Câu 31.
+) Ta có ${y}’=4{{x}^{3}}-2x=2xleft
$y’ = 0 Leftrightarrow left
Ta có $yleft
Do vậy, $underset{left
Câu 32:
Diện tích xung quanh của hình nón là ${{S}_{xq}}=pi rl=4sqrt{3}pi {{a}^{2}}$.
Câu 33:
Đặt $t=2x$ $Rightarrow $ $dt=2dx$ $Rightarrow $ $dx=frac{dt}{2}$,
$begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 0\
x = 1 Rightarrow t = 2
end{array}$
Ta có $2=intlimits_{0}^{1}{f
Theo tính chất tích phân $intlimits_{0}^{2}{f
Vậy$intlimits_{0}^{2}{f
Cách 2: Trắc nghiệm
Chọn $f
Ta có $intlimits_{0}^{1}{f
Và, $intlimits_{0}^{2}{f
Câu 34:
Dạng toán lãi kép:
Bài toán tổng quát: gửi $a$ đồng vào ngân hàng với lãi suất $r%$
Gọi ${{A}_{n}}$ là số tiền có được sau $n$ năm.
Sau $1$ năm: ${{A}_{1}}=a+r%.,a=aleft
Sau $2$ năm: ${A_2} = aleft
Sau $3$ năm: ${A_3} = a{left
Sau $n$ năm: ${A_n} = a{left
Người đó nhận được số tiền hơn $100$ triệu. Suy ra:
$begin{array}{l}
50{left
Leftrightarrow 50.1,{06^n} > 100\
Leftrightarrow 1,{06^n} > 2\
Leftrightarrow n > {log _{1,06}}2 = 11,9
end{array}$
Vậy $n=12$.
Câu 35:
+) Quay tam giác $ABC$ quanh đường thẳng $AB$ thì đường gấp khúc $BAC$ quay quanh $AB$ tạo thành một hình nón đỉnh $B$, tâm $A$, đường sinh $BC=l=a$ và bán kính đáy$R=AC,text{ }$.
+) Xét tam giác vuông $ABC$ có:
$sin 30{}^circ =frac{AC}{BC}to AC=BC.sin 30{}^circ =frac{a}{2}$.
+) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: ${{S}_{xq}}=pi Rl=frac{pi {{a}^{2}}}{2}$.
Ghi nhớ: +) Công thức tính diện tích xung quanh hình nón: ${{S}_{xq}}=pi Rl$.
Câu 36:
Phương trình: ${{2.4}^{x}}-{{9.2}^{x}}+4=0$$
Đặt $t={{2}^{x}}$
$2{t^{^2}} – 9t + 4 = 0 Leftrightarrow
t = 4
t = frac{1}{2}
end{array} right.$
Với $t=4Rightarrow {{2}^{x}}=4Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{2}}Leftrightarrow x=2$
Với $t=frac{1}{2}Rightarrow {{2}^{x}}=frac{1}{2}Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{-1}}Leftrightarrow x=-1$
Phương trình có tập nghiệm là: $S=text{ }!!{!!text{ }2;-1}$. Vậy tổng tất cả các nghiệm của pt
Câu 37:
Gọi số phức $z=a+bi$, với $a,b$ thuộc $mathbb{R}$. Khi đó, $M
Ta có: $left| z+2 right|=left| z-i right|$$Leftrightarrow left| a+2+bi right|=left| a+
$Leftrightarrow {{
Vậy, tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn bài ra là đường thẳng $4x+2y+3=0$.
Câu 38 :
Cách 1: Phương trình ${{z}^{2}}+2z+10=0$ có hai nghiệm phức: ${{z}_{1}}=-1-3i$, ${{z}_{2}}=-1+3i$.
