|
4 |
|
0.5 |
|
1) Ta có: $\widehat{AEH}={{90}^{0}}$ |
0.25 |
|
|
và $\widehat{ADH}={{90}^{0}}$ |
0.25 |
|
|
$\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{ADH}={{180}^{0}}$nên tứ giác ADHE nội tiếp. |
0.25 |
|
|
2) Tam giác ADB vuông tại D, có $\widehat{A}={{45}^{0}}$ nên $\widehat{ABD}={{45}^{0}}$ |
0.25 |
|
|
Tam giác EBH vuông tại E, có $\widehat{EBH}={{45}^{0}}$ nên $\Delta EBH$vuông cân tại E. |
0.25 |
|
|
Suy ra: EB = EH |
0.25 |
|
|
3) Tứ giác BEDC có E, D cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên nội tiếp. Suy ra: $\widehat{EDB}=\widehat{ECB}$$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ (cùng phụ với góc vuông). |
0.25 |
|
|
Suy ra: $\Delta ADE\sim \Delta ABC$ |
0.25 |
|
|
nên $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$ |
0.25 |
|
|
Mà tam giác ABD vuông cân tại D nên: $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
0.25 |
|
|
4) Kẻ tiếp tuyến xAy tại A của đường tròn tâm I, ngoại tiếp $\Delta ABC$ Khi đó: $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$(góc giữa tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp của (I) cùng chắn cung AB) |
0.25 |
|
|
Mà $\widehat{AED}=\widehat{ACB}$(do $\Delta ADE\sim \Delta ABC$) nên $\widehat{xAB}=\widehat{AED}$ |
0.25 |
|
|
5 |
Suy ra: xAy//ED; mà $AI\bot xAy$ $n\text{ }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ }n:AI\bot ED$ |
0.25 |
|
|
Ta có: ${{\left( \dfrac{1}{a}+\frac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}-2\left( \dfrac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac} \right)=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}-2\left( \dfrac{a+b+c}{abc} \right)$ |
0.25
|
|
Với $a+b+c=0$thì ${{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}$ |
0.25
|
|
|
Do đó:\(\begin{align} & \sqrt{1+\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{4}^{2}}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{{{4}^{2}}}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}}}+...\sqrt{1+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}} \\ & =\left( 1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right)+\left( 1+\dfrac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\left( 1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5} \right)+...\left( 1+\frac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right) \\ & =n+1-\dfrac{1}{n+1} \\ \end{align}\) |
0.25
|
|
|
Theo BĐT Cauchy suy ra:$Q=n+1+\dfrac{100}{n+1}\ge 20$ ${{P}_{\min }}=20$, xảy ra khi và chỉ khi $n\text{ }=\text{ 9}$ |
0.25
|
