Đáp án
|
1-A |
2-C |
3-A |
4-D |
5-D |
6-A |
7-B |
8-C |
9-A |
10-C |
|
11-B |
12-A |
13-C |
14-A |
15-D |
16-B |
17-D |
18-A |
19-B |
20-C |
|
21-D |
22-B |
23-A |
24-B |
25-A |
26-B |
27-C |
28-D |
29-D |
30-C |
|
31-B |
32-D |
33-A |
34-B |
35-B |
36-C |
37-A |
38-D |
39-A |
40-C |
|
41-B |
42-C |
43-B |
44-D |
45-A |
46-A |
47-D |
48-C |
49-A |
50-C |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A
Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f\left( x \right),\,\,y=g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b\,\,\left( a<b \right)$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: ${x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 3
\end{array} \right..$
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx = \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx = \left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
^3\\
_0
\end{array} \right. = \frac{9}{2}.} } $
Câu 2: Đáp án C.
Phương pháp giải:
Tính giới hạn khi x dần tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b.$
Lời giải: Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
- $y={{x}^{3}}-x-1\xrightarrow{{}}\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}-x-1 \right)=\infty \Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
- $y=\frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}\xrightarrow{{}}\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{3}}}}=\infty \Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
- $y=\frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}\xrightarrow{{}}\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{3}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{4+\frac{5}{{{x}^{2}}}}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{3}{4}$ là TCN.
- $y=\sqrt{2{{x}^{2}}+3}\xrightarrow{{}}\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{2{{x}^{2}}+3}=\infty \Rightarrow $ ĐTHS không có TCN.
Câu 3: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình, dựa vào tam giác cân để xác định các yếu tố vuông góc
Lời giải: Với hình chóp tam giác đều S.ABC thì: góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, hai cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Câu 4: Đáp án D.
Phương pháp giải: Dựng hình để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa a’ và b với a // a’.
Lời giải: Vì ABCD là hình vuông $\Rightarrow AC\bot BD$ mà $AC//A'C'\Rightarrow A'C'\bot BD.$
Câu 5: Đáp án D.
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}.$
+) Áp dụng công thức logarit: ${{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}bc.$
Lời giải: Ta có $\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x=\frac{17}{4}\Leftrightarrow 4.{{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+4.{{\log }_{2}}x-17=0$
Đặt $t={{\log }_{2}}x\Rightarrow pt\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4t-17=0.$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{4}{4}=-1.$
$\Rightarrow {{\log }_{2}}{{x}_{1}}+{{\log }_{2}}{{x}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{2}^{-1}}=\frac{1}{2}.$
Câu 6: Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Lời giải:
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit: $\ln {{a}^{b}}=b\ln a,\,\ln ab=\ln a+\ln b,\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b.$
Câu 7: Đáp án B.
Phương pháp giải: Đổi biến số hoặc bấm máy tính
Lời giải: Ta có: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}d\left( x+1 \right)={{e}^{x+1}}\left| _{0}^{1} \right.={{e}^{2}}-e.}}$
Câu 8: Đáp án C.
Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng của đồ thị để xét tính đơn điệu.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right).$
Câu 9: Đáp án A.
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số để tính lim
Lời giải: Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-1}{x+5}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x}}=3$ vì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0.$
Câu 10: Đáp án C.
Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản
Lời giải:
Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh có $C_{10}^{3}$ cách $\Rightarrow n\left( \Omega \right)=C_{10}^{3}=120.$
Gọi X là biến cố trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ
Ta xét các trường hợp sau:
TH1. Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam $\Rightarrow $ có $C_{7}^{2}.C_{3}^{1}=63$ cách.
TH2. Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam $\Rightarrow $ có $~C_{7}^{1}.C_{3}^{2}=21$ cách.
TH3. Chọn 3 học sinh nữ và 0 học sinh nam $\Rightarrow $ có $~C_{3}^{3}=1$ cách.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n\left( X \right)=63+21+1=85.$
Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{n\left( x \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{85}{120}=\frac{17}{24}.$
Câu 11: Đáp án B.
Phương pháp giải: Gọi tọa độ điểm, tính khoảng cách và tìm tọa độ tâm thông qua bán kính
Lời giải: Ta có $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + t\\
y = t\\
x = - 2 + t
\end{array} \right..$
Vì $I\in d\Rightarrow T\left( t+3;t;t-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( t+1;t+1;t-2 \right).$
$\Rightarrow IM=\sqrt{{{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{t}^{2}}+6}$
Phương trình mặt phẳng (Oxy): $z=0.$
Khoảng cách từ tâm $I\xrightarrow{{}}mp\,\,\left( \text{Ox}y \right)$ là $d\left( I;\left( \text{Ox}y \right) \right)=\left| t-2 \right|.$
Theo bài ra, ta có $R=IM=d\left( I;\text{Ox}y \right)\Leftrightarrow \sqrt{3{{t}^{2}}+6}=\left| t-2 \right|\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6={{t}^{2}}-4t+4\Leftrightarrow t=-1.$
Vậy có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn bài toán.
Câu 12: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số, điểm cực trị và tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
- Đồ thị hàm số bậc ba, có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \Rightarrow $ Hệ số $a>0.$
- Đồ thị nhận gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ làm tâm đối xứng $\Rightarrow $ Hàm lẻ: $f\left( x \right)=f\left( -x \right)$
Trong 4 đáp án, có duy nhất hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ thỏa mãn 2 điều kiện trên.
Câu 13: Đáp án C.
Phương pháp giải: Lấy môđun hai vế để tìm $\left| z \right|,$ thế ngược lại để tìm số phức z
Lời giải: Ta có $z.\left| z \right|+2z+i=0\Leftrightarrow \left( \left| z \right|+2 \right)z=-i.$
Lấy môđun 2 vế, ta được $\left( \left| z \right|+2 \right)\left| z \right|=\left| -i \right|=1.$
${{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right|-1=0\Leftrightarrow \left| z \right|=-1+\sqrt{2}\Rightarrow z=-\frac{i}{\left| z \right|+2}$
$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right|-1=0\Leftrightarrow \left| z \right|=-1+\sqrt{2}\Rightarrow z=-\frac{i}{\left| z \right|+2}$
$ \Leftrightarrow z = - \frac{i}{{ - 1 + \sqrt 2 + 2}} = \frac{{ - i}}{{1 + \sqrt 2 }} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 1 - \sqrt 2
\end{array} \right..$
Vậy $T=a+{{b}^{2}}=0+{{\left( 1-\sqrt{2} \right)}^{2}}=3-2\sqrt{2}.$
Câu 14: Đáp án A.
Phương pháp giải: Hoán vị của n phần tử chính là n giai thừa
Lời giải: Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là 10!.
Câu 15: Đáp án D.
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}Sh$
Lời giải: Thể tích khối chóp S.ABC là
$V=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.SA.\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{2a.3a.4a}{6}=4{{a}^{3}}.$
Câu 16: Đáp án B.
Phương pháp giải: Nguyên hàm cơ bản của hàm số lượng giác
Lời giải: Ta có $\int{f\left( x \right)dx=\int{\left( \sin 5x+2 \right)dx=-\frac{1}{5}cos5x+2x+C.}}$
Câu 17: Đáp án D.
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
Ta có ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x-1}}\ge \frac{1}{3}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x-1}}\ge {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{1}}\Leftrightarrow 2x-1\le 1\Leftrightarrow x\le 1\Rightarrow S=\left( -\infty ;1 \right].$
Câu 18: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách 2 : Giải phương trình $y'=0$ tìm các nghiệm ${{x}_{i}}.$
+) Tính các giá trị $y\left( {{x}_{i}} \right);$ $y\left( a \right);$ $y\left( b \right).$
+) So sánh các giá trị trên và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
Xét hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+1$ trên $\left[ -4;4 \right],$ có $y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4 \le x \le 4\\
3{x^2} + 6x - 9 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 3
\end{array} \right..$
Tính giá trị $y\left( -4 \right)=21;$ $y\left( -3 \right)=28;$ $y\left( 1 \right)=-4;$ $y\left( 4 \right)=77.$
Vậy $\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-4.$
Câu 19: Đáp án B.
