Câu 30: Đáp án B.
Đường tròn $left
Gọi I’ là tâm đường tròn $left
Do đó $left
Câu 31: Đáp án D
Câu 32: Đáp án C.
Bán kính mặt cầu là: $R=dleft
Câu 33: Đáp án B.
Đặt $z=a+bi,left
a = – 1\
b + 3 = sqrt {{a^2} + {b^2}}
end{array} right.$
$left{ begin{array}{l}
a = – 1\
b + 3 = sqrt {{b^2} + 1}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – 1\
b = – frac{4}{3}
end{array} right. Rightarrow S = – 5.$
Câu 34: Đáp án C.
Phương trình hoành dộ giao điểm là ${x^2}left| {{x^2} – 3} right| = 2 Leftrightarrow left| {{x^4} – 3{x^2}} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^4} – 3{x^2} = 2\
{x^4} – 3{x^2} = – 2
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 1;,{x^2} = 2\
{x^2} = frac{{3 + sqrt {17} }}{2}\
{x^2} = frac{{3 – sqrt {12} }}{2} < 0,left
end{array} right. Rightarrow $ PT có 6 nghiệm.
Câu 35: Đáp án D.
$D=mathbb{R}backslash left{ -m right};,y’=frac{{{m}^{2}}-4}{x+m}$
Hàm số nghịch biến trên $left
{m^2} – 4 < 0\
– m ge 1
end{array} right. Leftrightarrow – 2 < m le – 1.$
Câu 36: Đáp án B.
$4{{left
Đặt $t={{log }_{2}}x,$ với $xin left
Khi đó bài toán trở thành $fleft
Lập bảng biến thiên suy ra $0ge -mLeftrightarrow mge 0.$
Câu 37: Đáp án A.
Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:
PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường $y={{x}^{2}},y=-frac{1}{3}x+frac{4}{3}$ là ${x^2} = – frac{1}{3}x + frac{4}{3} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – frac{4}{3}
end{array} right..$
Dựa vào hình vẽ ta có: $S = intlimits_0^1 {{x^2}dx + intlimits_1^4 {left
Câu 38: Đáp án C.
Do H là trực tâm tam giác ABC suy ra được H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng
Khi đó $overrightarrow{OH}bot left
x = 6t\
y = 4t\
z = 3t
end{array} right..$
Câu 39: Đáp án A.
Gọi n là số tháng ít nhất sinh viên đó cần gửi.
Ta có tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n tháng là: $750{{left
$=750left
Câu 40: Đáp án D.
Dựng $HKbot BD,$ do $SHbot BD$ nên ta có:
$left
Lại có: $AD=sqrt{B{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a,,HK=frac{1}{2}dleft
Do đó $SH=HKtan {{60}^{0}}=frac{3asqrt{3}}{2sqrt{10}}.$
Vậy $V=frac{1}{3}frac{AD+BC}{2}.AB.SH=frac{{{a}^{3}}sqrt{30}}{8}.$
Câu 41: Đáp án A.
Gọi
Vì
c = 0;, – frac{b}{{2a}} = 10\
100a + 10b + c = 50
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{1}{2}\
b = 10;,c = 0
end{array} right..$
Suy ra phương trình
Câu 42: Đáp án B.
Khi quay hình vẽ quanh trục SO sẽ tạo nên khối trụ nội tiếp hình nón.
Suy ra thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ.
Theo định lí Talet, ta có $frac{IM}{OA}=frac{SI}{SO}Rightarrow IM=frac{OA.SI}{SO}=frac{Rleft
Thể tích khối trụ là $V=pi {{R}^{2}}h=pi .I{{M}^{2}}.OI=frac{pi {{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{left
Theo $AM-GM,$ ta được $frac{1}{2}.2x.{{left
Vậy $Vle frac{4pi {{R}^{2}}h}{27}.$ Dấu “=” xảy ra khi $2x=h-xLeftrightarrow x=frac{h}{3}Rightarrow MN=frac{h}{3}.$
Câu 43: Đáp án D.
Đặt $z=x+yi$ $left
Ta có $P={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}={{left| x+2+yi right|}^{2}}-{{left| x+left
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3to left
Ta cần tìm P sao cho đương thẳng $left
$Leftrightarrow frac{left| 4.3+2.4+3-P right|}{sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}le sqrt{5}Leftrightarrow left| 23-P right|le 10Leftrightarrow -10le 23-Ple 10Leftrightarrow 13le Ple 33.$
Do đó $max P=33.$ Dấu “=” xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4x + 2y – 30 = 0\
{left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 5\
y = – 5
end{array} right..$ Vậy $left| z right| = 5sqrt 2 .$
Câu 44: Đáp án A.
