|
Câu |
ý |
Hướng dẫn |
|
1 (2.0đ) |
1.a (0.5đ) |
Giải phương trình: $5\left( {x + 1} \right) = 3x + 7 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = 1$ |
|
1.b (0.5đ) |
Giải phương trình: $x = 1$ Đặt $t = {x^2}(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} - t - 12 = 0 \Rightarrow {t_1} = - 3 < 0;\,\,{t_2} = 4 > 0$ Với ${t_2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Vậy phương trình có 2 nghiệm ${x_1} = 2;\,\,{x_2} = - 2$ |
|
|
2.a (0.5đ) |
Hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} Với $m = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} Vậy hệ có nghiệm $(1;2)$ |
|
|
2.b (0.5đ) |
Giải hệ đã cho theo m ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} Vậy với $\forall m$ hệ luôn có nghiệm duy nhất $(m;m + 1)$ Để hệ có nghiệm thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} + {(m + 1)^2} = 10$ $\Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 9 = 0 \Rightarrow m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {19} }}{2}$ Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn bài toán: $m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {19} }}{2}$. |
|
|
2 (1.5đ) |
a (0.5đ) |
$A = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}} = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right).\dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}$ $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}.\dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$ |
|
b (1.0đ) |
$P = A - 9\sqrt x = \frac{{ - 9x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$ Đặt $\sqrt x = t > 0 \Rightarrow 9{t^2} + (P - 1)t + 1 = 0$. Do $a.c > 0$ nên phương trình có nghiệm $t > 0$ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} Vậy giá trị lớn nhất của $P = - 5$ khi $x = \dfrac{1}{9}$ |
|
|
3 (1.0đ) |
|
Gọi vận tốc thực của chiếc thuyền là $x\,\,(km/h),\,\,(x > 4)$. Khi đó vận tốc của thuyền khi xuôi dòng từ A đến B là: $x + 4\,\,(km/h)$; ngược lại từ B về A thì thuyền đi với vận tốc là: $x - 4\,\,(km/h)$. Thời gian thuyền đi từ A đến B là $\dfrac{{24}}{{x + 4}}\,(h)$ Gọi C là vị trí thuyền và bè gặp nhau. Vì $AC = 8 \Rightarrow BC = 16$ nên thời gian thuyền từ B quay lại C là:$\dfrac{{16}}{{x - 4}}\,(h)$ Thời gian bè trôi với vận tốc dòng nước từ A đến C là $\dfrac{8}{4}\, = 2(h)$. Vì thuyền và bè gặp nhau tại C nên ta có phương trình: $\dfrac{{24}}{{x + 4}}\, + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\, = 2$ $\Leftrightarrow {x^2}\, - 20x = 0 \Rightarrow {x_1} = 0\,\,(loai);{x_2} = 20\,\,(t/m)$ Vậy vận tốc thực của chiếc thuyền là: $20\,\,(km/h)$ |
