Câu IV.1:
Ta có $\widehat{MAI}=\widehat{MEI}={{90}^{0}}$. Suy ra $\widehat{MAI}+\widehat{MEI}={{180}^{0}}$. Vậy AMEI nội tiếp.
Câu IV.2:
Ta có $\widehat{EAI}=\widehat{EBN}$(cùng phụ với $\widehat{EBA}$)
mà $\widehat{AEI}=\widehat{BEN}$(cùng phụ với $\widehat{IEB}$). Suy ra $\Delta IAE\sim \Delta NBE$.
$\Rightarrow \dfrac{IA}{IE}=\dfrac{NB}{NE}\Rightarrow IA.NE=IE.NB$ $\Rightarrow \dfrac{IB}{3}.NE=IE.NB$$\Rightarrow IB.NE=3IE.NB$(đpcm).
Câu IV.3:
Do tứ giác AMEI nội tiếp nên $\widehat{AMI}=\widehat{AEI}$ (1).
Tương tự ta có tứ giác $BNEI$ nên $\widehat{BIN}=\widehat{BEN}$ (2).
Theo trên ta có $\widehat{AEI}=\widehat{BEN}$ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{AMI}=\widehat{BIN}$ (4).
Do tam giác $AMI$ và $BIN$ vuông tại $A$ và $B$, suy ra $\Delta AMI\sim \Delta BIN$.
Suy ra: $\dfrac{AM}{BI}=\dfrac{AI}{BN}\Rightarrow AM.BN=AI.BI$ không đổi.
Từ (4) ta có: $\widehat{BIN}+\widehat{AIM}=\widehat{AMI}+\widehat{AIM}={{90}^{0}}$$\Rightarrow \widehat{MIN}={{90}^{0}}$ hay $\Delta MNI$ vuông tại $I$. Khi đó: ${{S}_{\Delta MNI}}=\dfrac{1}{2}IM.IN=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{I}^{2}}}.\sqrt{B{{N}^{2}}+B{{I}^{2}}}$
$\ge \dfrac{1}{2}\sqrt{2AM.AI}.\sqrt{2BN.BI}=\sqrt{AM.BN.AI.BI}=AI.BI=\dfrac{R}{2}.\dfrac{3R}{2}=\frac{3{{R}^{2}}}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $AM=AI,BN=BI$. Vậy ${{S}_{\Delta MNI}}$ đạt GTNN bằng $\dfrac{3{{R}^{2}}}{4}$
Câu V.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\left\{ \begin{align} & 1=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}>0 \\ & ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{{{\left( abc \right)}^{2}}}>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow ab+bc+ca\ge 9abc>0\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\ge \frac{9}{ab+bc+ca}\)
Khi đó: $\dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{abc}\ge \dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}=$$=\dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{9}{x+y+z}$ với mọi $x,y,z>0$ ta được $\dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{9}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)}$$=\dfrac{9}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}=9\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Lại có $1={{\left( a+b+c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right)\ge 3\left( ab+bc+ca \right)\ \,\,\,\,\left( 3 \right)$
Thay $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{1}{abc}\ge 9+7.3=30$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
------------ Hết ------------