Gọi số cần tìm có dạng $overline{abcd},$ vì chia hết cho 6 $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
d = left{ {2,4,6,8} right}\
a + b + c + d:3
end{array} right..$
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn, b và c đều có 9 cách chọn
- Nếu $a+b+c+d:3$ thì $a=left{ 3,6,9 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a.
- Nếu $a+b+c+d:3$ dư 1 thì $a=left{ 2,5,8 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a.
- Nếu $a+b+c+d:3$ dư 2 thì $a=left{ 1,4,7 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a.
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn $Rightarrow $ có $4.9.9.3=972$ số chia hết cho 6.
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{972}{{{9}^{4}}}=frac{4}{27}.$
Câu 45: Đáp án B.
Xét trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với O là trung điểm của AD.
Chọn $a=1Rightarrow Mleft
Phương trình đường thẳng qua E, song song với Oz là $left
4x = 3\
4y = 1\
z = t
end{array} right..$
Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm $Rightarrow Iin left
Suy ra $overrightarrow{IM}=left
Mà $SI=IM=RRightarrow {{m}^{2}}+frac{1}{8}={{left
Vậy $R=IM=sqrt{{{m}^{2}}+frac{1}{8}}=frac{sqrt{93}}{12}=frac{asqrt{93}}{12}.$
Câu 46: Đáp án B.
Dễ thấy $CDbot left
Gọi H là trung điểm của AB $Rightarrow MHbot left
Tam giác MHN vuông tại H, có $MN=sqrt{M{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}=frac{asqrt{10}}{2}.$
Tam giác MHC vuông tại H, có $MC=sqrt{M{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{2}.$
Tam giác MNC, có $coswidehat{MNC}=frac{M{{N}^{2}}+N{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}{2.MN.NC}=frac{3sqrt{5}}{10}.$
Vậy $cosleft
Câu 47: Đáp án D.
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
cot x > 0\
cos x > 0
end{array} right..$ Ta có $2{{log }_{3}}left
Suy ra $left{ begin{array}{l}
{cot ^2}x = {3^t}\
co{s^2}x = {4^t}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{{co{s^2}x}}{{1 – co{s^2}x}} = {3^t}\
co{s^2}x = {4^t}
end{array} right. Rightarrow frac{{{4^t}}}{{1 – {4^t}}} = {3^t} Leftrightarrow {4^t} + {12^t} – {3^t} = 0 Leftrightarrow {left
Xét hàm số $fleft
$Rightarrow fleft
Kết hợp với điều kiện $xin left
Câu 48: Đáp án C.
Ta có ${{sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x=frac{3}{4}+frac{1}{4}cos4x,$ khi đó phương trình đã cho trở thành: $co{{s}^{2}}4x+frac{1}{4}cos 4x+frac{3}{4}=mLeftrightarrow 4{{cos }^{2}}4x+cos4x+3=4m$
Đặt $t=cos4x$ mà $4xin left
Xét hàm số $fleft
Tính $fleft
Để phương trình đa cho có 4 nghiệm thuộc $left
Câu 49: Đáp án A.
Nối $MEcap AD=Q,,NEcap CD=PRightarrow mpleft
Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm của $Delta BCE,,Delta ABE.$
Gọi S là diện tích $Delta BCDRightarrow {{S}_{Delta PDE}}=frac{1}{3}{{S}_{Delta CDE}}=frac{1}{3}{{S}_{Delta NBE}}=frac{S}{3}.$
Họi h là chiều cao của tứ diện ABCD $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
dleft
dleft
end{array} right..$
Khi đó ${{V}_{M.BNE}}=frac{1}{3}.dleft
Suy ra ${{V}_{PQD.MNB}}={{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}}=frac{7}{18}.frac{S.h}{3}=frac{7}{18}{{V}_{ABCD}}Rightarrow V=frac{11}{18}{{V}_{ABCD}}=frac{11sqrt{2}}{216}{{a}^{3}}.$
Câu 50: Đáp án C.
Ta có $g’left
Khi đó $g’left
left{ begin{array}{l}
x > 0\
f’left
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x < 0\
f’left
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x > 0\
{x^2} – 3 > – 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x < 0\
{x^2} – 3 < – 2
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 1\
– 1 < x < 0
end{array} right..$
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $left