Bài 4.
a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B $\Rightarrow $AB$\bot $ OB hay $\widehat{ABO}={{90}^{0}}$
Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C $\Rightarrow $ AC$\bot $ OC hay $\widehat{ACO}={{90}^{0}}$.
Tứ giác ABOC có $\widehat{ACO}=\widehat{ABO}={{90}^{0}}$ nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
b) Xét $\Delta \text{EMB}$và $\Delta \text{ECN}$ có:
$\widehat{EMB}=\widehat{ECN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)
$\widehat{EBM}=\widehat{ENC}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
$\Rightarrow \Delta EMB\backsim \Delta ECN(gg)$
$\Rightarrow \dfrac{EM}{EC}=\dfrac{EB}{EN}\Rightarrow EB.EC=EM.EN$.
Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}$ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì I là trung điểm MN $\Rightarrow OI\bot MN$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
$\Rightarrow \widehat{AIO}={{90}^{0}}$$\Rightarrow $ I nằm trên đường tròn đường kính OA.
Xét đường tròn đường kính OA ta có:
$\widehat{AIC}=\widehat{AOC};\widehat{AIB}=\widehat{AOB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}$
$\Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AIB}$ hay IA là phân giác của $\widehat{BIC}$.
c) Vì AB = AC và OB = OC nên AO là đường trung trực của BC $\Rightarrow $ AO vuông góc với BC tại F.
Xét $\Delta \text{AOC}$vuông tại C, đường cao CF ta có $\text{AF}.\text{AO}=\text{A}{{\text{C}}^{\text{2}}}$và$\text{F}{{\text{C}}^{\text{2}}}=\text{FA}.\text{FO}$.
Xét $\Delta \text{ACM}$và $\Delta \text{ANC}$có: $\widehat{ACM}=\widehat{ANC}$ và $\widehat{A}$ chung
$\Rightarrow \Delta ACM\backsim \Delta ANC(gg)\Rightarrow \frac{AC}{AN}=\frac{AM}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=AM.AN$
$\Rightarrow AF.AO=AM.AN\Rightarrow \dfrac{AF}{AN}=\frac{AM}{AO}$
Xét $\Delta AMF$và $\Delta AON$ có:
$\widehat{A}\,\,chung;\dfrac{AF}{AN}=\dfrac{AM}{AO}\Rightarrow \Delta AMF\backsim \Delta AON(cgc)$
Xét $\Delta \text{FCM}$và $\Delta \text{FDB}$ có:
$\widehat{FCM}=\widehat{FDB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
$\widehat{CFM}=\widehat{DFB}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta FCM\backsim \Delta FDB\Rightarrow \frac{FM}{FB}=\frac{FC}{FD}$
$\Rightarrow FM.FD=FB.FC=F{{C}^{2}}$
$\Rightarrow FM.FD=FA.FO\Rightarrow \frac{FM}{FO}=\frac{FA}{FD}$
Xét $\Delta FMA$và $\Delta FOD$ có:
$\widehat{MFA}=\widehat{OFD}$ và $\frac{FM}{FO}=\frac{FA}{FD}$
$\Rightarrow \Delta FMA\Delta \backsim FOD(cgc)\Rightarrow \widehat{FMA}=\widehat{FOD}$
Mà $\widehat{FMA}=\widehat{FON}$
$\Rightarrow \widehat{FON}=\widehat{FOD}$.
$\Delta \text{FON}$và $\Delta \text{FOD}$có: FO cạnh chung, $\widehat{FON}=\widehat{FOD}$, ON = OD
$\Rightarrow \Delta FON=\Delta FOD(cgc)$$\Rightarrow FN=FD$
Vì FN = FD và ON = OD $\Rightarrow $ FO là đường trung trực của ND $\Rightarrow $ FO$\bot $ND mà $FO\bot BC$$\Rightarrow $ ND//BC.
d) Xét $\Delta AOC$ vuông tại C ta có:
$O{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}$
$\Rightarrow A{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}=4{{R}^{2}}-{{R}^{2}}=3{{R}^{2}}$
$\Rightarrow AC=R\sqrt{3}$.
Xét $\Delta AOC$ vuông tại C ta có: $\sin \widehat{CAO}=\frac{OC}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{CAO}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{CAB}={{60}^{0}}$
$\Delta ABC$có AB = AC và $\widehat{CAB}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow $$\Delta ABC$ là tam giác đều.
$\Rightarrow $ đường cao $h=AB\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}$
${{S}_{BCA}}=\frac{1}{2}h.AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3R}{2}\cdot R\sqrt{3}=\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}(dvdt)$
Bài 5.
a) Điều kiện: $x\ge 0$. Với $x\ge 0$ ta có:
$2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}=x-1$
$\Leftrightarrow \left( 2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1} \right)\left( 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1} \right)=\left( x-1 \right)\left( 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1} \right)$
$\Leftrightarrow x-1=\left( x-1 \right)\left( 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1} \right)$
$\Leftrightarrow x-1-\left( x-1 \right)\left( 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 1-2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1} \right)=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
1 - 2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
2\sqrt x + \sqrt {3x + 1} = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)
\end{array} \right.$
Giải (*) $2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}=1\,$.
Với $x\ge 0$ ta có: \(\left. \begin{align} & 2\sqrt{x}\ge 0 \\ & \sqrt{3x+1}\ge 1\, \\ \end{align} \right\}\Rightarrow 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\ge 1\)
Dấu ‘=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy (*) có nghiệm x = 0.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm {0; 1}.
b) Đặt $t=a+b\Rightarrow {{t}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab$
Ta có: $1=a+b+3ab\le t+\frac{3}{4}{{t}^{2}}\Rightarrow 3{{t}^{2}}+4t-4\ge 0$
$\Rightarrow \left( t+2 \right)\left( 3t-2 \right)\ge 0\Rightarrow 3t-2\ge 0\Rightarrow t\ge \frac{2}{3}$.
Ta có: ${{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0$
$\Rightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
$\Rightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge \dfrac{4}{9}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \dfrac{2}{9}$
Dễ dàng chứng minh $\sqrt{A}+\sqrt{B}\le \sqrt{2\left( A+B \right)}$
$\Rightarrow \sqrt{1-{{a}^{2}}}+\sqrt{1-{{b}^{2}}}\le \sqrt{2\left( 2-{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}$.
$\Rightarrow \sqrt{1-{{a}^{2}}}+\sqrt{1-{{b}^{2}}}\le \sqrt{2\left( 2-\dfrac{2}{9} \right)}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}$ (1)
Tacó: $\dfrac{3ab}{a+b}=\dfrac{a+b+3ab}{a+b}-1=\dfrac{1}{a+b}-1\le \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $P=\sqrt{1-{{a}^{2}}}+\sqrt{1-{{b}^{2}}}+\dfrac{3ab}{a+b}\le \frac{4\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+\dfrac{1}{2}$ đạt được khi $a=b=\dfrac{1}{3}$.
