Câu 30: Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp $1$ và ${y}'=0$ tại $x=-1$ và không xác định tại $x=0$, đồng thời ${y}'$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$ và $x=0$.
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là $x=-1$ và $x=0$.
Câu 31: Chọn D.
Ta chứng minh được:
w $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$.
w $CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD\Rightarrow \Delta SCD$ vuông tại $D$.
w $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \Delta SAC$vuông tại $A$.
Gọi $O$ là trung điểm cạnh $SC$. Khi đó: $OA=OC=OD=OB=OS=\frac{1}{2}SC$.
Do đó $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu là: $R=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{3{{a}^{2}}}{2}=6\pi {{a}^{2}}$.
Câu 32: Chọn C.
Ta có: ${\log _2}\left( {3 - 2x} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 2x > 0\\
3 - 2x = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$
Câu 33: Chọn B.
Ta có $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$.
Câu 34: Chọn B.
Phương trình ${{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0\Leftrightarrow {{5}^{2x}}-{{4.5}^{x}}+3=0$.
Đặt $t={{5}^{x}}$, $t>0$.
Khi đó, ta được phương trình ${{t}^{2}}-4t+3=0$.
Câu 35: Chọn A.
Điều kiện $\sin x+\cos x\ne 0$$\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\ne 0$$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\ne k\pi $$\Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Ta có: $\frac{\sin x\sin 2x+2\sin x{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\Leftrightarrow \frac{\sin 2x\left( \sin x+\cos x \right)+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\Leftrightarrow \frac{\left( \sin 2x+1 \right)\left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$
$\Leftrightarrow \sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=-1$$\Leftrightarrow \sin \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$.
Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{12}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Trên $\left( -\pi ;\pi \right)$ phương trình đã cho có các nghiệm là: $\frac{\pi }{12};-\frac{11\pi }{12}$.
Câu 36: Chọn B.
$P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}={{x}^{\frac{1}{3}}}.{{x}^{\frac{1}{4}}}={{x}^{\frac{7}{12}}}$.
Câu 37. Chọn C.
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=a$$=1>0$.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;-2 \right)$$\Rightarrow b=-2<0$.
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên${y}'<0$$\Rightarrow -a+b<0$$\Rightarrow b<a$.
Vậy $b<0<a$.
Câu 38. Chọn A.
Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm $\left( {{x}_{0}}>0 \right)$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{3}x-5$ nên ta có: ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3$
$\Leftrightarrow \frac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}=-3$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=1$$\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2{{x}_{0}}=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0{\rm{ }}(loai)\\
{x_0} = 2
\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2$$\Rightarrow {{y}_{0}}=4$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-3\left( x-2 \right)+4$$=-3x+10$.
Câu 39. Chọn D.
Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$$\Leftrightarrow 81=-5+\left( n-1 \right)2$$\Leftrightarrow n=44$ .
Vậy $81$ là số hạng thứ $44$.
Câu 40. Chọn B.
Diện tích $\Delta ABC$ là ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
$SA\bot \left( ABC \right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \widehat{\left( SB,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SB,AB \right)}=\widehat{SBA}=60{}^\circ $.
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $\widehat{SBA}=60{}^\circ $, ta có $SA=AB.\tan \widehat{SBA}=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}}{4}$.
Câu 41: Chọn B.
Đặt $AD=x\,\text{km}$, $x\in \left[ 0;\,40 \right]$$\Rightarrow BD=40-x$$\Rightarrow CD=\sqrt{{{\left( 40-x \right)}^{2}}+{{10}^{2}}}$.
Tổng kinh phí đi từ $A$ đến $C$ là $f\left( x \right)=x.3+\sqrt{{{\left( 40-x \right)}^{2}}+{{10}^{2}}}.5$.
$f\left( x \right)=3x+5\sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}$.
${f}'\left( x \right)=3+5\frac{2x-80}{2\sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}}$$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{3\sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}+5x-200}{\sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}}$.
${f}'\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}=200-5x$$\Leftrightarrow x=\frac{65}{2}$.
Bảng biến thiên
Câu 42: Chọn B.
Đặt $t={{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)$.
