Lời giải đề 2: Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2018 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An lần 2- trang 2

Câu 30: Đáp án D

Dựng $C,x//BDRightarrow dleft$BD;SCright$=dleft$BD;left(SCxright$ right)$

Dựng $AKbot CE;AHbot SK$

Khi đó Cx cắt AB tại E và AK tại I suy ra BI là đường trung bình của $Delta AEK$$DoBDquatrungđiểmOcủaAC$

Ta có: $d=dleft$I;left(SCEright$ right)=frac{1}{2}{{d}_{A}}=frac{AH}{2}$

Do $AK=2AI=2.frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{4a}{sqrt{5}}Rightarrow AH=frac{SA.AK}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}$

$=frac{4a}{3}Rightarrow d=frac{2a}{3}$

Câu 31: Đáp án A

Kí hiệu bán kính đáy của hình nón là x, chiều cao hình nón là y $trongđó\$0<xle2R;0<yleR\$$. Gọi SS’là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì ta có:

${{x}^{2}}=yleft$2R-yright$$$hệthứclượngtrongtamgiácvuông$

Gọi ${{V}_{1}}$là thể tích khối nón: ${{V}_{1}}=frac{pi }{3}{{x}^{2}}y=frac{pi }{6}.y.y.left$4R-2yright$$

Mặt khác $y.y.left$2R-yright$le {{left$fracy+y+4R-2y3right$}^{3}}=frac{64}{27}{{R}^{3}}$

Do đó $Vle frac{32pi }{81}$dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow y=frac{4R}{3};x=frac{2Rsqrt{2}}{3}$

Khi đó $OH=y-R=frac{R}{3}=2,cm$

Câu 32: Đáp án D

Đặt $t={{x}^{2}}+1Rightarrow dt=2xdxRightarrow intlimits_{1}^{2}{fleft$x^2+1right$xdx=intlimits_{2}^{5}{fleft$tright$.frac{dt}{2}=frac{1}{2}intlimits_{2}^{5}{fleft$xright$dx=2}}}$

Do đó $I=intlimits_{2}^{5}{fleft$xright$dx=4}$

Câu 33: Đáp án A

Ta có: $v=200Rightarrow {{t}^{2}}+10t=200Leftrightarrow t=10s$

Máy bay di chuyển trên đường bang từ thời điểm $t=0$đến thời điểm $t=10$, do đó quãng đường đi trên đường băng là: $S=intlimits_{0}^{10}{left$t^2+10tright$dx}=frac{2500}{3}left$mright$$

Câu 34: Đáp án B

ĐK: $x>0Rightarrow left${log}_{2}x-1right$left${log}_{3}x-1right$le 0Leftrightarrow left$x-2right$left$x-3right$le 0Leftrightarrow 2le xle 3$

Phương trình có 2 nghiệm nguyên là $x=2;x=3$

Câu 35: Đáp án A

Gọi $Aleft$1+t;2+3t;tright$in {{d}_{1}};Bleft$-1-u;1+2u;2+4uright$in {{d}_{2}}$

Ta có: $overrightarrow {MA}  = k.overrightarrow {MB}  Rightarrow left{ begin{array}{l}
t – 2 = kleft$–u–4right$\
3t – 1 = kleft$2u–2right$\
t + 2 = kleft$4u+4right$
end{array} right.$ 

Giả hệ với ẩn t; k và $ku Rightarrow left{ begin{array}{l}
t = 0\
k = frac{1}{2}\
ku = 0
end{array} right. Rightarrow t = 0;u = 0 Rightarrow Aleft$1;2;0right$;Bleft$–1;1;2right$ Rightarrow AB = 3$ 

Câu 36: Đáp án C

Gọi đường tròn $O$ là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Xét A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác,kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là 1 đỉnh của đa giác. Đường kính AA’ chia $O$ thành 2 nửa đường tròn , với mỗi cách chọn ra 2 điểm B và C là 2 đỉnh của đa giác và cùng thuộc 1 nửa đường tròn, ta đường 1 tam giác tù ABC. Khi đó số cách chọn B và C là: $2C_{49}^{2}$

Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là 50

Do đó, số cách chọn ra 3 đỉnh để lập thành 1 tam giác tù là: $50.2C_{49}^{2}=100C_{49}^{2}$

Không gian mẫu: $left| Omega  right|=C_{100}^{3}Rightarrow P=frac{100C_{49}^{2}}{C_{100}^{3}}=frac{8}{11}$

Câu 37: Đáp án D

Hệ số góc của đường thẳng IM là: $frac{{{y}_{1}}-{{y}_{M}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{M}}}=frac{2-b}{1-a}=frac{2-frac{2a-1}{a-1}}{1-a}=frac{1}{{{left$a-1right$}^{2}}}$

Mặt khác tiếp tuyến tại M có hệ số góc $k=y’left$aright$=frac{-1}{{{left$a-1right$}^{2}}}$

Giả thiết bài toán $ Leftrightarrow  – frac{1}{{{{left$a–1right$}^2}}} =  – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 0left$loairight$\
a = 2 Rightarrow b = 3 Rightarrow a + b = 5
end{array} right.$ 

Câu 38: Đáp án A

Ta có: $y’=3+mleft$cosx-operatornamestextinxright$=3+msqrt{2}ctext{os}left$x+fracpi4right$$

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$khi $y’ge 0left$forallxinmathbbRright$Leftrightarrow underset{mathbb{R}}{mathop{Min}},y’ge 0Leftrightarrow 3-left| msqrt{2} right|ge 0$

$Leftrightarrow left| m right|le frac{3}{sqrt{2}}xrightarrow{min mathbb{Z}}m=0;m=pm 1;m=pm 2.$ Vậy có 5 giá trị nguyên của m.

Câu 39: Đáp án B

Ta có $y’=sqrt$$3$${{{x}^{2}}}+frac{2}{3}{{x}^{frac{-1}{3}}}left$x-1right$=sqrt$$3$${{{x}^{2}}}+frac{2left$x-1right$}{3sqrt$$3$${x}}=frac{5x-1}{3sqrt$$3$${x}}$

Do y xác định tại các điểm $x=0;x=frac{2}{5}$và y’ đổi dấu qua các điểm này nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 40: Đáp án A

Giả thiết bài toán$Leftrightarrow $ điểm uốn của đồ thị hàm số$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$thuộc đường thẳng. Mặt khác $Uleft$1;-1right$in dLeftrightarrow -1=3m-1+6m+3Leftrightarrow m=-frac{1}{3}$

Với $m=-frac{1}{3}$thử lại thấy thỏa mãn nên $m=-frac{1}{3}$là giá trị cần tìm.

Câu 41: Đáp án C

Ta có $ln x + ln y ge ln left$x^2+yright$ Leftrightarrow ln left$xyright$ ge ln left$x^2+yright$ Leftrightarrow xy ge {x^2} + y Leftrightarrow yleft$x–1right$ ge {x^2} > 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
y > 0
end{array} right.$ 

Khi đó $yge frac{{{x}^{2}}}{x-1}Rightarrow P=x+yge x+frac{{{x}^{2}}}{x-1}=2left$x-1right$+frac{1}{x-1}+3ge 2sqrt{2left$x-1right$.frac{1}{x-1}}+3=2sqrt{2}+3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $3+2sqrt{2}$

Câu 42: Đáp án A

Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{2}^{{{left$x-1right$}^{2}}}}ge {{2}^{0}}=1,$ khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+3m-2=0,,,,,,,,,left$1right$$

Dễ thấy $t=frac{3}{2}$không là nghiệm của $1$, do đó $m=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}to fleft$tright$=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$

Phương trình $1$ có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m=fleft$tright$$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1, khác $frac{3}{2}$          $\ast$

Xét hàm số $fleft$tright$=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$trên $left$1;frac32right$$và $left$frac32;+inftyright$$, có $f’left$tright$=frac{2left$t^2-3t+2right$}{{{left$2t-3right$}^{2}}}=0Leftrightarrow t=2$

Tính $fleft$1right$=1;fleft$2right$=2;underset{xto {{frac{3}{2}}^{+}}}{mathop{lim }},fleft$tright$=+infty ;underset{xto {{frac{3}{2}}^{-}}}{mathop{lim }},fleft$tright$=-infty $và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft$tright$=+infty $

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\ast$ $Leftrightarrow m>2$là giá trị cần tìm

Câu 43: Đáp án A

Gọi O là tâm của tam giác ABC, Vì I, M lần lượt là trung điểm của EF, BC

Theo bài ra, ta có $AIbot left$SBCright$Rightarrow AIbot left$SBCright$Rightarrow Delta SAM$ cân tại A.

