BẢNG ĐÁP ÁN
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
C |
D |
A |
B |
D |
C |
B |
D |
A |
B |
D |
C |
B |
A |
D |
D |
A |
C |
B |
D |
B |
D |
D |
C |
C |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
B |
D |
B |
A |
C |
C |
C |
D |
A |
B |
B |
D |
D |
C |
C |
D |
A |
B |
D |
C |
D |
A |
A |
C |
A |
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn C.
Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $AC$. Khi đó $MP$, $NQ$, $MQ$, $PN$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAB$, $SAC$, $ABC$, $SBC$ nên ${MP text{//} NQ text{//} SA}$; $PN;{rm{//}};{rm{MQ}};{rm{//}};{rm{BC}}$ và $MP=NQ=frac{1}{2}SA=a$; $PN=MQ=frac{1}{2}BC=a$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là góc $widehat{PMQ}$ và tứ giác $MPNQ$ là hình thoi.
Xét hình thoi $MPNQ$: gọi $O$giao điểm của hai đường chéo; vì $MN=asqrt{3}$ nên $MO=frac{asqrt{3}}{2}$; trong tam giác vuông $MOQ$ thì $OQ=sqrt{{{a}^{2}}-frac{3{{a}^{2}}}{4}}=frac{a}{2}$$Rightarrow PQ=a$, khi đó tam giác $PMQ$ đều hay $widehat{PMQ}=60{}^circ $.
Câu 2:Chọn D.
Hàm số $y=fleft
Câu 3: Chọn A.
Tập xác định: $D=mathbb{R}$. Đạo hàm: ${f}’left
Phương trình ${f}’left
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $mathbb{R}$ và không có cực trị.
Vậy A sai và B đúng.
Ta có: $underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft
Ta có: $fleft
Câu 4: Chọn B.
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ $left
$frac{-2a+2}{-2c+b}=0Rightarrow a=1$. Vậy loại A
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1Rightarrow frac{a}{c}=1Rightarrow c=a=1$. Vậy loại D
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2Rightarrow -frac{b}{c}=2Rightarrow b=-2c=-2$.
Câu 5: Chọn D.
Câu 6: Chọn C.
Ta có ${y}’=-3{{x}^{2}}+4x$.
Gọi $Mleft
Vì tiếp tuyến của $left
$ – 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 1\
{x_0} = frac{1}{3}
end{array} right.$
Tại ${{x}_{0}}=1Rightarrow Mleft
Tại ${{x}_{0}}=frac{1}{3}Rightarrow Mleft
Câu 7: Chọn B.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AD$.
Do $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $ABCD$ nên $SHbot left
Cạnh $SB$ hợp với đáy một góc $60{}^circ $, do đó: $widehat{SBH}=60{}^circ $.
Xét tam giác $AHB$ vuông tại $A$: $HB=sqrt{A{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{left
Xét tam giác $SBH$ vuông tại $H$:
$tan widehat{SBH}=frac{SH}{BH}Leftrightarrow SH=BH.tan widehat{SBH}
Diện tích đáy $ABCD$ là: ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=frac{1}{3}{{a}^{2}}frac{asqrt{15}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{6}$.
Câu 8: Chọn D.
Để đồ thị $left
$left{ begin{array}{l}
y’left
yleft
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{3.1^2} – 4.1 + a = 0\
{1^3} – {2.1^2} + a.1 + b = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = 3
end{array} right.$$Rightarrow P=4a-b=1$.
Câu 9: Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm là $frac{2x+3}{x+3}=2x-3Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-12=0,left
Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hoành độ của $A$ và $B$. Theo định lí Viet suy ra: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = – frac{1}{2}\
{x_1}.{x_2} = – 6
end{array} right.$.
Ta có: ${{x}_{I}}=frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=frac{-1}{4}$. Suy ra ${{y}_{I}}=2{{x}_{I}}-3=-frac{7}{2}$.
Vậy $Ileft
Câu 10: Chọn B.
$overrightarrow{OS}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OD}+overrightarrow{O{A}’}+overrightarrow{O{B}’}+overrightarrow{O{C}’}+overrightarrow{O{D}’}=4overrightarrow{O{O}’}$. Với ${O}’$ là tâm của mặt ${A}'{B}'{C}'{D}’$.
Suy ra $OS=left| overrightarrow{OS} right|=left| 4overrightarrow{O{O}’} right|=4O{O}’=4a$.
Câu 11: Chọn D.
Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu 12: Chọn C.
Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$. Ta có $y=frac{2x+1}{-x+1}$. Đạo hàm: ${y}’=frac{3}{{{left
Vậy hàm số đồng biến trên $left
Câu 13: Chọn B.
${{log }_{5}}left
TXĐ: $D=left
Ta có ${{log }_{25}}left
Đặt $t={{log }_{5}}left
Phương trình $left
Câu 14: Chọn A.
Theo bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng $left
Câu 15: Chọn D.
Ta có: $3cos x-1=0$ $Leftrightarrow cos x=frac{1}{3}$$Leftrightarrow x=pm arccos frac{1}{3}+k2pi $, $kin mathbb{Z}$.
Trong khoảng $left
Vậy tổng các nghiệm là $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-arccos frac{1}{3}+arccos frac{1}{3}=0$.
Câu 16: Chọn D.
Ta có: ${{log }_{a}}b=2Rightarrow {{log }_{b}}a=frac{1}{2}$.
$T={{log }_{frac{sqrt{a}}{b}}}sqrt
$=frac{1}{{{log }_{sqrt
$=frac{1}{{{log }_{sqrt
$=frac{1}{frac{3}{2}{{log }_{b}}a-3}+frac{1}{frac{3}{2}-3{{log }_{a}}b}$.
