Loading web-font TeX/Math/Italic

Lời giải đề 19-trang 2

4

2,0đim

a.(1,0 điểm) Cho phương trình ${{x}^{2}}-2x+m-3=0text{  }left1right$ với $m$ là tham số.

Giải phương trình 1 khi $m=0$;

Khi m = 0, 1 có dạng ${{x}^{2}}-2x-3=0$

0,25

$Delta =16>0$. Khi đó 1 có 2 nghiệm phân biệt là

0,25

${{x}_{1}}=dfrac{2+sqrt{16}}{2}=3$;

${{x}_{2}}=dfrac{2-sqrt{16}}{2}=-1$

 

0,5

 

b.(1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $x_{1}^{2}+12=2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Delta ‘>0Leftrightarrow 4-m>0Leftrightarrow m<4$

0,25

Với điều kiện trên, giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, theo định lý Vi –étta có:( left{ begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2text{       }left2right \  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-3text{     }left3right \ end{align} right.)

0,25

Áp dụng tính được: Misplaced &-2{{x}_{2}}+12=0Leftrightarrow 2leftx1x2right=-12 \  & Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-6 \ end{align})

0,25

Kết hợp với 2,3 ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\
{x_1}{x_2} = m – 3\
{x_1} – {x_2} =  – 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} =  – 2\
{x_2} = 4\
m =  – 5
end{array} right.$

Kết hợp với điều kiện ta thấy $m=-5$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

0,25

5

3,0đim

Cho $leftOright$ đường kính $AB=2R$, $C$ là trung điểm của $OA$ và dây $MN$ vuông góc với $OA$ tại $C$. Gọi $K$ là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ $oversetfrown{BM}$ $K$khác$B,M$, $H$ là giao điểm của $AK$ và $MN$.

            a) Chứng minh rằng $BCHK$ là tứ giác nội tiếp.

            b) Chứng minh $AH.AK=A{{M}^{2}}$

            c) Xác định vị trí của điểm $K$để $KM+KN+KB$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

a) 1,0đim Chứng minh rằng $BCHK$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có $widehat{BKH}={{90}^{0}}$ gócnitiếpchnnađưngtròn(O)

0,25

         $widehat{HCB}={{90}^{0}}$ githiết

0,25

Tứ giác $BCHK$ có $widehat{BKH}+widehat{HCB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$ và hai góc này ở vị trí đối nhau.

0,25

Vậy $BCHK$ là tứ giác nội tiếp.

0,25

b.(1,0điểm) Chứng minh $AH.AK=A{{M}^{2}}$

Ta có $ABbot MNRightarrow $ $oversetfrown{AM}=oversetfrown{AN}$ tínhchtđưngkínhvuônggócvidâycung 1

Xét O có : $widehat{AMN}=$ $dfrac{1}{2}$ sđ$oversetfrown{AN}$ góccóđnhnmtrênđưngtròn 2

0,25

$widehat{AKM}=$ $dfrac{1}{2}$ sđ$oversetfrown{AM}$ góccóđnhnmtrênđưngtròn  3

Từ 1, 2, 3 suy ra $widehat{AMN}=widehat{AKM}$ hay $widehat{AMH}=widehat{AKM}$

0,25

Xét $Delta AHM$  và $Delta AMK$ có

              $widehat{AMH}=widehat{AKM}$ chngminhtrên

              $widehat{A}$ chung

$Rightarrow $ $Delta AHMbacksim

Delta AMK$gg

0,25

$Rightarrow dfrac{AH}{AM}=dfrac{AM}{AK}$

$Rightarrow AH.AK=A{{M}^{2}}$

0,25

c) 1,0đim Xác định vị trí của điểm $K$ để $KM+KN+KB$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

 

Ta có : $widehat{AMB}={{90}^{0}}$ gócnitiếpchnnađưngtròn(O)$Rightarrow $ $Delta AMB$  vuông tại M có đường cao MC ; $AC=dfrac{R}{2};BC=dfrac{3R}{4}$, AB = 2R(Rightarrow left{ begin{align}   & M{{C}^{2}}=AC.CB=dfrac{3{{R}^{2}}}{4} \  & M{{B}^{2}}=BA.BC=3{{R}^{2}} \ end{align} right.)  (Rightarrow left{ begin{align}   & text{MC=}dfrac{Rsqrt{3}}{2} \  & MB=Rsqrt{3} \ end{align} right.)

$MN=2MC=Rsqrt{3}$ $Rightarrow MN=MB=Rsqrt{3}$ 1

Mặt khác: AB là đường trung trực của MN tínhchtđưngkínhvuônggócdâycung

$Rightarrow BM=BN$ 2

Từ 12 suy ra tam giác BMN đều

0,25

Trên đoạn KN lấy điểm P sao cho KP = KB suy ra tam giác KBP cân tại K.

$widehat{PKB}=widehat{MNB}={{60}^{0}}$ $Rightarrow $ tam giác KBP đều$Rightarrow $ $BP=BK$

0,25

Ta có : $widehat{NBP}=widehat{KBM}=widehatNBK600$

Dễ dàng chứng minh được: $Delta BPN=Delta BKMleftc.g.cright$

$Rightarrow NP=MK$

$Rightarrow KM+KN+KB

=2KN$

0,25

Do đó$KM+KN+KB$ lớn nhất $Leftrightarrow $ KN lớn nhất

$Leftrightarrow $ KN là đường kính của O

$Leftrightarrow $ K là điểm chính giữa của cung MB.

Khi đó $KM+KN+KB$ đạt giá trị lớn nhất bằng 4R.

Chú ý:

Nếu thí sinh giải bài toán bằng cách áp dụng định lý Ptoleme vào tứ giác BKMN để có:  $KM.BN+KB.MN=KN.BM$ màkhôngchngminhđnhlý thì cho 0,5 điểm toàn bài.

0,25

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *