1a) Cho các biểu thức $P\left( x \right)=\dfrac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}$ và $Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3.$
Tìm số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $P\left( {{x}_{0}} \right)$ và $Q\left( {{x}_{0}} \right)$ là các số nguyên, đồng thời $P\left( {{x}_{0}} \right)$ là ước của $Q\left( {{x}_{0}} \right).$
Giải:
Ta có $P\left( x \right)=\dfrac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}=\dfrac{\left( 5\sqrt{x}+8 \right)\left( \sqrt{x}-4 \right)}{x-16}=\dfrac{5\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+4}=5-\dfrac{12}{\sqrt{x}+4}.$
Suy ra $P\left( {{x}_{0}} \right)$ nguyên $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}_{0}}}+4$ là các ước nguyên dương của 12
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {{x_0}} + 4 = 4\\
\sqrt {{x_0}} + 4 = 6\\
\sqrt {{x_0}} + 4 = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
{x_0} = 4\\
{x_0} = 64
\end{array} \right..$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
P\left( 0 \right) = 2\\
Q\left( 0 \right) = 3
\end{array} \right.;{\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}
P\left( 4 \right) = 3\\
Q\left( 4 \right) = 9
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
P\left( {64} \right) = 4\\
Q\left( {64} \right) = 75
\end{array} \right..$
Vậy ${{x}_{0}}=4.$
1b) Cho $t=\dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1}.$ Tính giá trị biểu thức $A=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$ theo $t.$
Giải:
Lời giải 1:
1) Nếu $x=0$ thì $t=0$ và $A=0.$
2) Nếu $x\ne 0$ thì $\left( x+\dfrac{1}{x}-1 \right)t=1\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{t}+1\Rightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}={{\left( 1+\dfrac{1}{t} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+\dfrac{2}{t}-1.$
Khi đó: $A=\dfrac{1}{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+\dfrac{2}{t}}=\dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Từ hai trường hợp trên suy ra $A=\dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Lời giải 2:
Ta có $A=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$
$={{\left( \dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1} \right)}^{2}}:\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-x+1}={{t}^{2}}:\dfrac{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+2x}{{{x}^{2}}-x+1}=\dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
2a) Cho parabol $\left( P \right):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=\dfrac{11}{8}x-\dfrac{3}{2}.$ Gọi $A,B$ là các giao điểm của $\left( P \right)$ và $d.$ Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $CA+CB$ có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ của $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình: $\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=\dfrac{11}{8}x-\dfrac{3}{2}.$
Phương trình này có hai nghiệm: $x=4$ và $x=\dfrac{3}{2}.$
Suy ra $A\left( 4;4 \right),B\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{16} \right).$
Dễ thấy hai điểm $A,B$ cùng nằm về một phía so với trục tung. Lấy điểm $A'\left( -4;4 \right)$ đối xứng với $A$ qua trục tung. Khi đó $CA+CB=CA'+CB\ge A'B$, nên $CA+CB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $A',C,B$ thẳng hàng, tức là khi $C$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ với trục tung.
Phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $A'$ và $B$ có dạng $y=ax+b.$
Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}
4 = - 4a + b\\
\frac{9}{{16}} = \frac{3}{2}a + b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{5}{8}\\
b = \frac{3}{2}
\end{array} \right..$
Suy ra $d':y = - \frac{5}{8}x + \frac{3}{2}.$
Vậy $C\left( 0;\dfrac{3}{2} \right).$
2b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \\ \end{align} \right.\)
Giải:
Ta có: $2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-\left( x+1 \right)y-2{{x}^{2}}+5x-2=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ y-\dfrac{x+1}{2} \right]}^{2}}-\left[ \dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{4}+2{{x}^{2}}-5x+2 \right]=0$
$\Leftrightarrow {{\left[ y-\dfrac{x+1}{2} \right]}^{2}}-\dfrac{9{{x}^{2}}-18x+9}{4}=0\Leftrightarrow {{\left[ y-\dfrac{x+1}{2} \right]}^{2}}-{{\left( \dfrac{3x-3}{2} \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( y-\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{3x-3}{2} \right)\left( y-\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{3x-3}{2} \right)=0$
$ \Leftrightarrow \left( {y - 2x + 1} \right)\left( {y + x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y - 2x + 1 = 0\\
y + x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2x - 1\\
y = 2 - x
\end{array} \right..$
@ Trường hợp $y=2x-1,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:\({{x}^{2}}+{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+x+2x-1-4=0\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\dfrac{4}{5} \\ \end{align} \right.\)
Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: $\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right),\left( x;y \right)=\left( -\dfrac{4}{5};-\dfrac{13}{5} \right).$
@ Trường hợp $y=2-x,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
${{x}^{2}}+{{\left( 2-x \right)}^{2}}+x+2-x-4=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+2=0\Leftrightarrow x=1.$
Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: $\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right).$
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: $\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right),\left( x;y \right)=\left( -\dfrac{4}{5};-\dfrac{13}{5} \right).$
3a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{3}.$
Giải:
Điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là:
$\Delta '={{m}^{2}}+6m+9>0\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne -3.$
Khi đó ${x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} = {\left( {m + 3} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - m = m + 3\\
x - m = 3 - m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2m + 3\\
x = 3
\end{array} \right..$
Trường hợp 1: ${{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=2m+3,$ ta có:
$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2\left( 2m+3 \right)}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\left( 2m+3 \right)}=0$, vô nghiệm.
Trường hợp 2: ${{x}_{1}}=2m+3,{{x}_{2}}=3,$ ta có:
$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2m+3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2m+3}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.$
Vậy $m=\dfrac{3}{2}.$
3b) Giải phương trình $\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}.$
Giải:
Ta có $\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}+\sqrt[3]{2}$
Đặt $a=\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1},b=\sqrt[3]{6x-3},c=\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2},d=\sqrt[3]{2}.$
Phương trình đã cho trở thành: $a-b=c+d\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{3}}={{\left( c+d \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3ab\left( a-b \right)={{c}^{3}}+{{d}^{3}}+3ab\left( c+d \right)$ (2)
Mà ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{c}^{3}}+{{d}^{3}}=3{{x}^{2}}-7x+4$ và $a-b=c+d$ nên (2) trở thành:\(3ab\left( a-b \right)+3cd\left( a-b \right)=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( ab+cd \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=b \\ & ab=-cd \\ \end{align} \right.\)
Trường hợp $a=b$, ta có \({{a}^{3}}={{b}^{3}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-x+1=6x-3\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-7x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\dfrac{4}{3} \\ \end{align} \right.\)
Trường hợp $ab=-cd$ , ta có ${{\left( ab \right)}^{3}}=-{{\left( cd \right)}^{3}}\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}-x+1 \right)\left( 6x-3 \right)=-2\left( 3{{x}^{2}}-7x+2 \right)$ $\Leftrightarrow 18{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}-5x+1=0$ $\Leftrightarrow \left( 6x-1 \right)\left( 3{{x}^{2}}-x-1 \right)=0$ \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{1}{6} \\ & x=\dfrac{1\pm \sqrt{13}}{6} \\ \end{align} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm: $x=\dfrac{1}{6};x=1;x=\dfrac{4}{3};x=\dfrac{1\pm \sqrt{13}}{6}.$
