Lời giải đề 21-trang 1

Câu 1. (2,0 điểm).

  1.   Rút gọn biểu thức $T=\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)$

    b) Cho  $x+\sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức:  $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$

Lời giải

a)Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}   & a\ge 0 \\  & b\ge 0 \\  & ab\ne 1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có: 

$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$

$\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1=\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$

Nên

$T=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}:\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}=-\sqrt{ab}.$

b) Ta có :

$x+\sqrt{3}=2\Leftrightarrow 2-x=\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2-x \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$

$H=\left( {{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}} \right)+\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$

Suy ra:

$H={{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$

Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$

Câu 2. ( 1,0 điểm).  Cho Parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}$ ($m$ là tham số). 

    Với giá trị nào của $m$thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$sao cho biểu thức   

    $T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2{{m}^{2}}+1=0\text{    }(1)$

 

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì phương trình (1) có hai

nghiệm.

 $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 2.$

Vậy với $0\le m\le 2$thì đường thẳng$(d)$cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$

 

Khi đó theo định lý Viet thì

\(\left\{ \begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+1 \right) \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có \(\begin{align}   & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{1}}-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2} \\  & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{2}}-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2} \\ \end{align}\)

 

 

 

\( \begin{align}   & T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\left( m+1 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{m}^{2}}-1-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\  & =2{{\left( m+1 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}-2=-2{{m}^{2}}+4m=2-2{{\left( m-1 \right)}^{2}},\forall m\in \left[ 0,2 \right]. \\ \end{align}\)

 

Đặt  $t=m-1$. Do $m\in \left[ 0,2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1,1 \right]\Rightarrow {{t}^{2}}\in \left[ 0,1 \right].$ Nên $T=2-2{{\left( m-1 \right)}^{2}}=2-2{{t}^{2}}\ge 0.$

 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $0$ đạt được khi ${{t}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow m=0;m=2.$

Câu 3. (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$

    b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}

  & \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)=10 \\

 & \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\

\end{align} \right.$

Lời giải

a) Điều kiện: $x\ge \dfrac{7}{3}.$

Ta có:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6\left( x-3 \right)}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)=0.$

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left[ \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x+3 \right) \right]=0.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x-3=0 \\

 & \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x+3 \right)=0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=3 \\

 & \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6}{\sqrt{6x-14}+2}=\left( x+3 \right)\text{    }\left( * \right) \\

\end{align} \right..$

Ta có $\left\{ \begin{align}

  & VT\left( * \right)<\dfrac{7}{2} \\

 & VP\left( * \right)>\dfrac{16}{3} \\

\end{align} \right.\text{    }\left( \forall x\ge \dfrac{7}{3} \right)\Rightarrow \text{ }PT\left( * \right)VN.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$

b) $\begin{align}

  & \left\{ \begin{align}

  & \left( {{x}^{2}}+1 \right)({{y}^{2}}+1)=10 \\

 & \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=10 \\

 & \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( xy-1 \right)}^{2}}=10 \\

 & \left( x+y \right)\left( xy-1 \right)=3 \\

\end{align} \right.\text{  }\left( I \right) \\

 &  \\

\end{align}$

Đặt $\left\{ \begin{align}

  & x+y=u \\

 & xy-1=v \\

\end{align} \right..$

 

Khi đó, ta có: $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{u}^{2}}+{{v}^{2}}=10 \\

 & uv=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{\left( u+v \right)}^{2}}-2uv=10 \\

 & uv=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & {{\left( u+v \right)}^{2}}=16 \\

 & uv=3 \\

\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & \left\{ \begin{align}

  & u+v=4 \\

 & uv=3 \\

\end{align} \right. \\

 & \left\{ \begin{align}

  & u+v=-4 \\

 & uv=3 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & \left\{ \begin{align}

  & u=1 \\

 & v=3 \\

\end{align} \right. \\

 & \left\{ \begin{align}

  & u=3 \\

 & v=1 \\

\end{align} \right. \\

 & \left\{ \begin{align}

  & u=-1 \\

 & v=-3 \\

\end{align} \right. \\

 & \left\{ \begin{align}

  & u=-3 \\

 & v=-1 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.$

Với $\left\{ \begin{align}

  & u=1 \\

 & v=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & x+y=1 \\

 & xy=4 \\

\end{align} \right.\text{  }\left( HPTVN \right)$

Với $\left\{ \begin{align}

  & u=3 \\

 & v=1 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & x+y=3 \\

 & xy=2 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & \left[ \begin{align}

  & x=1 \\

 & y=2 \\

\end{align} \right. \\

 & \left[ \begin{align}

  & x=2 \\

 & y=1 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.$

Với $\left\{ \begin{align}

  & u=-1 \\

 & v=-3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & x+y=-1 \\

 & xy=-2 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & \left\{ \begin{align}

  & x=1 \\

 & y=-2 \\

\end{align} \right. \\

 & \left\{ \begin{align}

  & x=-2 \\

 & y=1 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.$

Với $\left\{ \begin{align}

  & u=-3 \\

 & v=-1 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & x+y=-3 \\

 & xy=0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & \left[ \begin{align}

  & x=0 \\

 & y=-3 \\

\end{align} \right. \\

 & \left[ \begin{align}

  & x=-3 \\

 & y=0 \\

\end{align} \right. \\

\end{align} \right.$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là:  $\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -2;1 \right),\left( 0;-3 \right),\left( -3;0 \right)$

Chia sẻ:
Sidebar Trang chủ Tài khoản