1a) Cho các biểu thức $Pleft
Tìm số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $Pleft
Giải:
Ta có $Pleft
Suy ra $Pleft
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt {{x_0}} + 4 = 4\
sqrt {{x_0}} + 4 = 6\
sqrt {{x_0}} + 4 = 12
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
{x_0} = 4\
{x_0} = 64
end{array} right..$
Ta có $left{ begin{array}{l}
Pleft
Qleft
end{array} right.;{mkern 1mu} left{ begin{array}{l}
Pleft
Qleft
end{array} right.;left{ begin{array}{l}
Pleft
Qleft
end{array} right..$
Vậy ${{x}_{0}}=4.$
1b) Cho $t=dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1}.$ Tính giá trị biểu thức $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$ theo $t.$
Giải:
Lời giải 1:
1) Nếu $x=0$ thì $t=0$ và $A=0.$
2) Nếu $xne 0$ thì $left
$Rightarrow {{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}=dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}-1.$
Khi đó: $A=dfrac{1}{{{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}+1}=dfrac{1}{dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}}=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Từ hai trường hợp trên suy ra $A=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$
Lời giải 2:
Ta có $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}}{{{left
$={{left
2a) Cho parabol $left
Giải:
Hoành độ của $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình: $dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=dfrac{11}{8}x-dfrac{3}{2}.$
Phương trình này có hai nghiệm: $x=4$ và $x=dfrac{3}{2}.$
Suy ra $Aleft
Dễ thấy hai điểm $A,B$ cùng nằm về một phía so với trục tung. Lấy điểm $A’left
Phương trình đường thẳng $d’$ đi qua $A’$ và $B$ có dạng $y=ax+b.$
Ta có hệ $left{ begin{array}{l}
4 = – 4a + b\
frac{9}{{16}} = frac{3}{2}a + b
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{5}{8}\
b = frac{3}{2}
end{array} right..$
Suy ra $d’:y = – frac{5}{8}x + frac{3}{2}.$
Vậy $Cleft
2b) Giải hệ phương trình (left{ begin{align} & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \ end{align} right.)
Giải:
Ta có: $2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0Leftrightarrow {{y}^{2}}-left
$Leftrightarrow {{left
$Leftrightarrow {{left
$Leftrightarrow left
$ Leftrightarrow left
y – 2x + 1 = 0\
y + x – 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 2x – 1\
y = 2 – x
end{array} right..$
@ Trường hợp $y=2x-1,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: $left
@ Trường hợp $y=2-x,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
${{x}^{2}}+{{left
Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: $left
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: $left
3a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$
Giải:
Điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$
$Delta ‘={{m}^{2}}+6m+9>0Leftrightarrow {{left
Khi đó ${x^2} – 2mx – 6m – 9 = 0 Leftrightarrow {left
x – m = m + 3\
x – m = 3 – m
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2m + 3\
x = 3
end{array} right..$
Trường hợp 1: ${{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=2m+3,$ ta có:
$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{3}+dfrac{1}{2left
Trường hợp 2: ${{x}_{1}}=2m+3,{{x}_{2}}=3,$ ta có:
$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}+dfrac{1}{6}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}=dfrac{1}{6}Leftrightarrow m=dfrac{3}{2}.$
Vậy $m=dfrac{3}{2}.$
3b) Giải phương trình $sqrt
Giải:
Ta có $sqrt
$Leftrightarrow sqrt
Đặt $a=sqrt
Phương trình đã cho trở thành: $a-b=c+dLeftrightarrow {{left
$Leftrightarrow {{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3ableft
Mà ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{c}^{3}}+{{d}^{3}}=3{{x}^{2}}-7x+4$ và $a-b=c+d$ nên
Trường hợp $a=b$, ta có
Trường hợp $ab=-cd$ , ta có ${{left
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm: $x=dfrac{1}{6};x=1;x=dfrac{4}{3};x=dfrac{1pm sqrt{13}}{6}.$