Câu 30: Chọn B.
Ta có $\int\limits_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{-1}^{4}$$=f\left( 4 \right)-f\left( -1 \right)$$\Rightarrow f\left( -1 \right)=f\left( 4 \right)-\int\limits_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$$=2018-2017=1$.
Câu 31: Chọn B.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( x \right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{3-x}}$$\ge 2\sqrt{{{2}^{x-1}}{{.2}^{3-x}}}=4$.
Do đó $\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=4$ khi ${{2}^{x-1}}={{2}^{3-x}}$$\Leftrightarrow x=2$.
Câu 32: Chọn A.
Gọi $x$ $\left( cm \right)$, $x>0$ là bán kính đáy của hình trụ.
Chiều cao của hình trụ là $\frac{12-4x}{2}=6-2x$ $\left( \text{cm} \right)$.
Thể tích khối trụ $V=\pi {{x}^{2}}.\left( 6-2x \right)=\pi x.x.\left( 6-2x \right)\le \pi {{\left( \frac{x+x+6-2x}{3} \right)}^{3}}=8\pi $$\left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
Do đó khối trụ có thể tích lớn nhất bằng $8\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$ khi $x=2\left( \text{cm} \right)$.
Câu 33: Chọn B.
Điều kiện $2-{{\cos }^{2}}x\ge 0$$\Leftrightarrow 1+{{\sin }^{2}}x\ge 0$$SA=\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}$ $\left( * \right)$.
Phương trình $\Leftrightarrow {{2017}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $\sin x=t$, $t\in \left[ -1;1 \right]$ thì $\left( 1 \right)$ thành ${{2017}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}$ $\left( 2 \right)$.
Ta có ${{2017}^{t}}>0$, $\forall t\in \left[ -1;1 \right]$ và $t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}>t+\sqrt{{{t}^{2}}}=t+\left| t \right|\ge 0$, $\forall t\in \left[ -1;1 \right]$.
Do đó $\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow t={{\log }_{2017}}\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)$$\Leftrightarrow {{\log }_{2017}}\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)-t=0$ $\left( 3 \right)$.
Xét hàm số $=\frac{a\sqrt{21}}{6}$, với $t\in \left[ -1;1 \right]$ có
${f}'\left( t \right)=\frac{1}{\left( t+\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\ln 2017}.\left( 1+\frac{t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \right)-1$$=\frac{1}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2017}-1$
$=\frac{1-\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2017}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 2017}<0$, $\forall t\in \left( -1;1 \right)$$\Rightarrow f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$.
Do đó trên $\left[ -1;1 \right]$, phương trình $f\left( t \right)=0$ nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác $f\left( 0 \right)=0$ nên $f\left( t \right)=0$$\Leftrightarrow t=0$.
Khi đó $\left( 3 \right)$$\Leftrightarrow t=0$ hay $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Bài ra $x\in \left[ -5\pi ;2017\pi \right]$$\Rightarrow k\pi \in \left[ -5\pi ;2017\pi \right]$$\Rightarrow k\in \left[ -5;2017 \right]$.
Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ -5;-4;-3;...;2017 \right\}$.
Vậy phương trình đã cho có $2023$ nghiệm thực trong đoạn $\left[ -5\pi ;2017\pi \right]$.
Câu 34: Chọn C.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$$\Rightarrow {f}''\left( x \right)=6x+2a$.
Phương trình ${{f}'}'\left( x \right)=0$ có nghiệm $x=-\frac{a}{3}$ nên đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng.
$\xrightarrow{{}}$ Như vậy A đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$.
Phương trình bậc ba luôn có nghiệm nên đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành.
$\xrightarrow{{}}$ Như vậy B đúng.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b=0$$\Leftrightarrow {\Delta }'={{a}^{2}}-3b>0$.
Do đó hàm số không thể luôn có cực trị.
$\xrightarrow{{}}$ Như vậy C sai.