Khi đó: $left| {{z}_{1}}^{2} right|+left| {{z}_{2}}^{2} right|=left| {{left
Cách 2: Ta có ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp nên: .$left| {{z}_{1}}^{2} right|+left| {{z}_{2}}^{2} right|={{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}=left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} right|+left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} right|=10+10=20$
Câu 39:
Đặt
$t = {log _3}a = {log _6}b = {log _2}left
a = {3^t}\
b = {6^t}\
a + b = {2^t}
end{array} right. Rightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t} Leftrightarrow {left
{}&{left
end{array}$
Xét hàm số $fleft
Bình luận: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số$fleft
Có thể phát biểu thành lời nôm na như sau: Tổng hai hàm đồng biến
Câu hỏi: Tích hai hàm đồng biến trên tập $X$ có là một hàm đồng biến trên tập $X$ hay không?
Câu trả lời là KHÔNG.
Phản ví dụ: $g
Tính chất: Nếu là các hàm$g
Nếu $a>bge 0,c>dge 0$thì $ac>bd$.
Dựa vào tính chất này ta có thể dễ dàng chỉ ra một hàm số rất cồng kềnh là một hàm đồng biến. Ví dụ $f
Câu 40:
Ta có: $overrightarrow{AB}=left
Gọi $overrightarrow{n}$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Khi đó $left{ begin{array}{l}
overrightarrow n bot overrightarrow {AB} \
overrightarrow n bot {overrightarrow n _{left
end{array} right. Rightarrow overrightarrow n = left
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1left
Câu 41:
Ta có: Đặt: $y=g
${g}'
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x + 2 = 0\
f'
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
{x^2} + 2x = – 2
{x^2} + 2x = 1,,,\
{x^2} + 2x = 3
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = – 1 – sqrt 2 ,,,,,,\
x = – 1 + sqrt 2 ,,,,,,\
x = 1,,,\
x = – 3
end{array} right.$
+ Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số $y=fleft
Chú ý: Cách xét dấu ${g}'
Chọn giá trị $x=0in left
Câu 42:
Gọi $z=x+yi,,,left
Khi đó $left| {bar{z}} right|=left| z+2i right|Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=sqrt{{{x}^{2}}+{{left
Xét $P=left| z-i right|+left| z-4 right|=left| x+left
Đặt $Aleft
$A,,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $y=-1$, gọi $Cleft
Khi đó $P=MA+MB=MC+MBge BC=sqrt{{{left
Phương trình đường thẳng $BC:,3x-4y-12=0$, suy ra tọa độ điểm $Mleft
Vậy giá trị nhỏ nhất của $left| z-i right|+left| z-4 right|$ bằng $5$ đạt được khi $z=frac{8}{3}-i$.
Câu 43:
Đặt $t=sqrt{3text{x}+1}$ $Rightarrow {{t}^{2}}=3x+1$ $Rightarrow 2text{tdt}=text{3dx}$$Rightarrow text{dx}=frac{2}{3}text{tdt}$
Đổi cận: $x=1Rightarrow t=2$; $x=5Rightarrow t=4$
$intlimits_1^5 {frac{1}{{1 + sqrt {3{rm{x}} + 1} }}{rm{d}}} x = frac{2}{3}intlimits_2^4 {frac{{rm{t}}}{{1 + {rm{t}}}}{rm{d}}} {rm{t}} = frac{2}{3}intlimits_2^4 {
4\
2
end{array} = } right.frac{4}{3} – frac{2}{3}ln 5 + frac{2}{3}ln 3$
$Rightarrow a=frac{4}{3},b=frac{2}{3},c=-frac{2}{3}$ $Rightarrow a+b+c=frac{4}{3}$.
Câu 44.
Ta có:
$intlimits_{0}^{2}{frac{{{x}^{2}}+5x+2}{{{x}^{2}}+4x+3}text{d}x}$$=intlimits_{0}^{2}{left
Vậy $a=2,b=-3,c=2$, do đó $abc=-12$.
Câu 45: Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ âm.
-Xét hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1$.
Ta có $y’=3{{x}^{2}}-4x+1$; $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = frac{1}{3}
end{array} right.$
Dễ nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị dương nên loại đáp án A .
