Câu 1. (2,0 điểm).
- Rút gọn biểu thức $T=\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)$
b) Cho $x+\sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Lời giải
a)Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & a\ge 0 \\ & b\ge 0 \\ & ab\ne 1 \\ \end{align} \right.\)
|
Ta có: |
$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$
|
Và |
$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1=\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$
|
Nên |
$T=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}:\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}=-\sqrt{ab}.$
|
b) Ta có : |
$x+\sqrt{3}=2\Leftrightarrow 2-x=\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2-x \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$
$H=\left( {{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}} \right)+\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$
|
Suy ra: |
$H={{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$
Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
|
Phương trình hoành độ giao điểm: |
$\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2{{m}^{2}}+1=0\text{ }(1)$
|
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì phương trình (1) có hai nghiệm. $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 2.$ Vậy với $0\le m\le 2$thì đường thẳng$(d)$cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ |
|
Khi đó theo định lý Viet thì \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right.\) Ta có \(\begin{align} & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{1}}-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2} \\ & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{2}}-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2} \\ \end{align}\) |
\( \begin{align} & T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\left( m+1 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{m}^{2}}-1-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & =2{{\left( m+1 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}-2=-2{{m}^{2}}+4m=2-2{{\left( m-1 \right)}^{2}},\forall m\in \left[ 0,2 \right]. \\ \end{align}\)
|
Đặt $t=m-1$. Do $m\in \left[ 0,2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1,1 \right]\Rightarrow {{t}^{2}}\in \left[ 0,1 \right].$ Nên $T=2-2{{\left( m-1 \right)}^{2}}=2-2{{t}^{2}}\ge 0.$ |
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $0$ đạt được khi ${{t}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow m=0;m=2.$
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)=10 \\
& \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\
\end{align} \right.$
Lời giải
a) Điều kiện: $x\ge \dfrac{7}{3}.$
|
Ta có: |
$\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6\left( x-3 \right)}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)=0.$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left[ \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x+3 \right) \right]=0.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x-3=0 \\
& \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x+3 \right)=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=3 \\
& \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}=\left( x+3 \right)\text{ }\left( * \right) \\
\end{align} \right..$
Ta có $\left\{ \begin{align}
& VT\left( * \right)<\dfrac{7}{2} \\
& VP\left( * \right)>\dfrac{16}{3} \\
\end{align} \right.\text{ }\left( \forall x\ge \dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow \text{ }PT\left( * \right)VN.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
b) $\begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& \left( {{x}^{2}}+1 \right)({{y}^{2}}+1)=10 \\
& \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=10 \\
& \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( xy-1 \right)}^{2}}=10 \\
& \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\
\end{align} \right.\text{ }\left( I \right) \\
& \\
\end{align}$
Đặt $\left\{ \begin{align}
& x+y=u \\
& xy-1=v \\
\end{align} \right..$
|
|
Khi đó, ta có: $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}^{2}}+{{v}^{2}}=10 \\
& uv=3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{\left( u+v \right)}^{2}}-2uv=10 \\
& uv=3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{\left( u+v \right)}^{2}}=16 \\
& uv=3 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& u+v=4 \\
& uv=3 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
& u+v=-4 \\
& uv=3 \\
\end{align} \right. \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& u=1 \\
& v=3 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
& u=3 \\
& v=1 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
& u=-1 \\
& v=-3 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
& u=-3 \\
& v=-1 \\
\end{align} \right. \\
\end{align} \right.$
Với $\left\{ \begin{align}
& u=1 \\
& v=3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y=1 \\
& xy=4 \\
\end{align} \right.\text{ }\left( HPTVN \right)$
Với $\left\{ \begin{align}
& u=3 \\
& v=1 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y=3 \\
& xy=2 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \left[ \begin{align}
& x=1 \\
& y=2 \\
\end{align} \right. \\
& \left[ \begin{align}
& x=2 \\
& y=1 \\
\end{align} \right. \\
\end{align} \right.$
Với $\left\{ \begin{align}
& u=-1 \\
& v=-3 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y=-1 \\
& xy=-2 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=-2 \\
\end{align} \right. \\
& \left\{ \begin{align}
& x=-2 \\
& y=1 \\
\end{align} \right. \\
\end{align} \right.$
Với $\left\{ \begin{align}
& u=-3 \\
& v=-1 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x+y=-3 \\
& xy=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& y=-3 \\
\end{align} \right. \\
& \left[ \begin{align}
& x=-3 \\
& y=0 \\
\end{align} \right. \\
\end{align} \right.$
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: $\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -2;1 \right),\left( 0;-3 \right),\left( -3;0 \right)$
