BẢNG ĐÁP ÁN VÀ Giải chi tiết đề THI THỬ THPTQG LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ

năm 2018 - 2019

Câu 1.     Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( \frac{x}{2}+\frac{4}{x} \right)}^{18}}$ với $x\ne 0$. 

A. ${{2}^{9}}C_{18}^{9}$.                         B. ${{2}^{11}}C_{18}^{7}$.                C. ${{2}^{8}}C_{18}^{8}$.                             D. ${{2}^{8}}C_{18}^{10}$.

Lời giải

Tác giả:Dương Chiến; Fb:DuongChien.Ls                    

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( \frac{x}{2}+\frac{4}{x} \right)}^{18}}$ là $C_{18}^{k}{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{18-k}}{{\left( \frac{4}{x} \right)}^{k}}=C_{18}^{k}{{2}^{3k-18}}.{{x}^{18-2k}}$, $(k\in \mathbb{N},0\le k\le 18)$.

Số hạng không chứa $x$ nên $18-2k=0\Leftrightarrow k=9$.

Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( \frac{x}{2}+\frac{4}{x} \right)}^{18}}$ là ${{2}^{9}}C_{18}^{9}$.

Câu 2.     Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB=2a,$$AA'=a\sqrt{3}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ theo $a.$

A. $V={{a}^{3}}$.          B. $V=3{{a}^{3}}$.                  C. $V=\frac{{{a}^{3}}}{4}$.                D. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$.

Lời giải

Tác giả:Dương Chiến; Fb:DuongChien.Ls                    

Chọn B

Do $\Delta ABC$ đều nên $B={{S}_{\Delta ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.

$h=AA'=a\sqrt{3}\Rightarrow V=B.h={{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}=3{{a}^{3}}$.

Câu 3.     Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -2019\,;2019 \right]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

A. $2007$.                      B. $2010$.                    C. $2009$.                    D. $2008$.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng;Fb: dungmanhnguyen                    

Chọn D

Xét hàm số$y=\frac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}.$

+) TXĐ: $D=\left[ 3\,;+\infty  \right)$

+)$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{m}{{{x}^{2}}}}=0.$ Do đó ĐTHS có $1$ tiệm cận ngang $y=0.$

+) Để ĐTHS có $2$ đường tiệm cận thì phải có thêm $1$ tiệm cận đứng. Vậy yêu cầu bài toán trở thành: Tìm điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ phải có $1$ nghiệm lớn hơn hoặc bằng $3.$ 

 Trường hợp $1$: Phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ phải có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<3<{{x}_{2}}.$

$\Leftrightarrow a.f(3)<0\Leftrightarrow 12-m<0\Leftrightarrow m>12.$

Trường hợp $2$: Phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ có nghiệm $x=3$ thì  $m=12.$

Với $m=12$ phương trình trở thành: ${x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x =  - 4
\end{array} \right.$ ( tmđk)

Trường hợp $3$: Phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ có nghiệm kép $x>3.$

Khi  $m = \frac{{ - 1}}{4}$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{{ - 1}}{2}.$ (không thỏa mãn)

Theo đề bài $m\in \left[ -2019;2019 \right]$,$m$ nguyên  do đó $m\in \left[ 12\,;2019 \right].$

Vậy  có $(2019-12)+1=2008$ giá trị của $m$.

Ý kiến phản biện:

Có thể nhận xét phương trình  ${{x}^{2}}+x-m=0\ \left( 1 \right)$ nếu có nghiệm thì ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$ do đó $\left( 1 \right)$ luôn có ít nhất một nghiệm âm. Vậy đk bài toán chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<0<3\le {{x}_{2}}\Leftrightarrow af\left( 3 \right)\le 0\Leftrightarrow m\ge 12.$

Câu 4 .    Cho đa thức $f(x)={{(1+3x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Tìm hệ số ${{a}_{3}}$, biết rằng ${{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+\cdots +n{{a}_{n}}=49152n$

A. ${{a}_{3}}=945$ .      B. ${{a}_{3}}=252$ .   C. ${{a}_{3}}=5670$ . D. ${{a}_{3}}=1512$ .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Trung  ; Fb: Nguyễn Thành Trung                    

Chọn D

Đạo hàm hai vế$f\left( x \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x + ...n{a_n}{x^n}\\
 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3n{.4^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2} +  \cdots  + n{a_n} = 49152n \Rightarrow {4^{n - 1}} = 16384 \Leftrightarrow n = 8
\end{array}$

Số hạng tổng quát thứ $k+1$ trong khai triển thành đa thức của ${{(1+3x)}^{8}}$ là ${{T}_{k+1}}=C_{8}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{k}}$ $\Rightarrow {{a}_{3}}=C_{8}^{3}{{3}^{3}}=1512$

