Loading [MathJax]/extensions/MathMenu.js

Lời giải đề 20-trang 1

1a) Cho các biểu thức $Pleftxright=dfrac{5x-12sqrt{x}-32}{x-16}$ và $Qleftxright=x+sqrt{x}+3.$

Tìm số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $Pleftx0right$ và $Qleftx0right$ là các số nguyên, đồng thời $Pleftx0right$ là ước của $Qleftx0right.$

Giải:

Ta có $Pleftxright=dfrac{5x-12sqrt{x}-32}{x-16}=dfrac{left5sqrtx+8rightleftsqrtx4right}{x-16}=dfrac{5sqrt{x}+8}{sqrt{x}+4}=5-dfrac{12}{sqrt{x}+4}.$

Suy ra $Pleftx0right$ nguyên $Leftrightarrow sqrt{{{x}_{0}}}+4$ là các ước nguyên dương của 12

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt {{x_0}}  + 4 = 4\
sqrt {{x_0}}  + 4 = 6\
sqrt {{x_0}}  + 4 = 12
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
{x_0} = 4\
{x_0} = 64
end{array} right..$

Ta có $left{ begin{array}{l}
Pleft0right = 2\
Qleft0right = 3
end{array} right.;{mkern 1mu} left{ begin{array}{l}
Pleft4right = 3\
Qleft4right = 9
end{array} right.;left{ begin{array}{l}
Pleft64right = 4\
Qleft64right = 75
end{array} right..$

Vậy ${{x}_{0}}=4.$

1b) Cho $t=dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1}.$ Tính giá trị biểu thức $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$ theo $t.$

Giải:

Lời giải 1:

1) Nếu $x=0$ thì $t=0$ và $A=0.$

2) Nếu $xne 0$ thì $leftx+dfrac1x1rightt=1Rightarrow x+dfrac{1}{x}=dfrac{1}{t}+1Rightarrow {{leftx+dfrac1xright}^{2}}={{left1+dfrac1tright}^{2}}$

$Rightarrow {{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}=dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}-1.$

Khi đó: $A=dfrac{1}{{{x}^{2}}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}+1}=dfrac{1}{dfrac{1}{{{t}^{2}}}+dfrac{2}{t}}=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$

Từ hai trường hợp trên suy ra $A=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$

Lời giải 2:

Ta có $A=dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}}{{{leftx2+1right}^{2}}-{{x}^{2}}}=dfrac{{{x}^{2}}}{leftx2+x+1rightleftx2x+1right}$

$={{leftdfracxx2x+1right}^{2}}:dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-x+1}={{t}^{2}}:dfrac{leftx2x+1right+2x}{{{x}^{2}}-x+1}=dfrac{{{t}^{2}}}{1+2t}.$

 

 

2a) Cho parabol $leftPright:y=dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=dfrac{11}{8}x-dfrac{3}{2}.$ Gọi $A,B$ là các giao điểm của $leftPright$ và $d.$  Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $CA+CB$ có giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Hoành độ của $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình: $dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=dfrac{11}{8}x-dfrac{3}{2}.$

Phương trình này có hai nghiệm: $x=4$ và $x=dfrac{3}{2}.$

Suy ra $Aleft4;4right,Bleftdfrac32;dfrac916right.$

Dễ thấy hai điểm $A,B$ cùng nằm về một phía so với trục tung. Lấy điểm $A’left4;4right$ đối xứng với $A$ qua trục tung. Khi đó $CA+CB=CA’+CBge A’B$, nên $CA+CB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $A’,C,B$ thẳng hàng, tức là khi $C$ là giao điểm của đường thẳng $A’B$ với trục tung.

Phương trình đường thẳng $d’$ đi qua $A’$ và $B$ có dạng $y=ax+b.$

Ta có hệ $left{ begin{array}{l}
4 =  – 4a + b\
frac{9}{{16}} = frac{3}{2}a + b
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a =  – frac{5}{8}\
b = frac{3}{2}
end{array} right..$ 

Suy ra $d’:y =  – frac{5}{8}x + frac{3}{2}.$

Vậy $Cleft0;dfrac32right.$

2b) Giải hệ phương trình  (left{ begin{align}   & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \ end{align} right.)

