Câu 30. Chọn B.
Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật nên tam giác $ADC$ vuông tại $D$ và $BD=AC=asqrt{2}$.
Xét tam giác vuông $ADC$ có
$underset{left
$cos widehat{DAC}=frac{AD}{AC}$$Leftrightarrow AD=ACcos widehat{DAC}$$Leftrightarrow AD=asqrt{2}cos 60{}^circ $$Leftrightarrow AD=frac{asqrt{2}}{2}$$-1+sqrt{4+sqrt{5}}+left
Thể tích khối trụ là $a=2$$=pi {{left
Câu 31. Chọn D.
Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $left
Đặt $SA=SB=SC=a$.
Theo giả thiết ta có tam giác $SAC$ đều cạnh $a$ . Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$$Rightarrow AB=asqrt{2}$.
Xét tam giác $SBC$ ta có
$B{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-2SB.SC.cos widehat{BSC}$$={{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.a.a.cos 120{}^circ $$=asqrt{3}$.
Do $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$$={{a}^{2}}+2{{a}^{2}}$$=3{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BC$ ta có
$left{ begin{array}{l}
MN bot AC\
SM bot AC
end{array} right.$$Rightarrow ACbot left
Mặt khác tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SMbot BC$
Từ
Câu 32. Chọn B.
Đặt thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là $V$, khi đó ta có thể tích khối chóp ${A}’.ABC$ là $frac{V}{3}Rightarrow $ thể tích khối chóp ${A}’.BC{C}'{B}’=frac{2V}{3}$.
Mặt khác thể tích khối chóp ${A}’.BCNM$ bằng thể tích khối chóp ${A}’.{B}'{C}’NM$ nên thể tích khối chóp ${A}’.BCNM$ bằng $frac{V}{3}$.
Vậy ${{V}_{1}}=frac{2V}{3}$, ${{V}_{2}}=frac{V}{3}$$Rightarrow frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2$.
Câu 33: Chọn D.
Ta có $int{fleft
Câu 34: Chọn B.
Gọi $x=overline{abcde}$ là số thỏa ycbt. Do $x$ chia hết cho $5$ nên $e=5$. Số cách chọn vị trí $a,b,c,d$ là $4!$. Vậy có $24$ số có $5$ chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $5$.
Câu 35: Chọn A.
Ta có ${y}’=frac{-2}{{{left
Phương trình tiếp tuyến $Delta $ tại điểm $Mleft
$A=Delta cap {{d}_{1}}$$Rightarrow Aleft
Câu 36: Chọn A.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,AC$. Đặt $BD=2x,AC=2y$ $left
Ta có $CMbot BD,AMbot BD$$Rightarrow BDbot left
Ta có $MA=MC=sqrt{1-{{x}^{2}}}$, $MN=sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$, ${{S}_{AMN}}=frac{1}{2}MN.AC$$=frac{1}{2}y.sqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$.
${{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}.DB.{{S}_{AMC}}$$=frac{1}{3}.2x.ysqrt{1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$=frac{2}{3}sqrt{{{x}^{2}}.{{y}^{2}}.left
$Rightarrow {{V}_{ABCD}}le frac{2sqrt{3}}{27}$.
Câu 37: Chọn A
BPT tương đương với $left{ begin{array}{l}
x > 1\
{x^2} – 3x + m > x – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
{x^2} – 4x + m + 1 > 0quad left
end{array} right.$ .
Yêu cầu bài toán tương đương với $left
TH1: ${Delta }'<0$$Leftrightarrow 4-m-1<0$ $Leftrightarrow 3<m$.
TH2: Nghiệm “lớn” của tam thức bé hơn $1$.
Tương đương với $2+sqrt{3-m}<1$
Vậy chọn A
Câu 38: Chọn D
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+2left
Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2sqrt{5}$ thì ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$ và $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=2sqrt{5}$.
$begin{array}{l}
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta ‘ = {left
left| {{x_1} – {x_2}} right| = 2sqrt 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m < – 3\
m > 1
end{array} right.\
left| {frac{{2sqrt {Delta ‘} }}{a}} right| = 2sqrt 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m < – 3\
m > 1
end{array} right.\
left| {frac{{2sqrt {{{left
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m < – 3\
m > 1
end{array} right.\
{m^2} + 2m – 3 – sqrt 5 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = – 1 – sqrt {4 + sqrt 5 } \
m = – 1 + sqrt {4 + sqrt 5 }
end{array} right.
end{array}$
Vậy tổng cần tìm là $-1+sqrt{4+sqrt{5}}+left
Câu 39: Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm: $frac{x-2}{x-1}=-x-m$ $Leftrightarrow x-2=-{{x}^{2}}-mx+x+m$ $Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx-2-m=0$, $Delta ={{m}^{2}}-4left
$ Rightarrow left[ begin{array}{l}
{x_1} = frac{{ – m + sqrt {{m^2} + 4m + 8} }}{2}\
{x_2} = frac{{ – m – sqrt {{m^2} + 4m + 8} }}{2}
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
{y_1} = frac{{ – m – sqrt {{m^2} + 4m + 8} }}{2}\
{y_2} = frac{{ – m + sqrt {{m^2} + 4m + 8} }}{2}
end{array} right.$
Gọi $Aleft
$AB=sqrt{{{left
Mặt khác: $AB=sqrt{10}$ $Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+8m+6=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = – 1\
m = – 3
end{array} right.$.
Vậy tổng bình phương cần tìm là: ${{left
Câu 40: Chọn C
Ta có: ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}+4n=frac{nleft
$Rightarrow {{u}_{n}}=6n+1$ $Rightarrow {{u}_{10}}=61$.