Câu5.      Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình:

$\frac{1}{3}\left| {{\cos }^{3}}x \right|-3{{\cos }^{2}}x+5\left| \cos x \right|-3+2m=0$

                có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn$\left[ 0\,;\,2\pi  \right].$

A.$-\frac{3}{2}<m<-\frac{1}{3}$.          B.$\frac{1}{3}\le m<\frac{3}{2}$.            C.$\frac{1}{3}<m<\frac{3}{2}$.          D.$-\frac{3}{2}\le m\le -\frac{1}{3}$.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn

Chọn C

Đặt $\left| \cos x \right|=t\ge 0$

Phương trình: $\frac{1}{3}\left| {{\cos }^{3}}x \right|-3{{\cos }^{2}}x+5\left| \cos x \right|-3+2m=0$ có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn$\left[ 0\,;\,2\pi  \right]$

$\Leftrightarrow $PT $\frac{1}{3}{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t-3+2m=0$ có 1 nghiệm$t\in \left( 0\,;\,1 \right)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t-3=-2m$ có 1 nghiệm $t\in \left( 0\,;\,1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5t-3$ với $t\in \left( 0\,;\,1 \right)$. Ta có $f'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 5
\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy $-3<-2m<-\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{3}{2}>m>\frac{1}{3}$

Câu 6 .Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 

                                                                                              
A. Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$có hai điểm cực trị trái dấu.     

B. Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

C. Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.                                                                             

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ nằm bên trái trục tung.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Trung  ; Fb:Nguyễn Thành Trung

Chọn A

Từ đồ thị  ta có:$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{c} < 0\\
 - \frac{d}{c} < 0\\
\frac{b}{d} > 0\\
 - \frac{b}{a} > 0\\
a.d - b.c < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{c} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{d}{c} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\frac{b}{d} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
\frac{b}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\
a.d - b.c < 0\,\,\,\,\left( 5 \right)
\end{array} \right.$

1. Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$có hai điểm cực trị trái dấu

 $\Leftrightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$có hai nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow 3a.c<0\Leftrightarrow a.c<0$. Đúng với $\left( 1 \right)$

2. Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

 Sai Suy ra $d>0$Chưa đủ để kết luận $\frac{d}{c}>0$ vì ở đây $c>0$ hoặc $c<0$ ví dụ như hàm số

$y=\frac{-x-2}{-3x-5};y=\frac{x+2}{3x+5}$rõ ràng $\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}>0$.

3. Đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta {'_{y'}} > 0\\
 - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\
\frac{c}{{3a}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta {'_{y'}} > 0\\
\frac{b}{a} < 0\\
\frac{c}{a} > 0
\end{array} \right.$              

1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ nằm bên trái trục tung.

Sai vì

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của$y'' = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{b}{{3a}}$

Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên$ - \frac{b}{{3a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{b}{a} > 0$  Trái với $\left( 3 \right)$

Câu 7.     Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{2}.$ Tính khoảng cách $d$ từ tâm $O$ của đáy $ABCD$ đến một mặt bên theo $a.$

A.$d=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$           B.$d=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$                  C.$d=\frac{2a\sqrt{5}}{3}.$              D.$d=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Lời giải

Tác giả: Lê Trọng Hiếu; Fb: Hieu Le

Chọn D

Kẻ $OH\bot BC,\ OK\bot SH$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot BC\\
SO \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OK \bot BC\\
OK \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK$

Vì $OH=\frac{a}{2};SO=a\sqrt{2}\Rightarrow \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow O{{K}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow OK=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Câu 8.     Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=32.}$ Tính tích phân$J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x \right)\text{d}x.}$

A.$J=32.$                       B.$J=64.$                     C.$J=8.$                       D.$J=16.$

.Lời giải

Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

Đặt $t=2x\Rightarrow \text{d}t=2\text{d}x\Rightarrow \frac{\text{d}t}{2}=\text{d}x.$

Đổi cận : $x=0\Rightarrow t=0;\ x=2\Rightarrow t=4.$

$J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x \right)\text{d}x=}\int\limits_{0}^{4}{\frac{1}{2}f\left( t \right)\text{d}t=}\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( t \right)\text{d}t=}\frac{1}{2}I=16.$

Câu  9.    Tính tổng $T$ các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{e}^{x}}+\left( {{m}^{2}}-m \right){{e}^{-x}}=2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\frac{1}{\log e}$.

