bạn thứ hai có 9 cách xếp.

Bạn thứ ba có 8 cách xếp.

Bạn thứ tư có 7 cách xếp.

Bạn thứ năm có 6 cách xếp.

Bạn thứ sáu có 5 cách xếp.

Như vậy có: $10.9.8.7.6.5=A_{10}^{6}$cách xếp

Câu 6: Đáp án B

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng của đồ thị và các đường tiệm cận để suy ra hàm số cần tìm.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: $x=1\Rightarrow $loại đáp án A và C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( 0;2 \right)\Rightarrow $loại đáp án D.

Câu 7: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số nghịch biến $\Leftrightarrow y'<0$ hoặc $y'=0$ tại một số hữu hạn điểm.

Cách giải:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$và $\left( 0;1 \right)$

Câu 8: Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy). Khi đó tọa độ  điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d và mặt phẳng (Oxy).

+) Phương trình mặt phẳng $\left( O\,xy \right):z=0$

Cách giải:

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( O\,xy \right)\Rightarrow {{z}_{0}}=0$

$M \in d \Rightarrow \frac{{{x_0} - 3}}{1} = \frac{{{y_0} + 2}}{{ - 1}} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)$ 

Câu 9: Đáp án D

Phương pháp:

Đường thẳng $y=a$và là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a$

Cách giải:

Ta có:

$+)\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}}=\infty \Rightarrow $đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x}$không có tiệm cận ngang.

$+)\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)=\infty \Rightarrow $đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+x+1$ không có tiệm cận ngang.

$+)\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left| x \right|}\left( 1+\sqrt{1+\frac{1}{x}} \right)\Rightarrow $đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$

Câu 10: Đáp án A

Phương pháp:

Ta có: ${a^{f\left( x \right)}} < a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f\left( x \right) < 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f\left( x \right) > 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ 

Cách giải:

Ta có: ${2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\sqrt x  < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 1$ 

Câu 11: Đáp án A

Phương pháp:

Điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right):a\,x+by+cz+d=0\Leftrightarrow a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d=0$

Cách giải:

Thay tọa độ điểm M vào các phương trình của các mặt phẳng ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng (R)

Câu 12: Đáp án B

Phương pháp:

Hai vectơ $\overrightarrow a \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) = \overrightarrow b \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}\\
{z_1} = {z_2}
\end{array} \right.$ 

Cách giải:

Gọi điểm $B\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$là điểm cần tìm. Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{0}}-4;{{y}_{0}}-6;{{z}_{0}}+3 \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} - 4 =  - 3\\
{y_0} - 6 = 2\\
{z_0} + 3 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 8\\
{z_0} =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;8; - 2} \right)$ 

Câu 13: Đáp án A

Phương pháp:

Cho điểm $M\left( a;b \right)$biểu diễn số phức $z\Rightarrow z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Cách giải:

Ta có $M\left( 2;1 \right)$biểu diễn số phức $z\Rightarrow z=2+i\Rightarrow \overline{z}=2-i$

Câu 14: Đáp án A

Phương pháp:

Điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$là điểm cực trị của hàm số$y=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{x}_{0}}$là nghiệm của phương trình

$y'=0$ và tại đó y' đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 15: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số: $\int{\frac{1}{a\,x+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| a\,x+b \right|+C$

Cách giải:

Ta có: $\int{\frac{1}{2x+3}dx}=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C$

Câu 16: Đáp án B

Phương pháp:

Gọi O là trong tâm tam giác ABC. Khi đó O là hình chiếu của S trên (ABC) hay SO là khoảng cách từ  S đến mặt phẳng (ABC).

Cách giải:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó: $SO\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow d\left( S;\left( ABC \right) \right)=SO$

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3a nên $BO=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}BM.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác SOB vuông tại O ta có:

$SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a\Rightarrow d\left( S;\left( ABC \right) \right)=SO=a$

Câu 17: Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản của hàm số.

