|
SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN (Đề thi gồm: 50 câu, 05 trang) |
ĐỀ THI THÁNG 02/2019 BÀI THI MÔN: TOÁN Lớp 12 Ngày thi: 23/02/2019 Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề |
Câu 1.Ta có $f\left( x \right)={F}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}$.
Câu 2.Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2x-4}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{2-\frac{4}{x}}=\frac{1}{2}$.
Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-4}$ có phương trình là $y=\frac{1}{2}$.
Câu 3. Phương trình mặt cầu có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$ với điều kiện${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d\,\,>\,0$.
+ Xét đáp án A: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4z-1=0$ có $a=-1$, $b=0$, $c=2$, $d=-1$$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=6>0$. Do đó phương trình này là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án B không có${{y}^{2}}$ nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án C có $2xy$ nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
+ Xét đáp án D: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z+8=0$ có $a=-1$, $b=1$, $c=-2$, $d=8$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=-2<0$. Do đó phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 4.
Ta có phương trình: $(3+2i)z+{{(2-i)}^{2}}=4+i$ $\Leftrightarrow \left( 3+2i \right)z=-{{\left( 2-i \right)}^{2}}+4+i$$\Leftrightarrow \left( 3+2i \right)z=1+5i$ $\Leftrightarrow z=\frac{1+5i}{3+2i}\Leftrightarrow z=1+i$.
Vậy điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ có tọa độ là $M\left( 1;1 \right)$.
Câu 5.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;\,2;\,1 \right)$.
Một vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;\,-1;\,0 \right)$.
Ta có $\sin \widehat{\left( \left( P \right),d \right)}$$=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}$$=\frac{\left| -1.1+2.\left( -1 \right)+1.0 \right|}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}$$=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $\widehat{\left( \left( P \right),\,d \right)}=60{}^\circ $.
Câu 6. Ta có $\sin x=\cos x$$\Leftrightarrow \tan x=1$$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi $, ($k\in \mathbb{Z}$).
Theo đề $x\in \left[ -\pi ;\,\pi \right]$$\Leftrightarrow -\pi \le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \pi $$\Leftrightarrow -\frac{5}{4}\le k\le \frac{3}{4}$.
Mà $k\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow $$k\in \left\{ -1;\,0 \right\}$.
Vậy có $2$ nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 7.
$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.$
Dựa vào bảng trên suy ra hàm số đã cho có một điểm cực trị.
Câu 8. Ta có $\sqrt {{x^2} - 3x - 10} < x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x - 10 \ge 0\\
x - 2 > 0\\
{x^2} - 3x - 10 < {x^2} - 4x + 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 5\\
x \le - 2
\end{array} \right.\\
x > 2\\
x < 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14$
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left[ 5\ ;14 \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5\\
b = 14
\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 19$
Câu 9.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\tan x$ , $y=0\,\,$, $x=0$, $x=\frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{ta{{n}^{2}}}xdx$$=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)}dx$$=\pi \left( tanx-x \right)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}$
$=\pi \left[ \left( \tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4} \right)-\left( \tan 0 \right) \right]$$=\pi \left( 1-\frac{\pi }{4} \right)$.
Câu 10. Tác giả: Nguyễn Ngọc Lan; Fb:Ngoclan Nguyen
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;-2 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( 1;0;-2 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -2;-1;2 \right)$.
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ nên ta có $\left[ \begin{array}{l}
{d_1}{\rm{//}}\,{d_2}\\
{d_1} \equiv {d_2}
\end{array} \right.,\left( 1 \right)$
Thay tọa độ ${{M}_{1}}$ vào phương trình ${{d}_{2}}$ ta được: $\frac{1+2}{-2}=\frac{-1}{-1}=\frac{-2}{2}$, (mệnh đề sai).
Suy ra ${{M}_{1}}\notin {{d}_{2}},\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 1 \right)$, ta có ${{d}_{1}}\text{//}\,{{d}_{2}}$.
Câu 11. Ta có $z=1+2i\Rightarrow \overline{z}=1-2i$, khi đó $w=2z+\overline{z}=2\left( 1+2i \right)+\left( 1-2i \right)=3+2i$.
Phần thực của số phức $w$ là 3, phần ảo của số phức $w$ là 2.
$\Rightarrow $ Tổng phần thực và phần ảo là: $3+2=5$.
Câu 12.
Hàm số $y={{\log }_{a}}x$ có tập xác định là $\left( 0;+\infty \right)$, có tập giá trị là $\mathbb{R}$ $\Rightarrow $ C, D đúng.
Đồ thị hàm số nhận $Oy$ là tiệm cận đứng $\Rightarrow $ B đúng.
Nếu $a>1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, nếu $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ A sai.
Câu 13. Cách 1: Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
Ta có $f\left( x \right)=\left( \frac{1}{3}x-\frac{1}{3} \right).{f}'\left( x \right)-8x-2$.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ nên ${f}'\left( {{x}_{A}} \right)={f}'\left( {{x}_{B}} \right)=0$.
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
{y_A} = f\left( {{x_A}} \right) = - 8{x_A} - 2\\
{y_B} = f\left( {{x_B}} \right) = - 8{x_B} - 2
\end{array} \right.$
Do đó phương trình đường thẳng $AB$ là $y=-8x-2$.
Khi đó ta có $N\left( 1\,;\,-10 \right)$ thuộc đường thẳng $AB$. Chọn D.
Cách 2: Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$, ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$. $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3}\\
{x = - 1}
\end{array}} \right.$
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( 3\,;\,-26 \right)$ và $B\left( -1\,;\,6 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}\left( -4\,;\,32 \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{u}\left( -1\,;\,8 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $B\left( -1\,;\,6 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}\left( -1\,;\,8 \right)$ làm vecto chỉ phương là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 1 - t}\\
{y = 6 + 8t}
\end{array}\left( {t \in } \right)} \right.$
Khi đó ta có $N\left( 1\,;\,-10 \right)$ thuộc đường thẳng $AB$. Chọn D.
Câu 14. Hình lập phương: có $9\] mặt phẳng đối xứng.
Câu 15.
Hàm số xác định khi và chỉ khi: ${x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < 1
\end{array} \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left( -\infty \,;\,1 \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$.
Câu 16.
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AD\,\text{//}\,BC$.
Ta có: $\widehat{\left( BC\,,\,SA \right)}=\widehat{\left( AD\,,\,SA \right)}=\widehat{SAD}=60{}^\circ $ (Do $\Delta SAD$ đều).
Nhận xét: Đề thừa giả thiết.
Câu 17.
${{N}_{1}}$ có chiều cao ${{h}_{1}}=40\,cm$, bán kính đáy ${{r}_{1}}$, thể tích ${{V}_{1}}$ .
${{N}_{2}}$ có chiều cao $h\,$, bán kính đáy ${{r}_{2}}$, thể tích ${{V}_{2}}$ .
Cắt hình nón ${{N}_{1}}$, ${{N}_{2}}$ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện lần lượt là tam giác cân $OED$, $OFB$ (như hình vẽ)
Ta có$AB\text{//}CD$, suy ra $\frac{h}{{{h}_{1}}}=\frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}}$.
Mặt khác $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{1}{8}$$ \Leftrightarrow \frac{{\frac{1}{3}\pi r_2^2h}}{{\frac{1}{3}\pi r_1^2{h_1}}} = \frac{1}{8}$$ \Leftrightarrow \frac{{{h^3}}}{{h_1^3}} = \frac{1}{8}$$ \Leftrightarrow h = \frac{1}{2}{h_1}$$ \Leftrightarrow h = 20$
Vậy $h=20$$cm$.
Câu 18.
+) $SA\bot \left( ABCD \right)$$\Rightarrow BC\bot SA$.
+)$\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\\
BC \bot AB
\end{array} \right.$
$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot SB$.
Ta có ,$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\
SB \bot BC\\
AB \bot BC
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right)\,,\,\left( ABCD \right)} \right)$$=\left( \widehat{SB,AB} \right)$$=\widehat{SBA}$$={{60}^{\circ }}$.
Trong tam giác vuông $SAB$, ta có: $\tan {{60}^{\circ }}=\frac{SA}{AB}$$\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.\,{{S}_{ABCD}}$$=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.a.a\sqrt{3}$$={{a}^{3}}$.
Câu 19. Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}=2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.$
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=2x$ là:
$S=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2x \right|}\text{d}x$.
Nhận xét: ${{x}^{2}}-2x\le 0,\forall x\in \left[ 0;2 \right]$.
Nên $\text{S=}\int\limits_{0}^{2}{\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}$$=\left. \left( {{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}$$=4-\frac{8}{3}$$=\frac{4}{3}$.
Câu 20.
Ta có: ${{4}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2}^{{{x}^{2}}-x+1}}=3$ $\Leftrightarrow {{4}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2.2}^{{{x}^{2}}-x}}-3=0$ $\left( * \right)$.
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}$, $t>0$.
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ trở thành:${t^2} + 2t - 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 3\,
\end{array} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $t>0$, ta được $t=1$.
Với $t=1$, ta có ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.$
Vậy $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$$=1$.
Câu 21. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3\,;\,-1\,;\,-1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1\,;\,1\,;\,-1 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=6$ có tâm $I\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Do $\left\{ \begin{array}{l}
\left( P \right){\rm{//}}\,{d_1}\\
\left( P \right)\,{\rm{//}}\,{d_2}
\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{u_1}} \\
\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{u_2}}
\end{array} \right.$
. Suy ra $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}}\,,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$.