A. $T=28$.                     B. $T=20$.                   C. $T=21$.                   D. $T=27$.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Vũ  ; Fb: Hoàng Vũ                   

Chọn D

${{e}^{x}}+\left( {{m}^{2}}-m \right){{e}^{-x}}=2m$$\Leftrightarrow {{e}^{x}}+\frac{\left( {{m}^{2}}-m \right)}{{{e}^{x}}}-2m=0$(1)

Đặt $t={{e}^{x}}$,$\left( t>0 \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4m > 0}\\
{0 < m < 10}\\
{{m^2} - m > 0}\\
{{m^2} - 21m + 100 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta  > 0}\\
{0 < \frac{S}{2} < 10}\\
{P > 0}\\
{({t_1} - 10)({t_2} - 10) > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
m > 0\\
0 < m < 10
\end{array}\\
{m \in \left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right)}\\
{m \in \left( { - \infty ;\,\frac{{21 - \sqrt {41} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{21 + \sqrt {41} }}{2};\, + \infty } \right)}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta  > 0}\\
{0 < \frac{S}{2} < 10}\\
{P > 0}\\
{({t_1} - 10)({t_2} - 10) > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
m > 0\\
0 < m < 10
\end{array}\\
{m \in \left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right)}\\
{m \in \left( { - \infty ;\,\frac{{21 - \sqrt {41} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{21 + \sqrt {41} }}{2};\, + \infty } \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}$

.Câu 10. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - 2}}{{{x^2}}}\;\;\;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{khi}}\;x \ne 0}\\
{2a - \frac{5}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mkern 1mu} {\rm{khi}}\;x = 0}
\end{array}} \right.$ Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$.

                                        A. $a=-\frac{3}{4}$.    B. $a=\frac{4}{3}$.      C. $a=-\frac{4}{3}$.  D. $a=\frac{3}{4}$.

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb: Hoàng Điệp Phạm.

        Chọn D

        Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}}$

$\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 - 4}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 4}  + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4}  + 2}} = \frac{1}{4}$

$f(0) = 2a - \frac{5}{4}$

             Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)$$\Leftrightarrow 2a-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}$$\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}$.

Vậy $a=\frac{3}{4}$.

Câu 11. Tìm giá trị cực đại của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$.

                                        A. 6.                              B. 3.                              C. $-26$.         D. $-20$.

Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb: Hoàng Điệp Phạm.

        Chọn A

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x-9\Rightarrow y''=6x-6$

Gọi $x={{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\
y''\left( {{x_0}} \right) < 0
\end{array} \right..$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x_0^2 - 6{x_0} - 9 = 0\\
6{x_0} - 6 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 1\\
{x_0} = 3
\end{array} \right.\\
{x_0} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_{CD}} = y( - 1) = 6.$ 

Câu 12.   Cho mặt cầu tâm $O$ và tam giác $ABC$ có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc $\widehat{BAC}={{30}^{0}}$ và $BC=a$. Gọi $S$ là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và thỏa mãn $SA=SB=SC$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Tính thể tích $V$ của khối cầu tâm $O$ theo $a$.

A. $V=\frac{\sqrt{3}}{9}\pi {{a}^{3}}$.             B. $V=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.   C. $V=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.              D. $V=\frac{15\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.

Lời giải

Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc                   

Chọn B

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, khi đó $SH\bot \left( ABC \right)$ và $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SAH}={{60}^{0}}$.

Gọi $N$ là trung điểm $SA$, mặt phẳng trung trực của cạnh $SA$ cắt $SH$ tại $O$. Khi đó $OS=OA=OB=OC$ nên $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. 

Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $AH=\frac{BC}{2\sin {{30}^{0}}}=a.$.

$SH = AH.\tan {60^0} = a\sqrt 3 $ $SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}  = 2a$.

Bán kính mặt cầu là $R=SO=\frac{SN.SA}{SH}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.

Thể tích của khối cầu tâm $O$ là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi {{a}^{3}}$.

Câu 13 .   Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=2}$. Tính tích phân $J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)-2 \right]\text{d}x}$.

                                        A. $J=6$.                      B. $J=2$.                      C. $J=8$.        D. $J=4$.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My                  

Chọn B

Ta có  $J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)-2 \right]\text{d}x}=3\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}-2\int\limits_{0}^{2}{\text{d}x}=3.2-\left. 2x \right|_{0}^{2}=6-4=2$

Câu 14.   Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}{{\text{e}}^{ax}}\,\left( a\ne 0 \right)$, sao cho $F\left( \frac{1}{a} \right)=F\left( 0 \right)+1.$ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

                       A. $0<a\le 1$.               B. $a<-2$.                     C. $a\ge 3$.    D. $1<a<2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{ax}}\Rightarrow F\left( x \right)=\int{{{x}^{2}}{{e}^{ax}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^{ax}}dx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \dfrac{{{e^{ax}}}}{a}
\end{array} \right.$ 

$\Rightarrow F(x)={{x}^{2}}.\dfrac{{{e}^{ax}}}{a}-\dfrac{2}{a}\int{x.{{e}^{ax}}dx}+C$

