|
Bài 4 (4,0đ)
|
Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ và dây cung $AB$ không đi qua $O$. Từ điểm $M$nằm trên tia đối của tia $BA$($M$ không trùng với $B$), kẻ hai tiếp tuyến $MC,\text{ }MD$ với đường tròn $\left( O;R \right)$($C,\text{ }D$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$.
|
1,5 |
|
|
|
|
|
Vì H là trung điểm của AB nên $OH\bot AB\Rightarrow \widehat{OHM}={{90}^{0}}$(5) |
0,75 |
|
|
Lại có $OD\bot MD$(tính chất tiếp tuyến )$\widehat{ODM}={{90}^{0}}$(6) Từ (5) và (6), suy ra 4 điểm M, D, H, O cùng thuộc đường tròn đường kính MO. |
0,75 |
|
|
b) Đoạn thẳng $OM$cắt đường tròn $\left( O;R \right)$ tại điểm $I$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MCD$. |
1,5 |
|
|
Vì \(\left\{ \begin{align} & MC=MD \\ & OC=OD \\ \end{align} \right.\Rightarrow OM\) là đường phân giác của \(\widehat{CMD}\)và \(\widehat{COD}\). |
0,5 |
|
|
Do OM cắt $\left( O;R \right)$ tại I nên I là trung điểm cung nhỏ $\overset\frown{CD}$(7) |
0,5 |
|
|
Lại có $\widehat{ICD}=\dfrac{1}{2}$sđ$\overset\frown{DI}$; $\widehat{MCI}=\dfrac{1}{2}$sđ$\overset\frown{CI}$ (8) Từ(7) và (8) suy ra IC là đường phân giác của $\widehat{MCD}$ |
0,25 |
|
|
Tam giác MCD có I là giao điểm của hai đường phân giác trong nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. |
0,25 |
|
|
c) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OM$cắt các tia $MC,\text{ }MD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Xác định hình dạng của tứ giác $MCOD$ để diện tích tam giác $MEF$ nhỏ nhất khi $M$di động trên tia đối của tia $BA$. |
1,0 |
|
|
Vì CD // EF ( cùng vuông góc với OM) nên tam giác MCD đồng dạng với tam giác MEF. Mà $\Delta MCD$ cân tại M $\Rightarrow \Delta MEF$ cân tại M. |
0,25 |
|
|
${{S}_{\Delta MEF}}=2{{S}_{\Delta OMF}}=OD.MF$ Mà $OD=R$ (không đổi) nên ${{S}_{\Delta MEF}}$ nhỏ nhất khi MF nhỏ nhất. |
0,25 |
|
|
Ta có $MF=MD+DF\ge 2\sqrt{MD.DF}=2OD=2R$, Dấu đẳng thức xảy ra khi $MD=DF$$\Rightarrow \Delta MOF$ vuông cân tại O$\Rightarrow OM=OD\sqrt{2}=R\sqrt{2}$ Khi đó ${{S}_{\Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2{{R}^{2}}$ |
0,25 |
|
|
Khi đó tứ giác $MCOD$là hình vuông cạnh bằng$R$. |
0,25 |
