BẢNG ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
C |
D |
A |
B |
D |
C |
B |
D |
A |
B |
D |
C |
B |
A |
D |
D |
A |
C |
B |
D |
B |
D |
D |
C |
C |
|
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
|
B |
D |
B |
A |
C |
C |
C |
D |
A |
B |
B |
D |
D |
C |
C |
D |
A |
B |
D |
C |
D |
A |
A |
C |
A |
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn C.
Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $AC$. Khi đó $MP$, $NQ$, $MQ$, $PN$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAB$, $SAC$, $ABC$, $SBC$ nên ${MP\ \text{//}\ NQ\ \text{//}\ SA}$; $PN\;{\rm{//}}\;{\rm{MQ}}\;{\rm{//}}\;{\rm{BC}}$ và $MP=NQ=\frac{1}{2}SA=a$; $PN=MQ=\frac{1}{2}BC=a$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là góc $\widehat{PMQ}$ và tứ giác $MPNQ$ là hình thoi.
Xét hình thoi $MPNQ$: gọi $O$giao điểm của hai đường chéo; vì $MN=a\sqrt{3}$ nên $MO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; trong tam giác vuông $MOQ$ thì $OQ=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a}{2}$$\Rightarrow PQ=a$, khi đó tam giác $PMQ$ đều hay $\widehat{PMQ}=60{}^\circ $.
Câu 2:Chọn D.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1$ suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$.
Câu 3: Chọn A.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Đạo hàm: ${f}'\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}\left( 2x-2+{{x}^{2}}-2x+2 \right)={{\text{e}}^{x}}{{x}^{2}}$.
Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\text{e}}^{x}}{{x}^{2}}=0$ có nghiệm kép $x=0$ và ${f}'\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.
Vậy A sai và B đúng.
Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $ nên hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Vậy C đúng.
Ta có: $f\left( -1 \right)=\left[ {{\left( -1 \right)}^{2}}-2.\left( -1 \right)+2 \right]{{\text{e}}^{-1}}=\frac{5}{\text{e}}$. Vậy D đúng.
Câu 4: Chọn B.
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ $\left( -2\,;\,0 \right)$ nên ta có:
$\frac{-2a+2}{-2c+b}=0\Rightarrow a=1$. Vậy loại A
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1\Rightarrow \frac{a}{c}=1\Rightarrow c=a=1$. Vậy loại D
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2\Rightarrow -\frac{b}{c}=2\Rightarrow b=-2c=-2$.
Câu 5: Chọn D.
Câu 6: Chọn C.
Ta có ${y}'=-3{{x}^{2}}+4x$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};-x_{0}^{3}+2x_{0}^{2} \right)$ là tiếp điểm. Hệ số góc tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là: $k=-3x_{0}^{2}+4{{x}_{0}}$.
Vì tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ song song với đường thẳng $y=x$ nên ta có:
$ - 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{x_0} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$
Tại ${{x}_{0}}=1\Rightarrow M\left( 1;1 \right)$: Phương trình tiếp tuyến là: $y=x$ (loại).
Tại ${{x}_{0}}=\frac{1}{3}\Rightarrow M\left( \frac{1}{3};\frac{5}{27} \right)$: Phương trình tiếp tuyến là: $y=x-\frac{4}{27}$ (thỏa mãn).
Câu 7: Chọn B.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AD$.
Do $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $ABCD$ nên $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Cạnh $SB$ hợp với đáy một góc $60{}^\circ $, do đó: $\widehat{SBH}=60{}^\circ $.
Xét tam giác $AHB$ vuông tại $A$: $HB=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Xét tam giác $SBH$ vuông tại $H$:
$\tan \widehat{SBH}=\frac{SH}{BH}$$\Leftrightarrow SH=BH.\tan \widehat{SBH}$$\Leftrightarrow SH=\frac{a\sqrt{5}}{2}\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Diện tích đáy $ABCD$ là: ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Câu 8: Chọn D.
Để đồ thị $\left( C \right)$ có điểm cực trị $A\left( 1;3 \right)$ điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( 1 \right) = 0\\
y\left( 1 \right) = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{3.1^2} - 4.1 + a = 0\\
{1^3} - {2.1^2} + a.1 + b = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 3
\end{array} \right.$$\Rightarrow P=4a-b=1$.
Câu 9: Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm là $\frac{2x+3}{x+3}=2x-3\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-12=0\,\left( 1 \right)\left( x\ne -3 \right)$.
Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hoành độ của $A$ và $B$. Theo định lí Viet suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{1}{2}\\
{x_1}.{x_2} = - 6
\end{array} \right.$.