Cách giải: Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{x}^{2}}+3 \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+3x \right)}dx=\left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{3{{x}^{2}}}{2} \right) \right|}_{0}^{1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{7}{4}$

Câu 18: Đáp án B

Phương pháp:

+) Điểm A thuộc $Oz\Rightarrow A\left( 0;0;0 \right)$

+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và (P) thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình của d và (P).

+) Phương trình mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$và bán kính R có phương trình là: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$

Cách giải:

Phương trình trục $Oz:\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0\\
z = t
\end{array} \right..\,\,A \in Oz \Rightarrow A\left( {0;0;t} \right)$ 

Có $\left( P \right)\cap Oz=\left\{ A \right\}\Rightarrow 2.0+6.0+t-3=0\Leftrightarrow t=3\Rightarrow A\left( 0;0;3 \right)$

$d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t'\\
y = 2t'\\
z = 6 - t'
\end{array} \right..B \in d \Rightarrow B\left( {5 + t';2t';6 - t'} \right)$ 

Có $\left( P \right)\cap d=\left\{ B \right\}\Rightarrow 2\left( 5+t' \right)+6.2t'+6-t'-3=0\Leftrightarrow t'=-1\Rightarrow B\left( 4;-2;7 \right)$

Gọi I là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 2;-1;5 \right)$

Có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\Rightarrow IA=R=\frac{AB}{2}=3$

Vậy đường tròn đường kính AB là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9$

Câu 19: Đáp án C

Phương pháp:

Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm $z=1+2i$thì chọn đáp án đó.

Cách 2: Thay nghiệm $z=1+2i$vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó.

Cách giải:

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}-2z+3=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+2=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=-2\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=2{{i}^{2}}$

$ \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z - 1 = \sqrt 2 i\\
z - 1 =  - \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 1 + \sqrt 2 i\\
z = 1 - \sqrt 2 i
\end{array} \right. \Rightarrow $ loại đáp án A.

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}+2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}+2z+4+1=0\Leftrightarrow {{\left( z+2 \right)}^{2}}=-1={{i}^{2}}$

$ \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right| = i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z + 2 = i\\
z + 2 =  - i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  - 2 + i\\
z =  - 2 - i
\end{array} \right. \Rightarrow $ loại đáp án B.

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+4=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=-4=-4{{i}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = 2i \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z - 1 = 2i\\
z - 1 =  - 2i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 1 + 2i\\
z = 1 - 2i
\end{array} \right. \Rightarrow $ chọn đáp án C

Câu 20: Đáp án A

Phương pháp:

+) Thiết diện qua trục của hình nón luôn là tam giác cân tại đỉnh của hình nón.

+) Diện tích xung quanh của hình nón bán kính Rvà đường sinh l là: $S=\pi Rl$

Cách giải:

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác ABC có $BAC={{60}^{0}}$

$\Rightarrow \Delta ABC$là tam giác đều.

Gọi O là trung điểm của $BC\Rightarrow O$ là tâm của đường tròn đáy.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow BC = 2.OA = 2R = 2a\\
 \Rightarrow l = AB = AC = BC = 2a\\
 \Rightarrow {S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}
\end{array}$

Câu 21: Đáp án C

Phương pháp:

+) Ta có: $F\left( x \right)$là nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow $tìm giá trị của $a\Rightarrow g\left( x \right)$

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của $g\left( x \right)$

Cách giải:

Ta có: $F\left( x \right)$là nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}{x^3} + 2x - \frac{1}{x}} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4} + 2a{x^2} + {a^2}}}{{{x^2}}}\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2a + \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a = 2\\
\frac{a}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
a =  \pm 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\\
 \Rightarrow g\left( x \right) = x\,\cos x \Rightarrow I = \int {g\left( x \right)dx = \int {x\,\cos xdx} } 
\end{array}$ 

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{du = dx}}\\
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}
\end{array} \right.$ 