Phương pháp giải: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm phức
Lời giải:
Ta có ${z^2} + 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow {z^2} + 6z + 9 = - 4 \Leftrightarrow {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {2i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z_1} = - 3 - 2i\\
{z_2} = - 3 + 2i
\end{array} \right..$
Vậy $\omega ={{z}_{1}}+2{{z}_{2}}=-2-2i+2\left( -3+2i \right)=-9+2i.$
Câu 20: Đáp án C.
Phương pháp giải: Mặt phẳng (P) có phương trình $ax+by+cz+1=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( a;b;c \right)$
Lời giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}=\left( 0;1;-2 \right).$
Câu 21: Đáp án D.
Phương pháp giải: Thay tọa độ điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng
Lời giải: Dễ thấy $M\left( 0;2;1 \right)$ không thỏa mãn phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{2}.$
Câu 22: Đáp án B.
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f\left( x \right),\,y=g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x=a;$ $x=b$ $\left( a<b \right)$ là ${{S}_{H}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx.$
Lời giải: Diện tích hình phẳng (H) cần tính là ${{S}_{H}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx.$
Câu 23: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}}$
Lời giải: Xét khai triển ${{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}.{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{5-k}}.{{\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{.3}^{5-k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{15-5k}}.}}$
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ ứng với $15-5k=10\Leftrightarrow k=1.$
Vậy hệ số cần tìm là $C_{5}^{1}{{.3}^{4}}.\left( -2 \right)=-810.$
Câu 24: Đáp án B.
Phương pháp giải: Công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}$
Lời giải:
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right),$ bán kính $R=3.$
Khoảng cách từ tâm $I\xrightarrow{{}}mp\,\,\left( P \right)$ là $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-1.2-2.2+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1.$
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=2\sqrt{2}.$
Câu 25: Đáp án A.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm điểm cực tiểu – cực tiểu của hàm số.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{CT}}=3\Rightarrow {{y}_{CT}}=y\left( 3 \right)=1.$
Câu 26: Đáp án B.
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h$
Lời giải: Công thức tính thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h$.
Câu 27: Đáp án C.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình
Lời giải:
Ta có $f\left( x \right)+3=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-3\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=1;\,\,x={{x}_{0}}.$
Câu 28: Đáp án D.
Phương pháp giải: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tọa độ giao điểm của d và (P) chính là tọa độ hình chiếu.
Lời giải: VTCP của đường thẳng $d:\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-1;2 \right).$
Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 - t\\
x = - 1 + 2t
\end{array} \right..$
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, vuông góc với d là :
$x-1-\left( y-0 \right)+2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow x-y+2z-9=0.$
Vì $H\in d\Rightarrow H\left( t;1-t;2t-1 \right)$ mà $d\cap \left( P \right)=H\Rightarrow t-\left( 1-t \right)+2\left( 2t-1 \right)-9=0\Leftrightarrow t=2.$
Vậy $H\left( 2;-1;3 \right).$
Câu 29: Đáp án D.
Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản
Lời giải:
Ta có $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x\left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1} \right)}{{{\left( \sqrt{3x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}}dx}}$
$\int\limits_{0}^{1}{\frac{x\left( \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1} \right)}{3x+1-2x-1}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1} \right)dx.}$
$ = \left( {\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_{}\\
_0
\end{array} \right. = \left( {\frac{2}{9}.\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right.$
$ = \frac{1}{9}\left[ {2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right]\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. = \frac{1}{9}\left( {16 - 9\sqrt 3 + 1} \right) = \frac{{17 - 9\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 17\\
b = - 9
\end{array} \right..$
Vậy $T=a+b=17-8=8.$