Ta có: ${{x}_{I}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{-1}{4}$. Suy ra ${{y}_{I}}=2{{x}_{I}}-3=-\frac{7}{2}$.
Vậy $I\left( -\frac{1}{4};-\frac{7}{2} \right)$.
Câu 10: Chọn B.
$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'}+\overrightarrow{O{D}'}=4\overrightarrow{O{O}'}$. Với ${O}'$ là tâm của mặt ${A}'{B}'{C}'{D}'$.
Suy ra $OS=\left| \overrightarrow{OS} \right|=\left| 4\overrightarrow{O{O}'} \right|=4O{O}'=4a$.
Câu 11: Chọn D.
Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu 12: Chọn C.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y=\frac{2x+1}{-x+1}$. Đạo hàm: ${y}'=\frac{3}{{{\left( -x+1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\in D$.
Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;\,1 \right)$ và $\left( 1;\,+\infty \right)$.
Câu 13: Chọn B.
${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{25}}\left( {{5}^{x+1}}-5 \right)=1$ $\left( 1 \right)$
TXĐ: $D=\left( \,0\,;+\infty \right)$.
Ta có ${{\log }_{25}}\left( {{5}^{x+1}}-5 \right)={{\log }_{{{5}^{2}}}}\left( {{5.5}^{x}}-5 \right)=\frac{1}{2}\left( {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)$ $\left( t>0 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $t.\frac{1}{2}\left( t+1 \right)=1$$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-2=0$.
Câu 14: Chọn A.
Theo bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$$\Rightarrow f\left( -3 \right)>f\left( -2 \right)$.
Câu 15: Chọn D.
Ta có: $3\cos x-1=0$ $\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x=\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi $, $k\in \mathbb{Z}$.
Trong khoảng $\left( 0;\,2\pi \right)$ phương trình $3\cos x-1=0$ có hai nghiệm là ${{x}_{1}}=-\arccos \frac{1}{3}$ và ${{x}_{2}}=\arccos \frac{1}{3}$.
Vậy tổng các nghiệm là $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{3}=0$.
Câu 16: Chọn D.
Ta có: ${{\log }_{a}}b=2\Rightarrow {{\log }_{b}}a=\frac{1}{2}$.
$T={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\sqrt[3]{ba}={{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\sqrt[3]{b}+{{\log }_{\frac{\sqrt{a}}{b}}}\sqrt[3]{a}$.
$=\frac{1}{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\frac{\sqrt{a}}{b}}+\frac{1}{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\frac{\sqrt{a}}{b}}$.
$=\frac{1}{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\sqrt{a}-{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}b}+\frac{1}{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\sqrt{a}-{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}b}$.
$=\frac{1}{\frac{3}{2}{{\log }_{b}}a-3}+\frac{1}{\frac{3}{2}-3{{\log }_{a}}b}$.
$=\frac{1}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}-3}+\frac{1}{\frac{3}{2}-3.2}=-\frac{2}{3}$.
Câu 17: Chọn A.
Gọi $h$ là chiều cao của lăng trụ, $S={{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}'}}$.
Ta có: ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=h.S$; $V={{V}_{M.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=\frac{1}{3}h.S=\frac{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}{3}=12\,\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$.
Câu 18: Chọn C.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $AB$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot CN\\
AB \bot DN
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot MN$; tương tự $CD\bot MN$. Suy ra $MN$ là đường trung trực và là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $ABCD$ thì $I$ thuộc $MN$.
Xét tam giác $ANC$ vuông tại $N$ có: $CN=\sqrt{A{{C}^{2}}-N{{A}^{2}}}=\sqrt{22{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=3\sqrt{2}a$.
Xét tam giác $CMN$ vuông tại $M$ có: $MN=\sqrt{C{{N}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{18{{a}^{2}}-9{{a}^{2}}}=3a$.
Lại có:
$\left\{ \begin{array}{l}
IM + IN = 3a\\
I{M^2} + M{C^2} = I{N^2} + N{A^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IM + IN = 3a\\
I{M^2} - I{N^2} = N{A^2} - M{C^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IM + IN = 3a\\
\left( {IM + IN} \right)\left( {IM - IN} \right) = - 5{a^2}
\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IM + IN = 3a\\
IM - IN = - \frac{5}{3}a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IM = \frac{2}{3}a\\
IN = \frac{7}{3}a
\end{array} \right.$ .
Vậy bán kính cần tìm là $R=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{9}{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{85}}{3}a$.
Câu 19: Chọn B.