Câu 41.Chọn B.
Xét khai triển ${{left
Đạo hàm hai vế ta được: $n{{left
Thay $x=1$ ở hai vế ta được $1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+…+n.C_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}$.
Do đó $n{{.2}^{n-1}}=11264$.
Xét hàm số $fleft
Do đó hàm số $fleft
Câu 42. Chọn C.
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh ${B}'{C}’$. Khi đó $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta {A}'{B}'{C}’$.
Gọi ${M}’$ là trung điểm của cạnh ${A}'{C}’$. Khi đó $M{M}’bot left
Do $M{A}’=M{C}’=asqrt{2}$ nên $Delta M{A}'{C}’$ vuông tại $M$. Do đó ${M}’$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta M{A}'{C}’$.
Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M{A}'{B}'{C}’$. Bán kính mặt cầu là $r=I{B}’=frac{BC}{2}=frac{asqrt{5}}{2}$.
Do đó diện tích mặt cầu là $S=4pi {{r}^{2}}=5pi {{a}^{2}}$.
Câu 43. Chọn A.
Ta có: ${{e}^{2x+y+1}}-{{e}^{3x+2y}}=x+y-1$$Leftrightarrow {{e}^{2x+y+1}}+left
Xét hàm số $fleft
Do đó phương trình có dạng: $fleft
Thế vào phương trình còn lại ta được: $log _{2}^{2}x-left
Đặt $t={{log }_{2}}x$, phương trình có dạng: ${{t}^{2}}-left
Để phương trình có nghiệm thì $Delta ge 0$$Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8mge 0$$Leftrightarrow 0le mle frac{8}{3}$.
Do đó có $3$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Câu 44. Chọn C.
${{9.9}^{{{x}^{2}}-2x}}-left
Đặt $t={{left
Phương trình có dạng: ${{t}^{2}}-left
t = 2\
t = 2m – 1
end{array} right.$. Do $0<tle 1$ nên $t=2m-1$.
Để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt thì $0<2m-1<1$$Leftrightarrow frac{1}{2}<m<1$.
Câu 45. Chọn C.
Gọi số tiền gốc ban đầu là $N$ và phần trăm lãi là $r$.
Tháng thứ nhất ông Trung phải trả số tiền lãi là: $N.r$.
Tháng thứ hai ông Trung phải trả số tiền lãi là: $frac{59}{60}N.r$.
Tháng thứ ba ông Trung phải trả số tiền lãi là: $frac{58}{60}N.r$.
…
Tháng thứ sáu mươi ông Trung phải trả số tiền lãi là: $frac{1}{60}N.r$.
Tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong suốt quá trình lãi là:
$N.r+frac{59}{60}.N.r+frac{58}{60}.N.r+…+frac{1}{60}.N.r$ $=left
$=frac{61}{2}.800.0,5%=122.000.000$.
Vậy tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là $122.000.000$ đồng.
Câu 46. Chọn C.
Ta có:
$AC=SC.cos30{}^circ $ $=asqrt{3}$ .
$A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}$ $=3{{a}^{2}}$ $=A{{C}^{2}}$$Rightarrow $ $Delta ABC$ là tam giác vuông ở $B$.
Gọi $H$, $I$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $SC$. Khi đó ta có:
$H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$.
$IHbot left
Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$. Suy ra $R=frac{1}{2}SC$ $=a$.
Vậy $R=a$ .
Câu 47. Chọn C.
Ta có: $dleft
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $I$ là giao điểm của $MN$ và $BG$, $H$ là chân đường cao kẻ từ $G$ của tam giác $SIG$. Khi đó $dleft
Lại có:
$BG=frac{asqrt{3}}{3}$ , $BI=frac{asqrt{3}}{4}$ $Rightarrow IG=BG-BI$ $=frac{asqrt{3}}{12}$.
$SG=BG.tan60{}^circ $ $=a$.
$frac{1}{H{{G}^{2}}}=frac{1}{S{{G}^{2}}}+frac{1}{I{{G}^{2}}}=frac{49}{{{a}^{2}}}$ $Rightarrow GH=frac{a}{7}$ $Rightarrow dleft
Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $left
Câu 48: Chọn B.
Tập xác định của hàm số : $D=left
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+msqrt{4-{{x}^{2}}}+m-7$ và trục hoành là
${{x}^{2}}+msqrt{4-{{x}^{2}}}+m-7=0$$Leftrightarrow mleft
Đặt $t=sqrt{4-{{x}^{2}}}$, $tin left
Đồ thị hàm số đã cho có điểm chung với trục hoành khi và chỉ khi phương trình $left
Xét hàm số $fleft
Ta có $f’left
t = 1 in left
t = – 3 notin left
end{array} right.$.
$fleft
Do đó $underset{left
Bởi vậy, phương trình $left
Từ đó suy ra $a=2$, $b=3$, nên $S=2+3=5$.
Câu 49: Chọn C.
Ta có:
$left{ begin{array}{l}
x + left
x.left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + 2y = 10\
x.left
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 8\
2y = 2
end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}
x = 2\
2y = 8
end{array} right.$.
Từ đó, ta có $left| x-2y right|=left| 8-2 right|=6$.
Câu 50: Chọn A.
Đặt $t=sin x+cos x$$=sqrt{2}sin left
Ta có ${{t}^{2}}={{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x+2sin x.cos x$$=1+2sin x.cos x$, suy ra $sin x.cos x=frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Phương trình đã cho trở thành
$frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2t = 2 Leftrightarrow {t^2} + 4t – 5 = 0 Leftrightarrow left
Từ đó ta có $sqrt{2}sin left
Như vậy $P=sin left