BẢNG ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
B |
B |
C |
D |
B |
B |
D |
C |
A |
B |
A |
B |
B |
A |
D |
D |
C |
D |
B |
C |
A |
A |
A |
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
|
D |
C |
A |
A |
B |
B |
A |
D |
B |
D |
A |
C |
D |
A |
C |
C |
D |
B |
D |
D |
A |
C |
B |
C |
C |
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn B.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
Ta có ${y}'=\frac{3}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}>0$ nên hàm số $y=\frac{x+1}{2-x}$ đồng biến trên $\left( -\infty ;2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.
Câu 2. Chọn B.
Ta có $z=\left( 1+2i \right)i=-2+i$. Vậy phần thực của số phức $z$ bằng $-2$ và phần ảo của số phức $z$ bằng $1$.
Câu 3. Chọn C.
Trong các khoảng $\left( -1;\,0 \right)$và $\left( 1;\,+\infty \right)$h. Hàm số đồng biến vì đồ thị đi lên theo chiều từ trái sang phải.
Câu 4. Chọn D.
Áp dụng công thức nguyên hàm ta có $\int{\left( {{x}^{2}}-3x+\frac{1}{x} \right)\text{d}x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$.
Câu 5. Chọn B.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=-1.$
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Câu 6. Chọn B.
Điều kiện:$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - x - 6 > 0\\
x + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.$
Phương trình đã cho tương đương với
$\log \left( x+2 \right)(x-3)+x=\log \left( x+2 \right)+4$$\Leftrightarrow \log (x-3)=4-x\left( * \right).$
Vế trái của phương trình cuối là hàm tăng, còn vế phải là hàm giảm nên nghiệm của phương trình(nếu có) là duy nhất.
Bằng cách nhẩm nghiệm ta chọn kết quả $x=4.$
Câu 7. Chọn D.
Xét hình tứ diện, có $4$ mặt và $4$ đỉnh nên nó có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
Câu 8. Chọn C.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có đạo hàm không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên nó không có cực trị.
Câu 9. Chọn A.
Ta có: ${\Delta }'=1-3=-2=2{{i}^{2}}$ nên phương trình ${{z}^{2}}+2z+3=0$ có hai nghiệm phức là $z=-1\pm \sqrt{2}i.$
Do nghiệm cần tìm có phần ảo âm nên ${{z}_{1}}=-1-\sqrt{2}i$. Vậy $M\left( -1\,;\,-\sqrt{2} \right)$.
Câu 10. Chọn B.
Ta có: $\int{\left( {{\tan }^{2}}x+2 \right)\text{d}x}=\int{\left( 1+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \right)\text{d}x}=x+\tan x+C$.
Và: $\int{\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}=2\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}=2\tan x+C$.
Và: $\int{\left( {{\tan }^{2}}x+1 \right)\text{d}x}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x=}\tan x+C$.
Câu 11. Chọn A.
Ta có ${{3}^{x}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên ${{3}^{x}}=m+1$ có nghiệm $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$.
Từ đó ta loại được đáp án B và D.
Xét đáp án A, phương trình có nghiệm dương thì ${{3}^{x}}>{{3}^{0}}=1$ nên $m+1>1\Leftrightarrow m>0$.
Từ đó đáp án A đúng.
Xét đáp án C, ta thấy sai vì ở đây thiếu điều kiện $m>-1$.
Câu 12. Chọn B.
Điểm biểu diễn của các số phức $z=7+bi$ với $b\in \mathbb{R}$ là $M\left( 7;\text{ }b \right)$.
Rõ ràng điểm $M\left( 7;\text{ }b \right)$ thuộc đường thẳng $x=7$.
Câu 13. Chọn B.
Hàm số: $y={{x}^{a}}$ có số mũ nguyên âm xác định khi $x\ne 0$ .
Hàm số $y={{\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}^{-4}}$ xác định khi $4{{x}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm \frac{1}{2}$.
Vậy tập xác định là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right\}$.
Câu 14. Chọn A.
$\left\{ \begin{array}{l}
{y^{5{x^2} - 51x + 10}} = 1\,\,\left( 1 \right)\\
xy = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$. Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow $$y=1$ hoặc $5{{x}^{2}}-51x+10=0$$\Rightarrow y=1$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = \frac{1}{5}
\end{array} \right.$.
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $x=\frac{1}{5}$ loại.
TH1: $y=1\Rightarrow x=15$ $\Rightarrow x+y=16$.
TH2: $x=10\Rightarrow y=\frac{3}{2}$ loại vì $x,y\in \mathbb{Z}$.
Câu 15. Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( H \right)$ và trục hoành $\frac{x-1}{x+2}=0\Leftrightarrow x=1$.
Giao điểm của $\left( H \right)$ và trục hoành là $M\left( 1;0 \right)$.
Ta có ${y}'=\frac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\forall x\ne -2$.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại $M\left( 1;0 \right)$ là $y={y}'\left( 1 \right).\left( x-1 \right)=\frac{1}{3}\left( x-1 \right)$.
Câu 16. Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( H \right)$ và trục hoành $- {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là
$V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -{{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}\text{d}x=}\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\pi \left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{4}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{16\pi }{15}$.
Câu 17. Chọn C.
${{d}_{1}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;\,1;\,1 \right)$, ${{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;\,2;\,3 \right)$.