-Xét hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x-1$. Ta có $y’=3{{x}^{2}}-2x+1>0
-Xét hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1$. Ta có $y’=3{{x}^{2}}-2x$; $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = frac{1}{3}
end{array} right.$
Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ không âm nên đáp án C loại
Bằng phương pháp loại trừ ta chọn đáp án D
Câu 46 :
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn: $2overrightarrow{IA}+overrightarrow{IC}-overrightarrow{IB}=vec{0}Leftrightarrow 2
$Leftrightarrow overrightarrow{OI}=frac{2overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}-overrightarrow{OB}}{2}Rightarrow Ileft
Ta có $2M{{A}^{2}}=2{{overrightarrow{MA}}^{2}}=2{{left
$M{{B}^{2}}={{overrightarrow{MB}}^{2}}={{left
$M{{C}^{2}}={{overrightarrow{MC}}^{2}}={{left
Suy ra $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{C}^{2}}-I{{B}^{2}}+2overrightarrow{MI}left
Suy ra $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{C}^{2}}-I{{B}^{2}}$. Do I cố định nên $2I{{A}^{2}}+I{{C}^{2}}-I{{B}^{2}}$ không đổi. Vậy $2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ nhỏ nhất $Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất$Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất $Leftrightarrow M$ là hình chiếu của I trên
· Đường thẳng $Delta $ qua $Ileft
x = 1 + 3t\
y = 2 – 3t\
z = – 2 + 2t
end{array} right.$
Suy ra tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $left{ begin{array}{l}
x = 1 + 3t\
y = 2 – 3t\
z = – 2 + 2t\
3x – 3y + 2z – 15 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 4\
y = – 1\
z = 0\
t = 1
end{array} right. Rightarrow Mleft
Suy ra $a+b+c=3$
Câu 47: Xét hàm: $y={{x}^{3}}-left
TXĐ: $D=mathbb{R}$
${y}’=3{{x}^{2}}-2left
Nhận xét :
– Mỗi giao điểm của đồ thị hàm số $y=f
– Nếu hàm số $y=f
– Nếu hàm số $y=f
Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow {y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{ctext{d}}}.{{y}_{ct}}<0$
$Leftrightarrow {{x}^{3}}-left
$ Leftrightarrow left
x = m\
left{ begin{array}{l}
1 – m > 0\
{m^2} + 3m ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 1\
m ne {rm{{ }}0; – 3{rm{} }}
end{array} right.
end{array} right.$
Theo đề ra ta có: $min Z,$ $|m|<5Leftrightarrow -5<m<5$
Kết hợp điều kiện trên ta được: $left{ begin{array}{l}
m in Z\
– 5 < m < 1\
m ne 0;m ne – 3
end{array} right. Rightarrow m in {rm{{ }} – 4; – 2; – 1} $
Câu 48:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $
Ta có $d:left{ begin{array}{l}
x = – 1 – 2t\
y = t\
z = 1 + t
end{array} right.$. Vì $Hin d$ nên $Hleft
$overrightarrow{AH}left
$overrightarrow{AH}bot overrightarrow{{{u}_{d}}}Leftrightarrow overrightarrow{AH}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow -2
Do đó $Hleft
Vì $AKle AH$
Ta có $overrightarrow{AK}=overrightarrow{AH}=
Câu 49:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ nên $A’Hbot left
Suy ra góc giữa $A’C$ và $left
Xét $Delta ABC$ đều cạnh $a$ có $CH$ là đường cao nên $CH=frac{asqrt{3}}{2}$; ${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$.
Xét $Delta A’HC$ vuông tại $H$có $A’H=tan {{60}^{0}}.CH=sqrt{3}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{3a}{2}$.
Thể tích lăng trụ: ${{V}_{ABC.A’B’C’}}=A’H.{{S}_{Delta ABC}}=frac{3a}{2}.frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}=frac{3sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Câu 50:
$f
Suy ra, $frac{f
Ta có $int{left
Do đó, $frac{f
Vì $f