Giải:

Ta có: $2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0Leftrightarrow {{y}^{2}}-leftx+1righty-2{{x}^{2}}+5x-2=0$

$Leftrightarrow {{leftydfracx+12right}^{2}}-leftdfracleft(x+1right)24+2x25x+2right=0$

$Leftrightarrow {{leftydfracx+12right}^{2}}-dfrac{9{{x}^{2}}-18x+9}{4}=0Leftrightarrow {{leftydfracx+12right}^{2}}-{{leftdfrac3x32right}^{2}}=0$

$Leftrightarrow leftydfracx+12dfrac3x32rightleftydfracx+12+dfrac3x32right=0$

$ Leftrightarrow lefty2x+1rightlefty+x2right = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y – 2x + 1 = 0\
y + x – 2 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 2x – 1\
y = 2 – x
end{array} right..$

@ Trường hợp $y=2x-1,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:Misplaced &

Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: $leftx;yright=left1;1right,leftx;yright=leftdfrac45;dfrac135right.$

@ Trường hợp $y=2-x,$ thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

${{x}^{2}}+{{left2xright}^{2}}+x+2-x-4=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+2=0Leftrightarrow x=1.$

Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: $leftx;yright=left1;1right.$

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: $leftx;yright=left1;1right,leftx;yright=leftdfrac45;dfrac135right.$

3a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ $x$làns có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}.$

Giải:

Điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ $x$làns có hai nghiệm phân biệt là:

$Delta ‘={{m}^{2}}+6m+9>0Leftrightarrow {{leftm+3right}^{2}}>0Leftrightarrow mne -3.$

Khi đó ${x^2} – 2mx – 6m – 9 = 0 Leftrightarrow {leftxmright^2} = {leftm+3right^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – m = m + 3\
x – m = 3 – m
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2m + 3\
x = 3
end{array} right..$

Trường hợp 1: ${{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=2m+3,$ ta có:

$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{3}+dfrac{1}{2left2m+3right}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2left2m+3right}=0$, vô nghiệm.

Trường hợp 2: ${{x}_{1}}=2m+3,{{x}_{2}}=3,$ ta có:

$dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}+dfrac{1}{6}=dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{1}{2m+3}=dfrac{1}{6}Leftrightarrow m=dfrac{3}{2}.$

Vậy $m=dfrac{3}{2}.$

3b) Giải phương trình $sqrt3{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt3{3{{x}^{2}}-7x+2}-sqrt3{6x-3}=sqrt3{2}.$

Giải:

Ta có $sqrt3{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt3{3{{x}^{2}}-7x+2}-sqrt3{6x-3}=sqrt3{2}$

$Leftrightarrow sqrt3{3{{x}^{2}}-x+1}-sqrt3{6x-3}=sqrt3{3{{x}^{2}}-7x+2}+sqrt3{2}$

Đặt $a=sqrt3{3{{x}^{2}}-x+1},b=sqrt3{6x-3},c=sqrt3{3{{x}^{2}}-7x+2},d=sqrt3{2}.$

Phương trình đã cho trở thành: $a-b=c+dLeftrightarrow {{leftabright}^{3}}={{leftc+dright}^{3}}$

$Leftrightarrow {{a}^{3}}-{{b}^{3}}-3ableftabright={{c}^{3}}+{{d}^{3}}+3ableftc+dright$ 2

Mà ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{c}^{3}}+{{d}^{3}}=3{{x}^{2}}-7x+4$ và $a-b=c+d$ nên 2 trở thành:3ableft(abright+3cdleftabright=0Leftrightarrow leftabrightleftab+cdright=0Leftrightarrow left[ begin{align}   & a=b \  & ab=-cd \ end{align} right.)
Trường hợp $a=b$, ta có Misplaced &

Trường hợp $ab=-cd$ , ta có ${{leftabright}^{3}}=-{{leftcdright}^{3}}Leftrightarrow left3x2x+1rightleft6x3right=-2left3x27x+2right$ $Leftrightarrow 18{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}-5x+1=0$ $Leftrightarrow left6x1rightleft3x2x1right=0$ Misplaced &

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm: $x=dfrac{1}{6};x=1;x=dfrac{4}{3};x=dfrac{1pm sqrt{13}}{6}.$

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *