|
Bài |
Đáp án |
Điểm |
|
Bài 1 (2,0đ) |
a) Giải phương trình $\dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{{x + 3}}{{2 - x}} + 5 = 0$. |
1,0 |
|
Điều kiện: $x\ne \pm 2$ |
0,25 |
|
|
Phương trình đã cho trở thành $2x-1-\left( x+3 \right)\left( x+2 \right)+5\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0$ |
0,25 |
|
|
\(\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-3x-27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3 \\ & x=-\dfrac{9}{4} \\ \end{align} \right.\) |
0,25 |
|
|
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là $x=-\dfrac{9}{4},x=3$. |
0,25 |
|
|
b) Hai người cùng xây một bức tường, sau khi làm được 4 giờ người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục xây thêm 8 giờ nữa thì hoàn thành bức tường. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ một người xây thì sau bao lâu bức tường được hoàn thành, biết rằng người thứ nhất xây bức tường đó nhanh hơn người thứ hai 6 giờ ? |
1,0 |
|
|
Gọi $x$ (giờ) là thời gian người thứ nhất xây xong bức tường. Gọi $y$ (giờ) là thời gian người thứ hai xây xong bức tường. ($x>0,y>0$) |
0,25 |
|
|
Trong 1 giờ người thứ nhất hoàn thành $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai hoàn thành $\frac{1}{y}$ công việc. |
0,25 |
|
|
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l} |
0,25 |
|
|
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} Vậy nếu chỉ một người xây thì người thứ nhất hoàn thành sau 12 giờ, người thứ hai hoàn thành sau 18 giờ. |
0,25 |
|
|
Bài 2 (2,0đ) |
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng (d) có phương trình$y=2(m-1)x+m+1$ (với $m$ là tham số). a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. |
1,0 |
|
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$: ${{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-m-1=0$ (1) Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$. |
0,25 |
|
|
Ta có $\Delta '={{(m-1)}^{2}}-(-m-1)={{m}^{2}}-m+2$. |
0,25 |
|
|
Ta có ${{m}^{2}}-m+2={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$ với mọi giá trị của $m$. |
0,25 |
|
|
Suy ra $\Delta '>0$ với mọi giá trị của $m$. phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ hay $\left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt. |
0,25 |
|
|
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0$. |
1,0 |
|
|
Theo câu a), ta có ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet:\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right)=2m-2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{align} \right.\) |
0,25 |
|
|
Kết hợp giả thiết ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2\,\,(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1\,\,\,\,\,\,(3) \\ & {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-8=0\,\,\,\,(4) \\ \end{align} \right.\) |
0,25 |
|
|
Từ (2) và (4), tính được \({{x}_{1}}=3m-7;\,\,{{x}_{2}}=-m+5\) |
0,25 |
|
|
Thay vào (3), tính được \((5-m)(3m-7)=-m-1\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-23m+34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=\frac{17}{3} \\ \end{align} \right.\) Vậy $m=2;\,\,m=\frac{17}{3}$ thỏa mãn đề bài. |
0,25 |
|
|
Bài 3 (2,0đ) |
a) Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2017} + \sqrt {2018} }}$ |
1,0 |
|
Tacó: $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1;\,\,\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2};...;\,\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-\sqrt{2017}$. |
0,5 |
|
|
Vậy $A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2017}-\sqrt{2016}+\sqrt{2018}-\sqrt{2017}=\sqrt{2018}-1$. |
0,5 |
|
|
b) Chứng minh rằng $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)$. |
1,0 |
|
|
Đặt $B=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2017}}$. Ta có $B=2\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{2017}} \right)$. |
0,25 |
|
|
Nhận xét: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}>\dfrac{1}{1+\sqrt{2}};\,\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}>\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}};...;\dfrac{1}{2\sqrt{2017}}>\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}$. |
0,25 |
|
|
Suy ra $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{2017}}>\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=A$ |
0,25 |
|
|
Vậy $B>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)$. |
0,25 |
