Lời giải đề thi môn Toán lớp 9 trường THCS Minh Khai năm 2017-2018
Bài 1:
a. Thay $x=9$ (TMĐK) vào $A$ ta có: $A=\dfrac{9+12}{\sqrt{9}-1}=\dfrac{21}{3-1}=\dfrac{21}{2}$
Vậy $x=9$ thì $A=\dfrac{21}{2}$
b. $B = \dfrac{{3 + \sqrt x - 1}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}:\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}$
$ = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x + 1}}{1}$
$ = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$
c. Tính được $M = \dfrac{A}{B} = \dfrac{{x + 12}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{x + 12}}{{\sqrt x + 2}}$
$M = \dfrac{{x + 12}}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{x - 4 + 16}}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 + \dfrac{{16}}{{\sqrt x + 2}} = \left( {\sqrt x + 2 + \dfrac{{16}}{{\sqrt x + 2}}} \right) - 4 \ge 2\sqrt {16} - 4 = 4$
Dấu $''=''$ xảy ra$ \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = \frac{{16}}{{\sqrt x + 2}} \Leftrightarrow x = 4$(TMĐK)
Vậy min $M=4$ khi $x=4$
Bài 2:
Gọi năng suất dự định của người công nhân là x (sản phẩm/giờ) (ĐK: $x\in {{\mathbb{N}}^{*}}$)
Năng suất thực tế của người công nhân là $x+3$ (sản phẩm/giờ)
Thời gian dự định làm xong 33 sản phẩm là: $\dfrac{33}{x}$ (giờ)
Thời gian thực tế làm xong 62 sản phẩm là: $\dfrac{62}{x+3}$ (giờ)
Lập luận ra được phương trình $\dfrac{62}{x+3}-\dfrac{33}{x}=\dfrac{3}{2}$
Biến đổi về phương trình $3{{x}^{2}}-49x+198=0$
Giải phương trình được: ${{x}_{1}}=9$(TM); ${{x}_{2}}=\dfrac{22}{3}$ (loại)
Vậy năng suất dự kiến là 9 sản phẩm/giờ
Bài 3:
1. ĐK: $x\ge 3;y\ne 0$
Đặt$a = \sqrt {x - 3} (a \ge 0),b = \dfrac{1}{y}$. Hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a - b = 1}\\
{a + 2b = 5}
\end{array}} \right.$
Giải hệ được $a=1;b=2$
Suy ra: $x=4$ (TMĐK); $y=-\dfrac{3}{2}$ (TMĐK), kết luận
2.
a. Thay $m=-3$ có phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right):$${x^2} + 3x - 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = - 4}
\end{array}} \right.$
+) $x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow A\left( 1;1 \right)$
+) $x=-4\Rightarrow y=16\Rightarrow B(-4;16)$ .
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$: ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$
Ta có: $a=1\ne 0,\forall m$
$\Delta ={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}$
Để $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt$\Rightarrow $ PT có hai nghiệm phân biệt$\Rightarrow \Delta >0\Rightarrow {{(m-2)}^{2}}>0$
$\Leftrightarrow m\ne 2$
Theo đều bài: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}.$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2(m-1)-m=0$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1(TM)}\\
{m = 2(L)}
\end{array}} \right.$
Bài 4:
a. Ta có: $\widehat{AHE}=90{}^\circ $ (theo giả thiết $AB\,\bot \,MN$)
$\widehat{AKE}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{AKE}=180{}^\circ \Rightarrow $ Vậy tứ giác $AHEK$ là tứ giác nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng $180{}^\circ $)
b. Xét hai tam giác $\Delta CAE$ và $\Delta CHK$:
+ Có góc $\widehat{C}$ chung.
$+\widehat{EAC}=\widehat{EHK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EK)
Suy ra $\Delta CAE\#\Delta CHK$(g -g)
Suy ra $CA.CK=CE.CH$
Hoặc chứng minh $\Delta CKE\#\Delta CHA$ (g – g)
c) Do đường kính $AB \bot MN$ nên $B$
là điểm chính giữa cung MN
Suy ra $\widehat{MKB}=\widehat{NKB}$ (1)
Lại có $BK//NF$
Vì cùng song song với $AC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {NKB} = \widehat {KNF}\left( 2 \right)\\
\widehat {MKB} = \widehat {MFN}\left( 3 \right)
\end{array} \right.$
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{MFN}=\widehat{KNF}\Leftrightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF}.$ Vậy $\Delta KNF$cân tại $K$
d) Ta có $\widehat{AKB}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BKC}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta KEC$vuông tại $K$
Theo giả thiết ta lại có $KE=KC$nên tam giác $KEC$ vuông cân tại $K$
$\widehat{BEH}=\widehat{KEC}={{45}^{0}}\Rightarrow \widehat{OBK}={{45}^{0}}$
Mặt khác vì $\Delta OBK$cân tại $O$ (do $OB=OK=R$) nên suy ra $\Delta OBK$vuông cân tại $O$ dẫn đến $OK//MN$(cùng vuông góc với $AB$)
Bài 5:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
Với $x>0,y>0$ ta có $x+y\ge 2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}\ge \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\left( * \right)$
Dâu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
$\dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} \ge \dfrac{4}{{a + b - c + b + c - a}} = \dfrac{4}{{2b}} = \dfrac{2}{b}\left( 1 \right)$
Tương tự: $\dfrac{1}{{c + a - b}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} \ge \dfrac{2}{c}\left( 2 \right)$
$\dfrac{1}{{c + a - b}} + \dfrac{1}{{a + b - c}} \ge \dfrac{2}{a}\left( 3 \right)$
Cộng $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ vế với vế ta có:
$ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} + \dfrac{1}{{c + a - b}} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