$\Rightarrow I=x\sin x-\int{\sin \text{x}dx=x\sin x+\cos x+C}$

Câu 22: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng tỉ số thể tích: Cho các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC của hình chóp SABC. Khi đó ta có: $\frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}$

Cách giải:

Áp dụng tỉ số thể tích ta có: $\frac{{{V_{SA'B'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{{V_{SA'B'C'}}}}{V} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SA'B'C'}} = \frac{V}{8}$

Câu 23: Đáp án D

Phương pháp:

Để tìm GTNN của hàm số$y=f\left( x \right)$trên $\left[ a;b \right]$ta làm các bước sau:

+) Giải phương trình $y'=0$tìm các giá trị ${{x}_{i}}.$

+) Tính các giá trị $y\left( a \right);y\left( {{x}_{i}} \right);y\left( b \right)$

+) So sánh các giá trị vừa tính, chọn GTNN của hàm số và kết luận.

Cách giải:

Ta có: $y'={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}+x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) =  - \frac{2}{{{e^2}}};y\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{e};y\left( 0 \right) = 0\\
 \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]}  =  - \frac{1}{e}\,\,khi\,\,\,x =  - 1
\end{array}$ 

Câu 24: Đáp án B

Phương pháp:

+) Hàm số $\sqrt{f\left( x \right)}$ xác định $\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge 0$

+) Hàm số${{\log }_{a}}f\left( x \right)$xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1\\
f\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$

Cách giải:

Hàm số $y=\sqrt{1+{{\log }_{2}}x}+\sqrt[3]{{{\log }_{2}}\left( 1-x \right)}$ xác định $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
1 - x > 0\\
1 + {\log _2}x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < 1\\
{\log _2}2x \ge 0
\end{array} \right.$ 

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
2x \ge 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x < 1$ 

Câu 25: Đáp án A

Phương pháp:

Cách 1: 

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số$y=f\left( x \right)$ từ  đó suy ra hàm số$y=f\left( x-1 \right)$và đồ  thị  hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$

+) Số nghiệm của pt$\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$là số giao điểm của đồ thị hàm số$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$và đường thẳng $y=2$

Cách 2:

+) Để có đồ thị hàm số$y=f\left( x-1 \right)$ta tịnh tiến đồ thị hàm số$y=f\left( x \right)$ sang phải 1 đơn vị.

+) Lập bảng biến thiên của hàm số$y=f\left( x-1 \right)$từ đó suy ra dáng điệu đồ thị hàm số$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ và biện luận số nghiệm của phương trình $\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$

Cách giải:

Dựa vào BBT của đồ  thị  hàm số $y=f\left( x \right)$ta suy ra BBT của đồ  thị  hàm số $y=f\left( x-1 \right)$bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;0 \right)$

BBT đồ thị hàm số $y=f\left( x-1 \right)$:

Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$có BBT như sau:

Số nghiệm của phương trình$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$là số giao điểm của đồ thị hàm số$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$ và  đường  thẳng $y=2$ .

Dựa vào đồ  thị  hàm số  ta thấy  đường thẳng $y=2$cắt đồ  thị  hàm số$y=\left| f\left( x-1 \right) \right|$tại 5 điểm phân biệt, do đó phương trình $\left| f\left( x-1 \right) \right|=2$có 5 nghiệm phân biệt.

Câu 26: Đáp án D

Phương pháp:

+) Đặt $z=a+bi\left( a;b\in R \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi,$ thay vào phương trình.

+) So sánh hai số phức $a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = a'\\
b = b'
\end{array} \right.$ 

Cách giải: Đặt $z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi,$ khi đó ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) = 13 + 2i\\
 \Leftrightarrow a - b + \left( {a + b} \right)i + 2a - b - \left( {a + 2b} \right)i = 13 + 2i\\
 \Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 2b = 13\\
 - b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 - 2i
\end{array}$ 

Câu 27: Đáp án A

Phương pháp:

+) Đặt $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)$

+) Tìm số nghiệm của phương trình $g'\left( x \right)=0$ (không là nghiệm bội chẵn).