Số hạng tổng quát của khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{\left( 2x \right)}^{k}}.{{\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{6-k}}$$=C_{6}^{k}{{2}^{k}}.{{\left( -1 \right)}^{6-k}}.{{x}^{3k-12}}$.
$3k-12=0$ $\Rightarrow k=4$.
Số hạng không chứa $x$ là ${{T}_{5}}=C_{6}^{4}{{.2}^{4}}.{{\left( -1 \right)}^{2}}=240$.
Câu 20: Chọn D.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
${y}'=-3{{x}^{2}}+6x$;$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$
${y}'>0\Leftrightarrow 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.
Câu 21: Chọn B.
* Hàm số xác định khi và chỉ khi $3{x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
x > \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.$
* Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty ;-\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\cup \left( \frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right)$.
Câu 22: Chọn D.
* Số cách cử $4$ bạn học sinh trong $30$ bạn là: $C_{30}^{4}=27405$.
* Số cách cử $4$ bạn học sinh trong $27$ bạn trong đó không có cán sự lớp là: $C_{27}^{4}=17550$.
* Vậy số cách cử $4$ bạn học sinh trong đó có ít nhất một cán sự lớp là: $27405-17550=9855$.
Câu 23: Chọn D.
Ta có: $n\left( \Omega \right)=C_{20}^{1}=20$.
Gọi $A$ là biến cố lấy được một tấm thẻ ghi số lẻ và chia hết cho $3$$\Rightarrow A=\left\{ 3;9;15 \right\}$.
Do đó $n\left( A \right)=3$$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{3}{20}=0,15$.
Câu 24: Chọn C.
Ta có ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}}}>{{3}^{2-x}}$$\Leftrightarrow {{3}^{-\sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}}}>{{3}^{2-x}}$$\Leftrightarrow -\sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}>2-x$$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x-10}<x-2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x - 10 \ge 0\\
x - 2 > 0\\
{x^2} - 3x - 10 < {x^2} - 4x + 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 5
\end{array} \right.\\
14 > x > 2
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 5\le x<14$.
Do đó $S=\left\{ 5;6;7;8;9;10;11;12;13 \right\}$ nên số phần tử của $S$ là $9$.
Câu 25: Chọn C.
Ta có: ${{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=14$$\Leftrightarrow $${{\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}^{2}}=16\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{3}^{-x}}=4$
$\Rightarrow \frac{6+3\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}{2-{{3}^{x+1}}-{{3}^{1-x}}}=\frac{6+3\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}{2-3.\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)}=\frac{6+3.4}{2-3.4}=-\frac{9}{5}$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 9\\
b = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 9\\
b = - 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
$\Rightarrow P=a.b=-45$.
Câu 26: Chọn B.
Ta có:
$\cos 3x+\sin 2x-\sin 4x=0$$\Leftrightarrow \cos 3x-2\cos 3x.\sin x=0\Leftrightarrow \cos 3x\left( 1-2\sin x \right)=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 3x = 0\\
1 - 2\sin x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 3x = 0\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$, $k\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.
Câu 27: Chọn D.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì $\left( {m + 1} \right)m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m > 0
\end{array} \right.$ Vậy $m\in \left( -\infty ;\,-1 \right)\cup \left( 0;\,+\infty \right)$.
Câu 28: Chọn B.
Theo giả thiết hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy suy ra $SA\bot \left( ABCD \right)$. Mặt khác đáy $ABCD$ là hình vuông nên hình chóp $S.ABCD$ chỉ có một mặt phẳng đối xứng là $\left( SAC \right)$.
Câu 29: Chọn A.
TXD: $D=\mathbb{R}$
$y=2\cos 3x+3\sin 3x-2$$=\sqrt{13}\left( \frac{2}{\sqrt{13}}\cos 3x+\frac{3}{\sqrt{13}}\sin 3x \right)-2$
$\Leftrightarrow y=\sqrt{13}\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)-2$
Để hàm số $y$ có giá trị nguyên $\Leftrightarrow \sqrt{13}\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$ nguyên
$\Leftrightarrow \sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)=\frac{n}{\sqrt{13}}$ ( với $n$ là một số nguyên)
Mà: $\sin \left( 3x+\arccos \frac{3}{\sqrt{13}} \right)\in \left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow -1\le \frac{n}{\sqrt{13}}\le 1\Leftrightarrow -\sqrt{13}\le n\le \sqrt{13}$
Mà: $n\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow n=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2\pm 3 \right\}$
$\Rightarrow $ $y$ có $7$ giá trị nguyên.