$=frac{1}{frac{3}{2}.frac{1}{2}-3}+frac{1}{frac{3}{2}-3.2}=-frac{2}{3}$.
Câu 17: Chọn A.
Gọi $h$ là chiều cao của lăng trụ, $S={{S}_{{A}'{B}'{C}'{D}’}}$.
Ta có: ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=h.S$; $V={{V}_{M.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=frac{1}{3}h.S=frac{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}{3}=12,text{c}{{text{m}}^{text{3}}}$.
Câu 18: Chọn C.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $AB$.
Ta có: $left{ begin{array}{l}
AB bot CN\
AB bot DN
end{array} right. Rightarrow AB bot MN$; tương tự $CDbot MN$. Suy ra $MN$ là đường trung trực và là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $ABCD$ thì $I$ thuộc $MN$.
Xét tam giác $ANC$ vuông tại $N$ có: $CN=sqrt{A{{C}^{2}}-N{{A}^{2}}}=sqrt{22{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=3sqrt{2}a$.
Xét tam giác $CMN$ vuông tại $M$ có: $MN=sqrt{C{{N}^{2}}-C{{M}^{2}}}=sqrt{18{{a}^{2}}-9{{a}^{2}}}=3a$.
Lại có:
$left{ begin{array}{l}
IM + IN = 3a\
I{M^2} + M{C^2} = I{N^2} + N{A^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
IM + IN = 3a\
I{M^2} – I{N^2} = N{A^2} – M{C^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
IM + IN = 3a\
left
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
IM + IN = 3a\
IM – IN = – frac{5}{3}a
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
IM = frac{2}{3}a\
IN = frac{7}{3}a
end{array} right.$ .
Vậy bán kính cần tìm là $R=sqrt{I{{M}^{2}}+M{{C}^{2}}}=sqrt{frac{4}{9}{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=frac{sqrt{85}}{3}a$.
Câu 19: Chọn B.
Số hạng tổng quát của khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{left
$3k-12=0$ $Rightarrow k=4$.
Số hạng không chứa $x$ là ${{T}_{5}}=C_{6}^{4}{{.2}^{4}}.{{left
Câu 20: Chọn D.
TXĐ: $D=mathbb{R}$.
${y}’=-3{{x}^{2}}+6x$;$y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$
${y}’>0Leftrightarrow 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left
Câu 21: Chọn B.
* Hàm số xác định khi và chỉ khi $3{x^2} – 1 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x < – frac{1}{{sqrt 3 }}\
x > frac{1}{{sqrt 3 }}
end{array} right.$
* Vậy tập xác định của hàm số là $D=left
Câu 22: Chọn D.
* Số cách cử $4$ bạn học sinh trong $30$ bạn là: $C_{30}^{4}=27405$.
* Số cách cử $4$ bạn học sinh trong $27$ bạn trong đó không có cán sự lớp là: $C_{27}^{4}=17550$.
* Vậy số cách cử $4$ bạn học sinh trong đó có ít nhất một cán sự lớp là: $27405-17550=9855$.
Câu 23: Chọn D.
Ta có: $nleft
Gọi $A$ là biến cố lấy được một tấm thẻ ghi số lẻ và chia hết cho $3$$Rightarrow A=left{ 3;9;15 right}$.
Do đó $nleft
Câu 24: Chọn C.
Ta có ${{left
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2} – 3x – 10 ge 0\
x – 2 > 0\
{x^2} – 3x – 10 < {x^2} – 4x + 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x le – 2\
x ge 5
end{array} right.\
14 > x > 2
end{array} right.$$Leftrightarrow 5le x<14$.
Do đó $S=left{ 5;6;7;8;9;10;11;12;13 right}$ nên số phần tử của $S$ là $9$.
Câu 25: Chọn C.
Ta có: ${{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=14Leftrightarrow
$Rightarrow frac{6+3left
left{ begin{array}{l}
a = – 9\
b = 5
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
a = 9\
b = – 5
end{array} right.
end{array} right.$
$Rightarrow P=a.b=-45$.
Câu 26: Chọn B.
Ta có:
$cos 3x+sin 2x-sin 4x=0$$Leftrightarrow cos 3x-2cos 3x.sin x=0Leftrightarrow cos 3xleft
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 3x = 0\
1 – 2sin x = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos 3x = 0\
sin x = frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{6} + kfrac{pi }{3}\
x = frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{{5pi }}{6} + k2pi
end{array} right.$, $kin mathbb{Z}$ $Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+kfrac{pi }{3}$, $kin mathbb{Z}$.
Câu 27: Chọn D.
Để hàm số có ba điểm cực trị thì $left
m < – 1\
m > 0
end{array} right.$ Vậy $min left
Câu 28: Chọn B.
Theo giả thiết hai mặt phẳng $left
Câu 29: Chọn A.
TXD: $D=mathbb{R}$
$y=2cos 3x+3sin 3x-2$$=sqrt{13}left
$Leftrightarrow y=sqrt{13}sin left
Để hàm số $y$ có giá trị nguyên $Leftrightarrow sqrt{13}sin left
$Leftrightarrow sin left
Mà: $sin left
$Rightarrow -1le frac{n}{sqrt{13}}le 1Leftrightarrow -sqrt{13}le nle sqrt{13}$
Mà: $nin mathbb{Z}$
$Rightarrow n=left{ 0;pm 1;pm 2pm 3 right}$
$Rightarrow $ $y$ có $7$ giá trị nguyên.