+) Lập BBT và kết luận điểm cực đại của hàm số.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số$y=f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.$

Đặt $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)$

$\begin{array}{l}
g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  - 1\left( {vn} \right)\\
\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1\left( 1 \right)\\
\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 9 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm 2\sqrt 2 
\end{array}$ 

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)$ .

Lập BBT của hàm số $y=g\left( x \right)$:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số$y=g\left( x \right)$đạt cực đại tại $x=-1$.

Chú ý và sai lầm: Lưu ý đạo hàm của hàm hợp.

Câu 28: Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích mặt cầu bán kính R: $S=4\pi {{R}^{2}}$

Cách giải:

Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ $B'C'\Rightarrow HH'\bot \left( ABC \right)$ và

$HH'\bot \left( A'B'C' \right)$.

Gọi I là trung điểm của HH’.

Mặt khác $\Delta ABC$vuông tại A, $I \in HH' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IA = IB = IC\\
IA' = IB' = IC'
\end{array} \right.$ 

Dễ dàng chứng minh được $\Delta BHI=\Delta B'H'I\left( c.g.c \right)\Rightarrow IB=IB'$

$\Rightarrow IA=IB=IC=iA'=IB'=IC'$ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A'B'C'$

Kẻ $AK\bot BC$ta có $AK\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow \left( AC';\left( BCC'B' \right) \right)=\left( AC';KC' \right)=AC'K={{30}^{0}}$

Có $AC=AC'=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a$

Ta có $AK=\frac{AC.AB}{BC}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC'=\frac{AK}{\sin 30}=a\sqrt{3}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\rm{AA}}' = \sqrt {AC{'^2} - A'C{'^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2  = HH'\\
 \Rightarrow HI = \frac{1}{2}HH' = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow BI = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = R\\
 \Rightarrow {S_{{\mathop{\rm m}\nolimits} at\,cau}} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2}\, = 6\pi {a^2}
\end{array}$ 

Câu 29: Đáp án C

Phương pháp :

+) Gắn hệ  trục tọa độ, tìm phương trình parabol. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục

hoành.

+) Gọi ${{x}_{A}}=a\Rightarrow AB=2a,$ tính diện tích hình ${{S}_{1}}$của phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB.

+) Sử dụng giả thiết ${{S}_{1}}=\frac{1}{3}S$ tìm a và suy ra AB.

+) Tương tự tìm độ dài đoạn CD và tính tỉ số.

Cách giải :

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là $y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là $S=\int\limits_{-6}^{6}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18 \right)dx=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+18 \right) \right|}_{-6}^{6}=144$

Gọi ${{x}_{A}}=a\Rightarrow {{y}_{A}}=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18$

=>Phương trình đường thẳng AB: $y=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18$

Và ${{x}_{C}}=c\Rightarrow {{y}_{C}}=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18$

=>Phương trình đường thẳng CD : $y=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:

$\begin{array}{l}
{S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - a}^a =  - \frac{{{a^3}}}{6} + \frac{{{a^3}}}{2} - \left( {\frac{{{a^3}}}{6} - \frac{{{a^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{a^3}}}{3}} } \\
{S_1} = \frac{1}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{a^3} = \frac{1}{3}.144 = 48 \Rightarrow a = 2\sqrt[3]{9} \Rightarrow AB = 2a = 4\sqrt[3]{9}
\end{array}$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:

$\begin{array}{l}
{S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{c^2}}}{2}x} \right)} \right|} _{ - c}^c =  - \frac{{{c^3}}}{6} + \frac{{{c^3}}}{2} - \left( {\frac{{{c^3}}}{6} - \frac{{{c^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{c^3}}}{3}\\
{S_1} = \frac{2}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{c^3} = \frac{2}{3}.144 = 96 \Rightarrow c = 2\sqrt[3]{{18}} \Rightarrow CD = 2c \Rightarrow 4\sqrt[3]{{18}}\\
 \Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array}$