Xét ${{I}_{1}}=\int{x.{{e}^{ax}}dx}.$ Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
a = x\\
db = {e^{ax}}dx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
da = dx\\
b = \dfrac{{{e^{ax}}}}{a}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = x\dfrac{{{e^{ax}}}}{a} - \dfrac{1}{a}\int {{e^{ax}}dx}  + C = x\dfrac{{{e^{ax}}}}{a} - \dfrac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}} + C$ 

$\Rightarrow F\left( x \right)={{x}^{2}}.\dfrac{{{e}^{ax}}}{a}-\dfrac{2}{a}\left( x.\dfrac{{{e}^{ax}}}{a}-\dfrac{{{e}^{ax}}}{{{a}^{2}}} \right)+C=\frac{{{x}^{2}}{{e}^{ax}}}{a}-\dfrac{2x{{e}^{ax}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2{{e}^{ax}}}{{{a}^{3}}}$

$\Rightarrow F(0)+1=\dfrac{2}{a{}^{3}}+1$ và $F\left( \dfrac{1}{a} \right)=\dfrac{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}e}{a}-\dfrac{2\frac{1}{a}e}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2e}{{{a}^{3}}}=\dfrac{e}{{{a}^{3}}}-\dfrac{2e}{{{a}^{3}}}+\dfrac{2e}{{{a}^{3}}}=\dfrac{e}{{{a}^{3}}}$

Theo bài ra ta có $\dfrac{e}{{{a}^{3}}}=\dfrac{2}{a{}^{3}}+1=\dfrac{2+{{a}^{3}}}{{{a}^{3}}}\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{e-2}\approx 0,9.$

Câu 15.   Hình bát diện đều thuộc khối đa diện đều nào sau đây?

A. $\left\{ 3;4 \right\}$.                                     B. $\left\{ 3;3 \right\}$.                                    

C. $\left\{ 5;3 \right\}$.                                     D. $\left\{ 4;3 \right\}$.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoa; Fb: Hoa Nguyễn

Chọn A

Hình bát diện đều thuộc khối đa diện đều loại $\left\{ 3;4 \right\}.$

Câu 16.   Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx$ đạt cực đại tại $x=0.$

A. $m=1$.                       B. $m=2$.                     C. $m=-2$.                   D. $m=0$.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoa; Fb: Hoa Nguyễn

Chọn D

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m,$${y}''=6x-6.$

Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx$ đạt cực đại tại $x=0$ $\Rightarrow {y}'(0)=0$$\Leftrightarrow m=0.$

Với $m=0$ ta có: ${y}''(0)=-6<0$ $\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

Câu 17.   Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực $R$.

A.$y={{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{x}}$.        B.$y={{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)$.                      C.$y={{\left( \frac{2}{e} \right)}^{x}}$.               D.$y={{\log }_{\frac{2}{3}}}x$.

Lời giải

Tác giả: PhanThanhLộc;  Fb: PhanThanhLộc

Chọn C

Vì$\frac{2}{e}<1$nên$y={{\left( \frac{2}{e} \right)}^{x}}$nghịch biến trên $R$.

Câu 18.   Gọi $l,h,r$lần lượt là đồ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh${{S}_{xq}}$của hình nón đó theo $l,h,r$.

A.${{S}_{xq}}=2\pi rl$. B.${{S}_{xq}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.                                        C.${{S}_{xq}}=\pi rh$.                                        D.${{S}_{xq}}=\pi rl$.

Lời giải

Tác giả: PhanThanhLộc;  Fb: PhanThanhLộc

Chọn D

Câu 19.   Tìm tập nghiệm$S$ của bất phương trình${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-{{x}^{2}}+3x}}<\frac{1}{4}$.

A.$S=\left[ 1\,;\,2 \right]$.                                  B.$S=\left( -\infty \,;\,1 \right)$.                          C.$S=\left( 1\,;\,2 \right)$.                                        D.$S=\left( 2\,;\,+\infty  \right)$.

Lời giải

Tác giả: Trần Mạnh Trung  ; Fb: TrungTran

Chọn C

${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-{{x}^{2}}+3x}}<\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-{{x}^{2}}+3x}}<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+3x>2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2<0\Leftrightarrow 1<x<2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left( 1\,;\,2 \right)$.

Câu 20.   Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $A{A}'=\frac{3a}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó theo a.

A. $V={{a}^{3}}\sqrt{\frac{3}{2}}$.               B. $V=\frac{2{{a}^{3}}}{3}$.                               C. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{4\sqrt{2}}$.                  D. $V={{a}^{3}}$.

Lờigiải

Tácgiả:Mai Đình Kế; Fb:Tương Lai

Chọn C