Lời giải đề 10: Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2018 trường THPT chuyên Ngoại ngữ- Hà Nội lần 1 trang 1

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=fleft$xright$,,,y=gleft$xright$$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b,,left$a<bright$$ là $S=intlimits_{a}^{b}{left| fleft$xright$-gleft$xright$ right|dx}$

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của $P$ và $d$ là nghiệm phương trình: ${x^2} – 2x = x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 3
end{array} right..$  

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $S = intlimits_0^3 {left| {{x^2} – 3x} right|dx = intlimits_0^3 {left$3x–x^{2}right$dx = left$frac3x^{2}2–frac{x}^{3}3right$left| begin{array}{l}
^3\
_0
end{array} right. = frac{9}{2}.} } $

Câu 2: Đáp án C.

Phương pháp giải: 

Tính giới hạn khi x dần tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=fleft$xright$Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},fleft$xright$=b.$

Lời giải: Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

• $y={{x}^{3}}-x-1xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},left$x^3-x-1right$=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
• $y=frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{{{x}^{3}}}}{frac{1}{x}+frac{1}{{{x}^{3}}}}=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
• $y=frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{3+frac{2}{x}-frac{1}{{{x}^{2}}}}{4+frac{5}{{{x}^{2}}}}=frac{3}{4}Rightarrow y=frac{3}{4}$ là TCN.
• $y=sqrt{2{{x}^{2}}+3}xrightarrow{{}}underset{xto infty }{mathop{lim }},y=underset{xto infty }{mathop{lim }},sqrt{2{{x}^{2}}+3}=infty Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.

Câu 3: Đáp án D.

Phương pháp giải: Dựng hình, dựa vào tam giác cân để xác định các yếu tố vuông góc

Lời giải: Với hình chóp tam giác đều S.ABC thì: góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $ABC$ là trọng tâm tam giác ABC, hai cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Câu 4: Đáp án D.

Phương pháp giải: Dựng hình để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa a’ và b với a // a’.

Lời giải: Vì  ABCD là hình vuông  $Rightarrow ACbot BD$ mà $AC//A’C’Rightarrow A’C’bot BD.$

Câu 5: Đáp án D.

Phương pháp giải: 

+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{b}{a}.$

+) Áp dụng công thức logarit: ${{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}bc.$

Lời giải: Ta có $log _{2}^{2}x+{{log }_{2}}x=frac{17}{4}Leftrightarrow 4.{{left${log}_{2}xright$}^{2}}+4.{{log }_{2}}x-17=0$

Đặt $t={{log }_{2}}xRightarrow ptLeftrightarrow 4{{t}^{2}}+4t-17=0.$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-frac{4}{4}=-1.$

$Rightarrow {{log }_{2}}{{x}_{1}}+{{log }_{2}}{{x}_{2}}=-1Leftrightarrow {{log }_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{-1}}=frac{1}{2}.$

Câu 6: Đáp án A.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản

Lời giải:

Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit: $ln {{a}^{b}}=bln a,,ln ab=ln a+ln b,ln frac{a}{b}=ln a-ln b.$

Câu 7: Đáp án B.

Phương pháp giải: Đổi biến số hoặc bấm máy tính

Lời giải: Ta có: $I=intlimits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}dx=intlimits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}dleft$x+1right$={{e}^{x+1}}left| _{0}^{1} right.={{e}^{2}}-e.}}$

Câu 8: Đáp án C.

Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng của đồ thị để xét tính đơn điệu.

Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $left$-1;0right$$ và $left$1;+inftyright$.$

Câu 9: Đáp án A.

Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số để tính lim

Lời giải: Ta có $underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{3x-1}{x+5}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{3-frac{1}{x}}{1+frac{5}{x}}=3$ vì $underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{1}{x}=0.$

Câu 10: Đáp án C.

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh có $C_{10}^{3}$ cách $Rightarrow nleft$Omegaright$=C_{10}^{3}=120.$

Gọi  X  là biến cố trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ

Ta xét các trường hợp sau:

TH1. Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam $Rightarrow $ có $C_{7}^{2}.C_{3}^{1}=63$ cách.

TH2. Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam $Rightarrow $ có $~C_{7}^{1}.C_{3}^{2}=21$ cách.

TH3. Chọn 3 học sinh nữ và 0 học sinh nam $Rightarrow $ có $~C_{3}^{3}=1$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $nleft$Xright$=63+21+1=85.$

Vậy xác suất cần tính là $P=frac{nleft$xright$}{nleft$Omegaright$}=frac{85}{120}=frac{17}{24}.$

Câu 11: Đáp án B.

Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán kính

Lời giải: Ta có $d:left{ begin{array}{l}
x = 3 + t\
y = t\
x =  – 2 + t
end{array} right..$  

Vì $Iin dRightarrow Tleft$t+3;t;t-2right$Rightarrow overrightarrow{MI}=left$t+1;t+1;t-2right$.$

$Rightarrow IM=sqrt{{{left$t+1right$}^{2}}+{{left$t+1right$}^{2}}+{{left$t-2right$}^{2}}}=sqrt{3{{t}^{2}}+6}$

Phương trình mặt phẳng $Oxy$: $z=0.$

Khoảng cách từ tâm $Ixrightarrow{{}}mp,,left$textOxyright$$ là $dleft$I;left(textOxyright$ right)=left| t-2 right|.$

Theo bài ra, ta có $R=IM=dleft$I;textOxyright$Leftrightarrow sqrt{3{{t}^{2}}+6}=left| t-2 right|Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6={{t}^{2}}-4t+4Leftrightarrow t=-1.$

Vậy có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn bài toán. 

Câu 12: Đáp án A.

Phương pháp giải: 

Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số, điểm cực trị và tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ

Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

• Đồ thị hàm số bậc ba, có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft$xright$=+infty Rightarrow $  Hệ số $a>0.$
• Đồ thị nhận gốc tọa độ $Oleft$0;0right$$ làm tâm đối xứng $Rightarrow $  Hàm lẻ: $fleft$xright$=fleft$-xright$$

Trong 4 đáp án, có duy nhất hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ thỏa mãn 2 điều kiện trên.

Câu 13: Đáp án C.

Phương pháp giải: Lấy môđun hai vế để tìm $left| z right|,$ thế ngược lại để tìm số phức z

Lời giải: Ta có $z.left| z right|+2z+i=0Leftrightarrow left$left|zright|+2right$z=-i.$

Lấy môđun 2 vế, ta được $left$left|zright|+2right$left| z right|=left| -i right|=1.$

${{left| z right|}^{2}}+2left| z right|-1=0Leftrightarrow left| z right|=-1+sqrt{2}Rightarrow z=-frac{i}{left| z right|+2}$

$Leftrightarrow {{left| z right|}^{2}}+2left| z right|-1=0Leftrightarrow left| z right|=-1+sqrt{2}Rightarrow z=-frac{i}{left| z right|+2}$

$ Leftrightarrow z =  – frac{i}{{ – 1 + sqrt 2  + 2}} = frac{{ – i}}{{1 + sqrt 2 }} = left$1–sqrt2right$i Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 1 – sqrt 2 
end{array} right..$  

Vậy $T=a+{{b}^{2}}=0+{{left$1-sqrt2right$}^{2}}=3-2sqrt{2}.$

Câu 14: Đáp án A.

Phương pháp giải: Hoán vị của n phần tử chính là n giai thừa

Lời giải: Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là 10!. 

Câu 15: Đáp án D.

Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối chóp $V=frac{1}{3}Sh$

Lời giải: Thể tích khối chóp S.ABC là

$V=frac{1}{3}.SA.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}.SA.frac{1}{2}.AB.AC=frac{2a.3a.4a}{6}=4{{a}^{3}}.$

Câu 16: Đáp án B.

Phương pháp giải: Nguyên hàm cơ bản của hàm số lượng giác

Lời giải: Ta có $int{fleft$xright$dx=int{left$sin5x+2right$dx=-frac{1}{5}cos5x+2x+C.}}$

Câu 17: Đáp án D.

Phương pháp giải:  Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản

Lời giải:

Ta có ${{left$frac13right$}^{2x-1}}ge frac{1}{3}Leftrightarrow {{left$frac13right$}^{2x-1}}ge {{left$frac13right$}^{1}}Leftrightarrow 2x-1le 1Leftrightarrow xle 1Rightarrow S=left( -infty ;1 right].$

Câu 18: Đáp án A.

Phương pháp giải: 

Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất.

Cách 2 : Giải phương trình $y’=0$ tìm các nghiệm ${{x}_{i}}.$ 

+) Tính các giá trị $yleft$x_{i}right$;$ $yleft$aright$;$ $yleft$bright$.$

+) So sánh các giá trị trên và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+1$ trên $left$$-4;4right$$,$ có $y’ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
 – 4 le x le 4\
3{x^2} + 6x – 9 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x =  – 3
end{array} right..$  

Tính giá trị $yleft$-4right$=21;$ $yleft$-3right$=28;$ $yleft$1right$=-4;$ $yleft$4right$=77.$

Vậy $underset{left$$-4;4right$$}{mathop{min }},y=-4.$

Câu 19: Đáp án B.

Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức

Lời giải:

Ta có ${z^2} + 6z + 13 = 0 Leftrightarrow {z^2} + 6z + 9 =  – 4 Leftrightarrow {left$z+3right$^2} = {left$2iright$^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{z_1} =  – 3 – 2i\
{z_2} =  – 3 + 2i
end{array} right..$  

Vậy $omega ={{z}_{1}}+2{{z}_{2}}=-2-2i+2left$-3+2iright$=-9+2i.$

Câu 20: Đáp án C.

Phương pháp giải: Mặt phẳng $P$ có phương trình $ax+by+cz+1=0Rightarrow {{overrightarrow{n}}_{left$Pright$}}=left$a;b;cright$$

Lời giải: Vectơ pháp tuyến của $P$ là $overrightarrow{n}=left$0;1;-2right$.$

Câu 21: Đáp án D.

