|
Câu |
Nội dung |
Điểm |
|
|
|
|
|
|
|
1 (1,0 điểm) |
a. (0,5 điểm)Tính giá trị của các biểu thức sau:$\text{A}=\sqrt{16+9}-2$ |
||
|
$\text{A}=\sqrt{16+9}-2=\sqrt{25}-2$ |
0,25 |
||
|
$=5-2=3$ |
0,25 |
||
|
b. (0,5 điểm)$\text{B}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}+1$ |
|||
|
$\text{B}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}+1=\left| \sqrt{3}-1 \right|+1$ |
0,25 |
||
|
$=\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$ |
0,25 |
||
|
2 (1,5 điểm) |
a.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức \(\text{P}=\left( \dfrac{x-6}{x+3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3} \right):\dfrac{2\sqrt{x}-6}{x+1}\) |
||
|
Với điều kiện$x>0;x\ne 9,$ ta có : $\text{P}=\left( \dfrac{x-6}{x+3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3} \right):\dfrac{2\sqrt{x}-6}{x+1}=\left( \dfrac{x-6}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3} \right).\dfrac{x+1}{2\left( \sqrt{x}-3 \right)}$ |
0,25 |
||
|
\(\begin{align} & =\dfrac{x-6-\sqrt{x}-3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)}.\dfrac{x+1}{2\left( \sqrt{x}-3 \right)} \\ & =\dfrac{x-9}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)}.\dfrac{x+1}{2\left( \sqrt{x}-3 \right)} \\ \end{align}\) |
0,25
0,25 |
||
|
$=\dfrac{\left( x-9 \right)\left( x+1 \right)}{2\sqrt{x}\left( x-9 \right)}=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}$ |
0,25 |
||
|
b.(0,5 điểm)Tìm giá trị của $x$ để $\text{P}=1.$ |
|||
|
Ta có: $\text{P}=1\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}=1\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{x}$ |
0,25 |
||
|
$\Leftrightarrow x+1-2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$ Kết hợp với điều kiện ta thấy $x=1$thỏa mãn yêu cầu đề bài. |
0,25 |
||
|
3 (2,5 điểm) |
1.(1,0 điểm) Cho đường thẳng $\left( d \right):y=-\dfrac{1}{2}x+2$ Tìm $m$ để đường thẳng $\left( \Delta \right):y=\left( m-1 \right)x+1$ song song với đường thẳng $\left( d \right)$ |
||
|
1.a) (0,5 điểm) Đường thẳng song song với đường thẳng $\left( d \right)$ khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{align} & m-1=-\dfrac{1}{2} \\ & 1\ne 2 \\ \end{align} \right.\)
$\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ Vậy, với $m=\dfrac{1}{2}$, hai đường thẳng $\left( \Delta \right),\left( d \right)$ song song với nhau. |
0.25
0.25 |
||
|
1.b) (0,5 điểm) Gọi $\text{A,B}$ là giao điểm của $\left( d \right)$ với Parabol $\left( P \right):y = \dfrac{1}{4}{x^2}$. Tìm điểm N nằm trên trục hoành sao cho \(\text{NA + NB}\) nhỏ nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d): \(\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=-\dfrac{1}{2}x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-4 \\ \end{align} \right.\) Do đó: $A\left( -4;4 \right),B\left( 2;1 \right)$. Lấy $B'\left( 2;-1 \right)$đối xứng với với B qua trục hoành. Ta có: NB = NB’, khi đó: $NA+NB=NA+NB'\ge AB'$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,N,B thẳng hàng. Điểm N cần tìm chính là giao điểm của AB’ và trục Ox. |
0.25 |
||
|
Phương trình AB’ có dạng$y=mx+n$. Do hai điểm A,B’ thỏa mãn phương trình đường thẳng nên phương trình AB’: $y=-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{2}{3}$ . Từ đó tọa độ giao điểm của AB’ và và Ox là$N\left( \dfrac{4}{5};0 \right)$ |
0,25 |
||
|
2.a) (1,0 điểm) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & x+ay=3a \\ & -ax+y=2-{{a}^{2}} \\ \end{align} \right.\text{ }\left( \text{I} \right)\) với $a$ là tham số. Giải hệ phương trình $\left( \text{I} \right)$ khi $a=1$; |
|||
|
Khi $a=1$, hệ (I) có dạng \(\left\{ \begin{align} & x+ay=3a \\ & -ax+y=2-{{a}^{2}} \\ \end{align} \right.\text{ }\left( \text{I} \right)\) |
0,25 |
||
|
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2y=4 \\ & x+y=3 \\ \end{align} \right.\) |
0,25 |
||
|
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=3-y \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\) |
0,25 |
||
|
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)=(1;2)\) |
0,25 |
||
|
2.b) (0,5điểm) Tìm $a$ để hệ phương trình $\left( \text{I} \right)$ có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(\dfrac{2y}{{{x}^{2}}+3}\) là số nguyên.
|
|||
|
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |
0,25 |
||
|
Khiđó: $\dfrac{2y}{{{x}^{2}}+3}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}+3}$. Do ${{x}^{2}}+3\ge 3$với mọi x nên: $\dfrac{4}{{{a}^{2}}+3}$là số nguyên khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+3=4\Leftrightarrow a=\pm 1$. |
0,25 |
||