Có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}}\,,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$$=\left( 2\,;\,2\,;\,4 \right)$, nên chọn $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)$.
Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x+y+2z+d=0$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ $\Leftrightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R$ $\Leftrightarrow \frac{\left| 1+0+2.\left( -2 \right)+d \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$$ \Leftrightarrow \left| {d - 3} \right| = 6$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
d = 9\\
d = - 3
\end{array} \right.$
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề là $\left( {{P}_{1}} \right)$: $x+y+2z-3=0$ và $\left( {{P}_{2}} \right)$: $x+y+2z+9=0$.
Câu 22.
Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình trụ, ta có: $l=2r$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2\pi rl=4\pi {{r}^{2}}$.
Mặt khác theo giả thiết ${{S}_{xq}}=50\pi $. Từ đó suy ra $4\pi {{r}^{2}}=50\pi $ $\Leftrightarrow r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Vậy bán kính của đường tròn đáy $r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Câu 23. Gọi số phức $z=x+yi$, $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( x;\,y \right)$.
Theo đề bài ta có: $\left| x+yi-i \right|=\left| (1+i)\left( x+yi \right) \right|$ $\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( x-y \right)+\left( x+y \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường tròn tâm $I\left( 0\,;\,-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Câu 24.
Phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ có 2 nghiệm là ${{z}_{1}}=1+2i$, ${{z}_{2}}=1-2i$.
Vậy $P={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$$={{\left| 1+2i \right|}^{2}}+{{\left| 1-2i \right|}^{2}}$$={{\left( \sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}} \right)}^{2}}$$=10$.
Câu 25 .
Chọn mỗi tổ 2 bạn nên số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right)=C_{8}^{2}.C_{8}^{2}=784$.
Gọi $A$ là biến cố : “Có đúng 3 bạn nữ trong 4 bạn đi lao động”, khi đó
TH1: Chọn 2 nữ tổ I, 1 nữ tổ II, 1 nam tổ II có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{4}^{1}$.
TH2: Chọn 2 nữ tổ II, 1 nữ tổ I, 1 nam tổ I có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}$.
Suy ra $n\left( A \right)=C_{3}^{2}.C_{4}^{1}.C_{4}^{1}+C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}=138$.
Xác suất để chọn 4 bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ là $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{138}{784}=\frac{69}{392}$.
Câu 26.
Ta có điểm $I\left( \text{2}\,\text{;}\,\text{0}\,\text{;}\,\text{3} \right)$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.
Vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$và $\left( \beta \right)$ lần lượt là ${{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 1\,;\,\text{3}\,\text{;}-1 \right)$và ${{\vec{n}}_{\beta }}=\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)$.
Ta có $\left[ {{{\vec{n}}}_{\alpha }},{{{\vec{n}}}_{\beta }} \right]=\left( 2;-3;-7 \right)$.
Gọi $\vec{u}$ là 1 vec tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\vec u \bot {{\vec n}_\alpha }\\
\vec u \bot {{\vec n}_\beta }
\end{array} \right.$
, suy ra $\vec{u}$ cùng phương với $\left[ {{{\vec{n}}}_{\alpha }},{{{\vec{n}}}_{\beta }} \right]$. Chọn $\vec{u}=\left( -2;3;7 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng giao tuyến là: $\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{7}$ .
Câu 27: Từ đồ thị của hàm ${f}'\left( x \right)$ suy ra bảng biến thiên của hàm $f\left( x \right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 3;+\infty \right)$.
Câu 28.Ta có: ${y}'=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ .
+)$\left\{ \begin{array}{l}
y' = 0\\
- \frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 0
\end{array} \right.\\
- \frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$
+) $y\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{2}$; $y\left( 0 \right)=2$; $y\left( 2 \right)=\frac{10}{3}$.
Suy ra $M=\frac{10}{3}$.
Câu 29. Xét tích phân $\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x \right)\text{d}x}$. Đặt $t=2x\Rightarrow \text{dt}=2\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=3\Rightarrow t=6$.
Do đó:$\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{6}{f\left( t \right)\text{dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{6}{f\left( x \right)\text{d}x}=5}$.
Vậy $\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=5$.
Câu 30.
Ta có ${{6}^{x}}+4\le {{2}^{x+1}}+{{2.3}^{x}}$$\Leftrightarrow {{6}^{x}}-{{2.3}^{x}}+4-{{2}^{x+1}}\le 0$.
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-2 \right)-2\left( {{2}^{x}}-2 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2 \right)\left( {{3}^{x}}-2 \right)\le 0\,\,\,\,\left( * \right).$
Đặt $f\left( x \right)=\left( {{2}^{x}}-2 \right)\left( {{3}^{x}}-2 \right)$.
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = {\log _3}2
\end{array} \right.$
Bảng xét dấu:
Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}2\le x\le 1$. Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x=1$.
Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên.