$\Rightarrow x={{9}^{t}}$, $y={{12}^{t}}$, $x+y={{16}^{t}}$.
$\Rightarrow {{9}^{t}}+{{12}^{t}}={{16}^{t}}$$\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,(loai)\\
{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$
Vậy $\frac{x}{y}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 5
\end{array} \right.$$\Rightarrow a.b=5$.
Câu 43: Chọn A.
Ta có $AB\parallel \left( {A}'{B}'{C}' \right)$$\Rightarrow d\left( AB,\,{B}'{C}' \right)=d\left( AB,\,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=d\left( B,\,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}$.
$V={{S}_{\Delta ABC}}.h$$\Leftrightarrow h=\frac{V}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\frac{4{{a}^{3}}}{3}}{\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{8a}{3}$.
Câu 44: Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình $f\left( x \right)={{\log }_{2}}m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
- 1 < {\log _2}m < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
\frac{1}{2} < m < 8
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<8$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7 \right\}$.
Câu 45: Chọn A.
Ta có: ${{9}^{x+1}}-20.\,{{3}^{x}}+8=0$$\Leftrightarrow {{9.9}^{x}}-20.\,{{3}^{x}}+8=0$.
Đặt $t={{3}^{x}}$ với $t>0$, khi đó phương trình đã cho trở thành: $9{{t}^{2}}-20t+8=0$.
Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, ta có: ${{t}_{1}}={{3}^{{{x}_{1}}}}$ và ${{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{2}}}}$.
Theo định lí Vi – ét, ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=\frac{20}{9}$.
Và: ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{1}}}}.\,{{3}^{{{x}_{2}}}}=\frac{8}{9}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\frac{8}{9}$.
Câu 46: 'Chọn B.
Ta có: ${y}'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\prime }}}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}$.
Câu 47: Chọn A.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Đạo hàm: ${f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3$.
Xét ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = - 2\\
x = - 1 \Rightarrow y = - 6
\end{array} \right.$. Đặt $A\left( 1\,;\,-2 \right)$ và $B\left( -1\,;\,-6 \right)$.
Ta thấy hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía với trục hoành.
Gọi ${A}'\left( 1\,;\,2 \right)$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua trục hoành. Chu vi tam giác $MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm $B$, $M$ và ${A}'$ thẳng hàng.
Ta có: $\overrightarrow {A'M} = \left( {{x_0} - 1\,;\, - 2} \right)$ và $\overrightarrow{{A}'B}=\left( -2\,;\,-8 \right)$$\Rightarrow \frac{{{x}_{0}}-1}{-2}=\frac{-2}{-8}$$\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow M\left( \frac{1}{2}\,;\,0 \right)$.
Vậy $T=4.\,\frac{1}{2}+2015=2017$.
Câu 48. Chọn D.
Ta có $\underset{x\to {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{-2x+1}=+\infty $, $\underset{x\to {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{-2x+1}=-\infty $ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{-2x+1}=\frac{-3}{2}$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=\frac{-3}{2}$là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.
Câu 49. Chọn D.
Ta có ${f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}-15{{x}^{2}}-20$,
${f}'\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-15{{x}^{2}}-20=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 4\\
{x^2} = - 1
\end{array} \right.$. Do ${{x}^{2}}\ge 0$$\Rightarrow {{x}^{2}}=4$$\Rightarrow x=\pm 2$.
Mà $x\in \left[ -1;3 \right]$ nên $x=2$.
Ta có $f\left( -1 \right)=26$, $f\left( 2 \right)=-46$, $f\left( 3 \right)=50$.
So sánh các giá trị ta được giá trị lớn nhất của hàm số là $M=50$.
Câu 50. Chọn B.
Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$
Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, ${y}'=0\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}>0$,${{x}_{2}}>0$
Suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$ $\Rightarrow -\frac{2b}{3a}>0$. Mà $a<0$ nên $b>0$.
${{x}_{1}}{{x}_{2}}>0$$\Rightarrow \frac{c}{3a}>0$. Mà $a<0$ nên $c<0$.
Vậy $a<0$,$b>0$,$c<0$,$d<0$.
