Câu 30: Đáp án A.
Phương pháp:
Thiết diện là tam giác cân.
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt hẳng đáy của hình nón.
Thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân cạnh góc vuông bằng $2aRightarrow 2r=2asqrt{2}Leftrightarrow r=asqrt{2}Rightarrow AH=r=asqrt{2}$.
Gọi K là trung điểm của DE ta có $AKbot DE;HKbot DERightarrow AKH={{60}^{0}}$.
Xét tam giác vuông AHK có: $AK=frac{AH}{sin {{60}^{0}}}=frac{asqrt{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{2sqrt{2}a}{sqrt{3}};HK=frac{AH}{tan {{60}^{0}}}=frac{asqrt{2}}{sqrt{3}}$
Xét tam giác vuông DHK có $DK=sqrt{D{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=frac{2a}{sqrt{3}}Rightarrow DE=frac{4a}{sqrt{3}}.$
Vậy ${{S}_{Delta ADE}}=frac{1}{2}AK.DE=frac{1}{2}.frac{2sqrt{2}a}{sqrt{3}}.frac{4a}{sqrt{3}}=frac{4sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
Câu 31: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Dựng đường thẳng d song song với $AC’$ $Rightarrow left
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác.
Cách giải:
Gọi D’ là đỉnh thứ tư của hình thoi A’B’D’C’ ta có
$left{ begin{array}{l}
C’D’//A’B’//AB\
C’D’ = A’B’ = AB
end{array} right. Rightarrow ABD’C’$ là hình bình hành
$ Rightarrow AC’//BD’ Rightarrow left
A’BD’ = {60^0}\
A’BD’ = {120^0}
end{array} right.$.
Gọi O là tâm hình thoi $A’B’C’D’Rightarrow A’O=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow A’D’=asqrt{3};,,A’B=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=BD’.$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác A’BD’ có: $cos A’BD’=frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2left
TH1: $A’BD’={{60}^{0}}Leftrightarrow frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}Leftrightarrow {{b}^{2}}=2{{a}^{2}}Rightarrow b=asqrt{2}$
TH2: $A’BD’={{120}^{0}}Leftrightarrow frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=frac{-1}{2}Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=-2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}Leftrightarrow b=0left
Câu 32: Đáp án D.
Phương pháp :
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt $V=frac{pi }{3}hleft
Cách giải:
Kẻ $AHbot CDleft
$Rightarrow AH=sqrt{A{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=2sqrt{2}a$.
Khi quay hình thang cân ABCD quanh trục đối xứng của nó ta được hình chóp cụt có hai bán kính đáy $r=a,R=2a$ và chiều cao $h=AH=2sqrt{2}a$.
$V=frac{pi }{3}hleft
Câu 33: Đáp án C.
Phương pháp :
+) Gọi $Mleft
+) Tính $dleft
Cách giải :
Gọi $Mleft
Ta có $dleft
$begin{array}{l}
Rightarrow left| m right| = 2left| {frac{{m + 2}}{{m – 1}}} right|\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = frac{{2left
– m = frac{{2left
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{m^2} – 3m – 4 = 0\
{m^2} + m + 4 = 0left
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 4left
m = – 1left
end{array} right.
end{array}$
Câu 34: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp $left
Cách giải :
$begin{array}{l}
y = sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } \
y’ = frac{{left
Rightarrow P = 2sqrt {{x^2} + 1} .y’ = frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{{sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } }} = sqrt {x + sqrt {{x^2} + 1} } = y
end{array}$
Câu 35: Đáp án D.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ và đường thẳng $y={{log }_{2}}m$.
Lập BBT của đồ thị hàm số $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$và kết luận.
Cách giải :
ĐK: $m>0$.
Số nghiệm của phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$và đường thẳng $y={{log }_{2}}m$.
Xét hàm số $fleft
$y’ = 4{x^3} – 10x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow y = 4\
x = pm frac{{sqrt {10} }}{2} Rightarrow y = – frac{9}{4}
end{array} right.$
BBT:
Từ đó ta suy ra được BBT của đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ như sau:
Do đó để phương trình $left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|={{log }_{2}}m$ có 8 nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y={{log }_{2}}m$cắt đồ thị hàm số $y=left| {{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4 right|$ tại 8 điểm phân biệt.
$Leftrightarrow 0<{{log }_{2}}m<frac{9}{4}Leftrightarrow 1<m<sqrt
Câu 36: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Gọi $A=dcap {{d}_{1}}Rightarrow Aleft
+) $left{ begin{array}{l}
d bot {d_1}\
d bot {d_2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{overrightarrow u _{{d_1}}}.overrightarrow {AB} = 0\
{overrightarrow u _{{d_2}}}.overrightarrow {AB} = 0
end{array} right.$
Cách giải:
Ta có ${{overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=left
Gọi d là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.
Gọi $A=dcap {{d}_{1}}Rightarrow Aleft
$Rightarrow overrightarrow{AB}=left
Ta có $left{ begin{array}{l}
d bot {d_1}\
d bot {d_2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
2t’ – t – 1 + t’ – t – 5 + 4t’ – t – 7 = 0\
4t’ – 2t – 2 + t’ – t – 5 + 16t’ – 4t – 28 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
7t’ – 3t = 13\
21t’ – 7 = 35
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t’ = 1\
t = – 2
end{array} right.$
$Rightarrow Aleft
Vậy phương trình đường thẳng d là: $frac{x-1}{3}=frac{y-1}{2}=frac{z-2}{-1}$.
Câu 37: Đáp án B.
Phương pháp:
+) Gọi $N=Delta cap dRightarrow Nleft
+) $Delta //left
+) Đưa về bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
Cách giải:
Gọi $N=Delta cap dRightarrow Nleft
$Rightarrow overrightarrow{MN}=left
Ta có $Delta //left
$Rightarrow overrightarrow{MN}=left
Do đó phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta :frac{x-1}{2}=frac{y-1}{5}=frac{z+2}{-3}$.
Câu 38: Đáp án B.
Phương pháp:
Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.
Cách giải
$left
$left
$left
Trong $left
Trong $left
Vậy thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $left
Câu 39: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton.
Cách giải :
${{left
Tìm hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ ta cho $2k + l = 3n – 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
k = n;l = n – 3\
k = n – 1;l = n – 1
end{array} right.$.
$begin{array}{l}
Rightarrow {a_{3n – 3}} = C_n^n.C_n^{n – 3}{.2^3} + C_n^{n – 1}.C_n^{n – 1}{2^1} = frac{{8n!}}{{3!left
Leftrightarrow frac{4}{3}left
end{array}$
Câu 40: Đáp án D.
Phương pháp :
Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: $frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}.frac{SM}{SB}.frac{SN}{SC}$
Cách giải:
Qua G kẻ $MN//BCleft
Gọi D là trung điểm của CD. Ta có $frac{SG}{SD}=frac{2}{3}$.
Theo định lí Ta-let ta có: $frac{SM}{SB}=frac{SN}{SC}=frac{SG}{SD}=frac{2}{3}$
$Rightarrow frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}.frac{SM}{SB}.frac{SN}{SC}=frac{4}{9}$
Ta có $Delta ABC$ vuông cân tại B $Rightarrow BA=BC=frac{AC}{sqrt{2}}=a$
$Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.SA.frac{1}{2}BA.BC=frac{{{a}^{3}}}{6}$
Vậy ${{V}_{S.AMN}}=frac{4}{9}.frac{{{a}^{3}}}{6}=frac{2{{a}^{3}}}{27}$
Câu 41: Đáp án C.
Phương pháp:
+) Nếu z là một nghiệm phức của phương trình bậc hai thì $overline{z}$ cũng là nghiệm của phương trình bậc hai đó.
+) Tìm hai nghiệm phức của phương trình bậc hai đã cho.
+) Xác định các điểm biểu diễn A, B.
+) $Delta OAB$ vuông tại $ORightarrow overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=0$.
Cách giải :
Ta có $Delta ‘={{b}^{2}}-c<0Leftrightarrow {{b}^{2}}<c$
Gọi $z=x+yi$ là 1 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2bz+c=0Rightarrow overline{z}=x-yi$ cũng là một nghiệm của phương trình.
Ta có
$begin{array}{l}
z + overline z = 2x = – 2b Leftrightarrow x = – b\
z.overline z = {x^2} + {y^2} = c Leftrightarrow y = pm sqrt {c – {b^2}}
end{array}$
$begin{array}{l}
Rightarrow left{ begin{array}{l}
z = – b + sqrt {c – {b^2}i} Rightarrow Aleft
overline z = – b – sqrt {c – {b^2}i} Rightarrow Bleft
end{array} right.\
OA bot OB Rightarrow overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB} = 0 Leftrightarrow {b^2} – left
end{array}$
Câu 42: Đáp án A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức
$begin{array}{l}
{log _a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}left
{a^2} + {b^2} = {c^2}\
{log _a}frac{{fleft
end{array}$
Cách giải :
$begin{array}{l}
{log _{c + b}}a + {log _{c – b}}a = frac{1}{{{{log }_a}left
Co:,{a^2} = {c^2} – {b^2} = left
Leftrightarrow {log _a}left
Rightarrow {log _{c + b}}a + {log _{c – b}}a = frac{2}{{{{log }_a}left
end{array}$
Câu 43: Đáp án A.
Phương pháp :
Sử dụng công thức $S=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft
Cách giải :
Gọi phương trình parabol là $v=a{{t}^{2}}+bt+cleft
c = 4\
– frac{b}{{2a}} = 2\
4a + 2b + c = 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{5}{4}\
b = 5\
c = 4
end{array} right.$
$Rightarrow vleft
Khi $t=1Rightarrow v=frac{31}{4}$
$Rightarrow $ Phương trình đường thẳng:
$frac{x-1}{4-1}=frac{y-frac{31}{4}}{4-frac{31}{4}}Leftrightarrow -frac{15}{4}left
Vậy quãng đường mà vật đi được là $S=intlimits_{0}^{1}{left
Câu 44: Đáp án A.
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm, đặt ${{x}^{2}}=t$.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-3=1Leftrightarrow {{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+2m-4=0left
Để để đồ thị $left
Đặt ${{x}^{2}}=tleft
$left
t – 2 = 0\
t + 2 – m = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 2left
t = m – 2
end{array} right.$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc $left
0 < m – 2 < 9\
m – 2 ne 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 < m < 11\
m ne 4
end{array} right.$
Câu 45: Đáp án B.
Phương pháp:
Tìm các đường biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Vẽ trên trục tọa độ Oxy và biện luận.
Cách giải :
Gọi ${{z}_{1}}=x+yi$ ta có:
$begin{array}{l}
2left| {x – yi + i} right| = left| {x – yi – x – yi – 2i} right| Leftrightarrow 2left| {x – yi + i} right| = 2left| {yi + i} right|\
Leftrightarrow {x^2} + {left
Leftrightarrow {x^2} = 4y Leftrightarrow y = frac{{{x^2}}}{4}
end{array}$
$Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}}$là parabol $y=frac{{{x}^{2}}}{4}$ .
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{2}}$là đường tròn $left
$Rightarrow $ $left
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}Rightarrow left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{ON} right|=MN$.
$Rightarrow {{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}_{min }}Leftrightarrow M{{N}_{min }}$
Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{N}_{min }}Leftrightarrow MNbot $ tiếp tuyến tại M của parabol $y=frac{{{x}^{2}}}{4}$và đi qua I.
Ta có $y’=frac{x}{2}.$ Gọi $Mleft
$begin{array}{l}
Rightarrow MN ge dleft
Leftrightarrow frac{{left| {5m – 1 – frac{{{m^2}}}{4}} right|}}{{sqrt {1 + frac{{{m^2}}}{4}} }} = sqrt {{{left
Leftrightarrow frac{{{{left
end{array}$
Giải phương trình trên ra tìm được $m=4$, khi đó $IM=3sqrt{5}Rightarrow M{{N}_{min }}=3sqrt{5}-1$.
Câu 46: Đáp án D.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức
${{log }_{a}}b.{{log }_{b}}c={{log }_{a}}c,{{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c=operatorname{l}o{{g}_{a}}left
Cách giải :
$begin{array}{l}
xy = {log _7}12.{log _{12}}24 = {log _7}24\
{log _{54}}168 = frac{{a.{{log }_7}24 + 1}}{{b.{{log }_7}24 + c{{log }_7}12}} = frac{{{{log }_7}{{24}^a} + {{log }_7}7}}{{{{log }_7}{{24}^b} + {{log }_7}{{12}^c}}} = frac{{{{log }_7}left
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{7.24^a} = 168\
{24^b}{.12^c} = 54
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
{2^{3b}}{.3^b}{.2^{2c}}{.3^c} = {2.3^3}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
3b + 2c = 1\
b + c = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = – 5left
c = 8
end{array} right.\
Rightarrow S = a + 2b + 3c = 1 + 2.left
end{array}$
Câu 47: Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình.
Cách giải :
$begin{array}{l}
{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}sqrt
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left
Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left
end{array}$
Xét hàm số $fleft
$f’left
$Rightarrow operatorname{s}text{inx}=cos x+mLeftrightarrow operatorname{s}text{inx}-cos x=mLeftrightarrow sqrt{2}sin left
Để phương trình có nghiệm thực $Leftrightarrow min left
Câu 48: Đáp án
Câu 49: Đáp án D.
Phương pháp:
${{P}_{MAB}}=MA+MB+underset{con,st}{mathop{AB}},$ đạt GTNN $Leftrightarrow {{left
Cách giải :
Ta có ${{P}_{MAB}}=MA+MB+underset{con,st}{mathop{AB}},$ đạt GTNN $Leftrightarrow {{left
Ta có $MA+MBge 2sqrt{MA.MB}$, dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow Min $ mặt phẳng trung trực
Mà $Min dRightarrow M=dcap left
Gọi I là trung điểm của AB ta có $Ileft
Do $Min dRightarrow Mleft
Câu 50: Đáp án B.
Phương pháp:
Tính độ dài cung AB chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón, suy ra bán kính đáy r của hình nón.
Sử dụng công thức $h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}$suy ra độ dài đường cao của hình nón.
Sử dụng công thức tính thể tích hình nón $V=frac{1}{3}{{pi }^{2}}h$
Cách giải :
Độ dài cung AB là xR cũng chính là chu vi đáy của hình nón $Rightarrow r=frac{xR}{2pi }$
$Rightarrow h=sqrt{{{R}^{2}}-frac{{{x}^{2}}{{R}^{2}}}{4{{pi }^{2}}}}=frac{R}{2pi }sqrt{4{{pi }^{2}}-{{x}^{2}}}$
=>Thể tích của hình nón $V=frac{1}{3}pi {{left
Xét hàm số $fleft
$f’left
x = 0\
2left
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = frac{{2sqrt 6 }}{3}pi
end{array} right.$ Lập BBT ta thấy: $f{{left