Ta có $\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\,\infty $.
$\xrightarrow{{}}$ Như vậy D đúng.
Câu 35: Chọn C.
${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}-x}}>{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4-x}}$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<4-x$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4<0$$\Leftrightarrow -2<x<2$.
Câu 36: Chọn B.
Điều kiện: $x>0$.
$4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0$$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=0$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$, do $x\in \left( 0;1 \right)$$\Rightarrow t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m=0$$\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-t=f\left( t \right)$
${f}'\left( t \right)=-2t-1$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}$$\Rightarrow f\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}$, $f\left( 0 \right)=0$.
BBT:
Ycbt $\Leftrightarrow m\le \frac{1}{4}$.
Cách khác
Điều kiện: $x>0$.
$4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0$$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=0$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m=0$ $\left( 2 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0;1 \right)$$\Leftrightarrow $phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t<0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a.c < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta \ge 0\\
S < 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 - 4m \ge 0\\
- 1 < 0\\
m \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
0 \le m \le \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{4}$.
Câu 37: Chọn D.
Gọi $I$ là tâm đường tròn $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow IA=r=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow AB\bot \left( SMC \right)$
$\Rightarrow $ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc $\widehat{SMC}={{60}^{\text{o}}}$ $\Rightarrow SM=2IM=\frac{2a\sqrt{3}}{6}$$=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $\Rightarrow $$SA=\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}$$=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}$$=\frac{a\sqrt{21}}{6}$.
Diện tích xung quanh hình nón ${{S}_{xq}}=\pi rl$$=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{6}$$=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}$.
Câu 38: Chọn A.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;1;-4 \right)$.
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 0;1;-1 \right)$.
Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$.
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}$ nên chọn $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\,\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 3;\,1;\,1 \right)$.
$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1;0 \right),$ VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 3;1;1 \right)$ có phương trình là: $3x+y+z-1=0$.
Câu 39: Chọn C.
Ta có : $M\left( 0;2;-1 \right),$ $N\left( -3;2;0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -3;0;1 \right)$.
Câu 40: Chọn B.
$\left( 1 \right):D=\mathbb{R},$ ${y}'={{x}^{2}}-2x+3={{\left( x-1 \right)}^{2}}+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow $hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\left( 2 \right):D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}$, ${y}'=\frac{4}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D$.
$\Rightarrow $hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right);$$\left( -\frac{1}{2};+\infty \right)$, không đồng biến trên tập xác định.
$\left( 3 \right):D=\mathbb{R},$ ${y}'=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}};$ ${y}'>0\Leftrightarrow x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, không đồng biến trên tập xác định.
$\left( 4 \right):D=\mathbb{R},$ ${y}'=3{{x}^{2}}+1-\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R};$ ${y}'=0\Leftrightarrow x=0$.
$\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\left( 5 \right):D=\mathbb{R},$ ${y}'=4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}};$ ${y}'>0\Leftrightarrow x\in \left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, không đồng biến trên tập xác định.
Câu 41: Chọn D.
Đặt $t=\sin x$$\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
$F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}$$=\int{{{\sin }^{3}}x\cos x\text{d}x}$$=\int{{{t}^{3}}\text{d}t}$$=\frac{{{t}^{4}}}{4}+C$$=\frac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C$.
$F\left( 0 \right)=\pi $$\Rightarrow \frac{{{\sin }^{4}}\pi }{4}+C=\pi $$\Leftrightarrow C=\pi $$\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{4}}x}{4}+\pi $.
$F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\sin }^{4}}\frac{\pi }{2}}{4}$$=\frac{1}{4}+\pi $.
Câu 42: Chọn D.
Số đường chéo của đa giác là $C_{n}^{2}-n$.
Câu 43:Chọn A.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
${y}'=6{{x}^{2}}-12x$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại ${{x}_{0}}$ là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)$.
