|
Câu 4 |
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. |
3,5đ |
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. |
|
|
|
|
Ta có : $\widehat{AHE}={{90}^{0}}$ |
0,25 |
|
|
$\widehat{AKB}={{90}^{0}}$ |
0,25 |
|
|
|
$\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{AKB}={{180}^{0}}$ (1) |
0,25 |
|
|
|
Hai góc $\widehat{AHE},\widehat{AKB}$ đối nhau (2) |
0,25 |
|
|
|
Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE. |
0,25 |
|
|
|
|
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. |
|
|
|
|
Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $\widehat{HAK}=\widehat{KEN}$ |
0,25 |
|
|
$\Delta CKE\backsim \Delta CHA$ vì $\widehat{C}$ chung và $\widehat{HAK}=\widehat{KEN}$ $\left( \widehat{AHC}=\widehat{EKC}={{90}^{0}} \right)$ |
0,25 |
|
|
|
nên $\dfrac{CK}{CH}\text{=}\dfrac{\text{CE}}{\text{CA}}\Leftrightarrow CK.CA=CH.C\text{E}$ |
0,25 |
|
|
|
|
c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác $NFK$cân. |
|
|
|
|
Do KB // FN nên $\widehat{EKN}=\widehat{KNF},\widehat{MKB}=\widehat{KFN}$ (3) |
0,25 |
|
|
mà $\widehat{MKB}=\widehat{EKN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4) |
0,25 |
|
|
|
(3), (4) $\Rightarrow \widehat{KNF}=\widehat{KFN}$ nên tam giác KFN cân tại K. |
0,25 |
|
|
|
|
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. |
|
|
|
|
Ta có $\widehat{AKB}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BKC}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta KEC$ vuông tại K. mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $\Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{0}}$ $\widehat{OAK}=\widehat{OKA}=\widehat{KEC}={{45}^{0}}\Rightarrow \widehat{AOK}={{90}^{0}}$ hay $\text{O}K\bot AB$ |
0,25 |
|
|
mà $MN\bot AB$ nên OK //MN |
0,25 |
|
----------------HẾT---------------