Phương pháp giải: Thay tọa độ điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng

Lời giải: Dễ thấy $Mleft$0;2;1right$$ không thỏa mãn phương trình $frac{x-1}{1}=frac{y}{-2}=frac{z-1}{2}.$

Câu 22: Đáp án B.

Phương pháp giải: 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=fleft$xright$,,y=gleft$xright$$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b$ $left$a<bright$$ là ${{S}_{H}}=intlimits_{a}^{b}{left| fleft$xright$-gleft$xright$ right|}dx.$

Lời giải: Diện tích hình phẳng $H$ cần tính là ${{S}_{H}}=intlimits_{a}^{b}{left| fleft$xright$-gleft$xright$ right|}dx.$

Câu 23: Đáp án A.

Phương pháp giải: 

Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ${{left$a+bright$}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}}$

Lời giải: Xét khai triển ${{left$3x^3-frac2x^{2}right$}^{5}}=sumlimits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}.{{left$3x^{3}right$}^{5-k}}.{{left$-frac2x^{2}right$}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{.3}^{5-k}}.{{left$-2right$}^{k}}.{{x}^{15-5k}}.}}$

Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ ứng với $15-5k=10Leftrightarrow k=1.$

Vậy hệ số cần tìm là $C_{5}^{1}{{.3}^{4}}.left$-2right$=-810.$

Câu 24: Đáp án B.

Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là $r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left$I;left(Pright$ right)}$

Lời giải:

Xét mặt cầu $left$Sright$:{{left$x-1right$}^{2}}+{{left$y-2right$}^{2}}+{{left$z-2right$}^{2}}=9$ có tâm $Ileft$1;2;2right$,$ bán kính $R=3.$

Khoảng cách từ tâm $Ixrightarrow{{}}mp,,left$Pright$$ là $dleft$I;left(Pright$ right)=frac{left| 2.1-1.2-2.2+1 right|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{left$-1right$}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1.$

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là $r=sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left$I;left(Pright$ right)}=2sqrt{2}.$

Câu 25: Đáp án A.

Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm điểm cực tiểu – cực tiểu của hàm số.

Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{CT}}=3Rightarrow {{y}_{CT}}=yleft$3right$=1.$

Câu 26: Đáp án B.

Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối trụ là $V=pi {{R}^{2}}h$

Lời giải: Công thức tính thể tích của khối trụ là $V=pi {{R}^{2}}h$.

Câu 27: Đáp án C.

Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình

Lời giải:

Ta có $fleft$xright$+3=0Leftrightarrow fleft$xright$=-3Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=1;,,x={{x}_{0}}.$

Câu 28: Đáp án D.

Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của d và $P$ chính là tọa độ hình chiếu.

Lời giải: VTCP của đường thẳng $d:overrightarrow{{{u}_{d}}}=left$1;-1;2right$.$

Ta có: $d:left{ begin{array}{l}
x = t\
y = 1 – t\
x =  – 1 + 2t
end{array} right..$  

Phương trình mặt phẳng $P$ đi qua M, vuông góc với d là :

$x-1-left$y-0right$+2left$z-4right$=0Leftrightarrow x-y+2z-9=0.$

Vì $Hin dRightarrow Hleft$t;1-t;2t-1right$$ mà $dcap left$Pright$=HRightarrow t-left$1-tright$+2left$2t-1right$-9=0Leftrightarrow t=2.$

Vậy $Hleft$2;-1;3right$.$

Câu 29: Đáp án D.

Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản

Lời giải:

Ta có $I=intlimits_{0}^{1}{frac{x}{sqrt{3x+1}+sqrt{2x+1}}dx=intlimits_{0}^{1}{frac{xleft$sqrt3x+1+sqrt2x+1right$}{{{left$sqrt3x+1right$}^{2}}-{{left$sqrt2x+1right$}^{2}}}dx}}$

$intlimits_{0}^{1}{frac{xleft$sqrt3x+1-sqrt2x+1right$}{3x+1-2x-1}}=intlimits_{0}^{1}{left$sqrt3x+1-sqrt2x+1right$dx.}$

$ = left$frac13.fracsqrt{left(3x+1right)}^{3}frac32–frac12.fracsqrt{left(2x+1right)}^{3}frac32right$left| begin{array}{l}
^1\
_{}\
_0
end{array} right. = left$frac29.sqrt{left(3x+1right)}^3–frac13.sqrt{left(2x+1right)}^{3}right$left| begin{array}{l}
^1\
_0
end{array} right.$

$ = frac{1}{9}left$$2sqrt{left(3x+1right)}^3–3sqrt{left(2x+1right)}^{3}right$$left| begin{array}{l}
^1\
_0
end{array} right. = frac{1}{9}left$16–9sqrt3+1right$ = frac{{17 – 9sqrt 3 }}{9} Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 17\
b =  – 9
end{array} right..$  

Vậy $T=a+b=17-8=8.$