$\Leftrightarrow k=6x_{0}^{2}-12{{x}_{0}}$$=6\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}} \right)$$=6{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-6\ge -6$.
Hệ số góc nhỏ nhất bằng $-6$ khi ${{x}_{0}}=1$$\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$.
Phương trình tiếp tuyến là $y=-6\left( x-1 \right)-1$$\Leftrightarrow 6x+y-5=0$.
Câu 44: Chọn C.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
Ta có: $\widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMO}=60{}^\circ $.
$OM=\frac{1}{3}AM$$=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
$\tan 60{}^\circ =\frac{SO}{OM}$$\Rightarrow SO=OM.\tan 60{}^\circ $$=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}$$=\frac{a}{2}$.
$V=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2}$$=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Câu 45: Chọn C.
+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-3$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có.
Đường thẳng $d:y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3x+2$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $0<m-1<4$$\Leftrightarrow 1<m<5$.
Câu 46: Chọn B.
${y}'={{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+2m+3$.
Hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;3 \right]$ khi và chỉ khi ${y}'\le 0$, $\forall \text{x}\in \left[ 0;\,\text{3} \right]$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+2m+3\le 0$, $\forall \text{x}\in \left[ 0;\,\text{3} \right]$$\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$, $\forall \text{x}\in \left[ 0;\,\text{3} \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$ trên $\left[ 0;\,\text{3} \right]$.
${g}'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-2x+7}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$; ${g}'\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2x+7=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + 2\sqrt 2 \in \left( {0;3} \right)\\
x = - 1 - 2\sqrt 2 \notin \left( {0;3} \right)
\end{array} \right.$.
$g\left( 0 \right)=-3$; $g\left( 3 \right)=0$; $g\left( -1+2\sqrt{2} \right)=6-4\sqrt{2}$.
$2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$, $\forall \text{x}\in \left[ 0;\,\text{3} \right]$$\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=-3$$\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=-2$.
Câu 47: Chọn A.
Xét hàm $y=x+\sqrt{2}\,\cos x$ trên đoạn $\left[ 0;\,\frac{\pi }{2} \right]$.
${y}'=1-\sqrt{2}\sin x$.
${y}'=0$ $\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.$.
Do $x\in \left[ 0;\,\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$.
Ta có $y\left( 0 \right)=\sqrt{2}$; $y\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{4}+1$; $y\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}$.
Vậy $M=\underset{\left[ 0;\text{ }\frac{\pi }{2} \right]}{\mathop{Max}}\,y=y\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{4}+1$; $m=\underset{\left[ 0;\text{ }\frac{\pi }{2} \right]}{\mathop{Min}}\,y=y\left( 0 \right)=\sqrt{2}$.
Nên $M-m=\frac{\pi }{4}+1-\sqrt{2}$.
Câu 48: Chọn D.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-3m$.
Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$ thì ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$ $\Leftrightarrow \frac{c}{a}<0$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m<0$$\Leftrightarrow 0<m<3$.
Câu 49: Chọn C.
Hàm số $y=\frac{1}{{{5}^{x}}}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}$có cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $y={{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{x}}$có cơ số $\frac{\pi }{4}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $y=\frac{1}{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{5} \right)}^{x}}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \right)}^{x}}$có cơ số $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $y={{\left( \frac{e}{3} \right)}^{x}}$có cơ số $\frac{e}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 50: Chọn A.
Măt phẳng $\left( Oyz \right)$có phương trình $x=0$
Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ suy ra $A\left( 0;\,-7;\,-5 \right)$.
Chọn $M\left( 2;\,-3;\,1 \right)\in d$
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $\left( Oyz \right)$suy ra $H\left( 0;\,-3;\,1 \right)$
Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$là đường thẳng ${d}'$ đi qua $H$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( 0;\,-4;\,-6 \right)=-2\left( 0;\,\,2;3 \right)$ có phương trình: $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = - 3 + 2t\\
z = 1 + 3t
\end{array} \right.$.