Do đó $SA=AM=frac{asqrt{3}}{2};AO=frac{2}{3}AM=frac{2}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$

$Rightarrow SP=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=sqrt{{{left$fracasqrt32right$}^{2}}-{{left$fracasqrt33right$}^{2}}}=frac{asqrt{15}}{6}$

Vậy ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.SO.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{15}}{6}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{5}}{24}$

Câu 44: Đáp án B

Mặt cầu $left$Sright$:{{left$x-1right$}^{2}}+{{left$y-2right$}^{2}}+{{left$z-1right$}^{2}}=2$có tâm $Ileft$1;2;1right$,R=sqrt{2}$

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, hai tiếp điểm M, N và cắt d tại H.

Khi đó IH chính là khoảng cách từ điểm$Ileft$1;2;1right$$đến d.

Điểm $Kleft$2;0;0right$in dRightarrow overrightarrow{IK}=left$1;-2;-1right$Rightarrow fleft$I;left(dright$ right)=frac{left| left$$overrightarrowIK;{overrightarrowu}_{d}right$$ right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{d}} right|}=sqrt{6}$

Suy ra $IH=sqrt{6},IM=IN=R=sqrt{2}.$ Gọi O là trung điểm của MN

Ta có $MO=frac{MH.MI}{IH}=frac{2}{sqrt{3}}Rightarrow MN=2,,x,,MO=frac{4sqrt{3}}{3}.$

Câu 45: Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của O trên $left$Pright$Rightarrow dleft$O;left(Pright$ right)=OHle OM$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $Hequiv MRightarrow {{overrightarrow{n}}_{left$Pright$}}=left$1;2;3right$Rightarrow left$Pright$:x+2y+3z-14=0$

Mặt phẳng $left$Pright$$cắt các trục tọa độ lần lượt tại $Aleft$14;0;0right$,Bleft$0;7;0right$,Cleft$0;0;frac143right$$

Vậy thể tích khối chóp OABC là ${{V}_{OABC}}=frac{OA.OB.OC}{6}frac{14.7frac{14}{3}}{6}=frac{686}{9}$

Câu 46: Đáp án D

Tách $7,cos x-4sin x=aleft$cosx+operatornamestextinxright$+bleft$cosx-operatornamestextinxright$=left$a+bright$.cos x+left$a-bright$.operatorname{s}text{inx}$

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a + b = 7\
a – b =  – 4
end{array} right. Leftrightarrow a = frac{3}{2};b = frac{{11}}{2} to 7cos x – 4{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = frac{3}{2}left$cosx+mathoprmsnolimitsrminxright$ + frac{{11}}{2}left$cosx–mathoprmsnolimitsrminxright$$ 

Khi đó $2intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft$xright$dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{3left$cosx+operatornamestextinxright$+11left$cosx-operatornamestextinxright$}{cos x+operatorname{s}text{inx}}}dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{3dx+11intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{dleft$cosx+operatornamestextinxright$}{cos x+operatorname{s}text{inx}}}}}$

$=left. frac{3pi }{4}+11.ln left| cos x+operatorname{s}text{inx} right| right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}=frac{3pi }{4}-frac{11.ln 2}{2}Rightarrow intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft$xright$dx=frac{3pi }{8}-frac{11.ln 2}{4}}$

Mà $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft$xright$dx=Fleft$fracpi2right$}-Fleft$fracpi4right$$ suy ra $Fleft$fracpi2right$=Fleft$fracpi4right$+frac{3pi }{8}-frac{11.ln 2}{4}=frac{3pi -11.ln 2}{4}$