Vì $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ nên véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của thỏa $\left( P \right)$$\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}$.
Chọn $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 5;\,-4;\,1 \right)$
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ cần tìm đi qua $M\left( 3;\,1;\,5 \right)\in {{d}_{2}}$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 5;\,-4;\,1 \right)$, phương trình là $5\left( x-3 \right)-4\left( y-1 \right)+1\left( z-5 \right)=0$$\Leftrightarrow 5x-4y+z-16=0$.
Câu 18. Chọn D.
Đặt ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=t$, $\left( t>0 \right)$ phương trình trở thành $t+\frac{1}{t}=m$.
Vì $t>0$ nên ta có $m=t+\frac{1}{t}\overset{\operatorname{Cos}i}{\mathop{\ge }}\,2$ nên $m\ge 2$ thì phương trình có nghiệm.
Câu 19 . Chọn B.
Ta có: ${{3}^{x}}-{{3}^{1-x}}=2$$\Leftrightarrow {{3}^{x}}-\frac{3}{{{3}^{x}}}=2$$\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{2.3}^{x}}-3=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{3^x} = - 1\,\,\left( {vn} \right)\\
{3^x} = 3
\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=1$.
Vậy phương trình có một nghiệm.
Câu 20. Chọn C.
Điều kiện: $0<x\ne 1$, ta có:
${{\log }_{x}}\left( 125x \right)\log _{25}^{2}x=1$$\Leftrightarrow \log _{25}^{2}x+\log _{25}^{2}x.{{\log }_{x}}125=1$$\Leftrightarrow \log _{25}^{2}x+\frac{3}{2}{{\log }_{25}}x- 1=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _{25}}x = \frac{1}{2}\\
{\log _{25}}x = - 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = \frac{1}{{{{25}^2}}}
\end{array} \right.$.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là: $\frac{1}{125}$.
Câu 21. Chọn A.
Đặt $t={{3}^{x}},\left( t>0 \right)$. Ta được phương trình ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\left( n \right)\\
t = 1\left( n \right)
\end{array} \right.$ .
Suy ra $\left[ \begin{array}{l}
{3^x} = 2\\
{3^x} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {\log _3}2\\
x = 0
\end{array} \right.$. Với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ nên ${{x}_{1}}=0$ và ${{x}_{2}}={{\log }_{3}}2$.
Suy ra $2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=3{{\log }_{3}}2$.
Câu 22. Chọn A.
Đặt $w=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$
Ta có $w=\overline{z}+i\Leftrightarrow x+yi=\overline{z}+i$$\Leftrightarrow \overline{z}=x+\left( y-1 \right)i$$\Leftrightarrow z=x+\left( 1-y \right)i$.
Mặt khác ta có $\left| z \right|=3$ suy ra ${{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}=9$ hay ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9$.
Vây tập hợp số phức $w=\overline{z}+i$ là đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$.
Câu 23. Chọn A.
Xét hai hàm số: $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=2m+1\left( d \right)$
$f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$
$f'\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
${{x}^{3}}-3x=2m+1\left( 1 \right)$là phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$.
Số giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$chính là số nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
$\Rightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $$\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ có ba giao điểm.
Dựa vào đồ thị của $\left( C \right)$ ta có: $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ có ba giao điểm
$\Leftrightarrow $$-2<2m+1<2$$\Leftrightarrow $$-3<2m<1$$\Leftrightarrow $$-\frac{3}{2}<m<\frac{1}{2}$
Câu 24. Chọn C.
$\overline{z}=\frac{{{\left( 1+\sqrt{3}i \right)}^{3}}}{1-i}$$\Leftrightarrow \overline{z}=-4-4i$$\Rightarrow $$z=-4+4i$
$iz=i\left( -4-4i \right)=-4-4i$
$\overline{z}+iz=-4-4i+\left( -4-4i \right)=-8-8i$
$\left| \overline{z}+iz \right|=\sqrt{{{\left( -8 \right)}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}}=8\sqrt{2}$
Câu 25. Chọn B.
Ta có $J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}=4\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}-3\int\limits_{0}^{2}{\text{d}x}=4.3-\left. 3x \right|_{0}^{2}=6$.
Câu 26. Chọn D.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\
SH \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$
Khi đó ${{V}_{SACD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ACD}}$.
với ${{S}_{ACD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB\left( AD+BC \right)-\frac{1}{2}AB.BC={{a}^{2}}$; $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\frac{32\pi }{15}$.
Câu 27. Chọn C.
Đường thẳng $MN$ đi qua $N\left( 0;\ 1;\ 3 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left( -1;\ 3;\ 2 \right)$ có phương trình là $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$.
Câu 28. Chọn A.
Điều kiện: $0<x\ne 1$.
${{\log }_{x}}2+{{\log }_{2}}x=\frac{5}{2}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + {\log _2}x - \frac{5}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x = 2\\
{\log _2}x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = \sqrt 2
\end{array} \right.$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
Câu 29. Chọn A.
Ta có $\left( 1+i \right)\left( z-i \right)+2z=2i\Leftrightarrow \left( 3+i \right)z=-1+3i\Leftrightarrow z=i$.
Suy ra $w=\frac{\overline{z}-2z+1}{{{z}^{2}}}=\frac{-i-2i+1}{{{i}^{2}}}=-1+3i$.
Vậy $\left| w \right|=\sqrt{10}$