Câu 47: Đáp án C

Ta có $intlimits_{0}^{1}{left$$2fleft(xright)+3fleft(1-xright)right$$dx}=intlimits_{0}^{1}{sqrt{1-x}}dxLeftrightarrow 2intlimits_{0}^{1}{fleft$xright$dx+3intlimits_{0}^{1}{fleft$1-xright$dx=frac{2}{3}}},,,,,,,,,left$1right$$

Đặt $t = 1 – x Leftrightarrow dx =  – dtleft{ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 1\
x = 1 Rightarrow t = 0
end{array} right. Rightarrow intlimits_0^1 {fleft$1–xright$dx =  – intlimits_1^0 {fleft$tright$dt = intlimits_0^1 {fleft$xright$dx} } } {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} left$2right$$ 

Từ $1$ và $2$ suy ra $5,,x,,intlimits_{0}^{1}{fleft$xright$dx=frac{2}{3}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft$xright$dx=frac{2}{15}}}$

Câu 48: Đáp án B

Bổ đề. Cho hai số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$, ta luôn có ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=2left${left|z_{1}right|}^2+{left|z_{2}right|}^{2}right$,,,,,,,,,,,,,,,,left$\ast right$$

Chứng minh. Sử dụng công thức ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}=left$z_1+z_{2}right$left$overline{z}_1+overline{z}_{2}right$$và $z.overline{z}={{left| z right|}^{2}}$. Khi đó

${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=left$z_1+z_{2}right$left$overline{z}_1+overline{z}_{2}right$+left$z_1-z_{2}right$left$overline{z}_1-overline{z}_{2}right$$

$begin{array}{l}
{z_1}.overline z  + {z_1}.{overline z _2} + {overline z _1}.{z_2} + {z_2}.{overline z _2} + {z_1}.{overline z _1} – {z_1}.{overline z _2} – {overline z _1}.{z_2} + {z_2}.{overline z _2}\
 = 2left$z_1.{overlinez}_1+z_2.{overlinez}_{2}right$ = 2left${left|z_{1}right|}^2+{left|z_{2}right|}^{2}right$ to dpcm
end{array}$

Áp dụng $\ast$, ta được ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}-{{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=4Rightarrow {{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=4-{{left$sqrt3right$}^{2}}=1Rightarrow left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=1$

Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được $P=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|sqrt{2left${left|z_{1}right|}^2+{left|z_{2}right|}^{2}right$}=2sqrt{26}$

Câu 49: Đáp án C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp đều $Delta ABD$

Ta có $HB=HD=frac{asqrt{3}}{3}Rightarrow SH=sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=asqrt{frac{5}{12}}$

Lại có $dleft$H;left(SBCright$ right)=HK$và $frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{H{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}Rightarrow HK=frac{asqrt{15}}{9}$

Khoảng cách từ $Dto left$SBCright$$là $dleft$D;left(SBCright$ right)=frac{3}{2}dleft$H;left(SBCright$ right)=frac{asqrt{15}}{6}$

Vậy$Delta ABD.,sin alpha =frac{dleft$D:left(SBCright$ right)}{SD}=frac{asqrt{15}}{6}:frac{asqrt{3}}{2}=frac{sqrt{5}}{3}$

Câu 50: Đáp án B

Vì $Iin dRightarrow Ileft$2t+3;t-2;-t-1right$$mà $Iin left$Pright$Rightarrow t=-1Rightarrow Ileft$1;-3;0right$$

Vì M là hình chiếu vuông góc của I trên $Delta Rightarrow dleft$I;Deltaright$=dleft$I;left(Pright$ right)=IM=sqrt{42}$

Khi đó $left{ begin{array}{l}
M in left$Pright$\
IM = sqrt {42} 
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
5 + b + c + 2 = 0\
{4^2} + {left$b+3right$^2} + {c^2} = 42
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b + c =  – 7\
{left$b+3right$^2} + {c^2} = 26
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
left$b;cright$ = left$–8;1right$\
left$b;cright$ = left$–2;–5right$
end{array} right.$ 

Vậy $Mleft$5;-2;-5right$$hoặc $Mleft$5;-8;1right$to bc=10$