Câu 30: Đáp án D
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp lôgarit giải phương trình mũ
Lời giải: Ta có ${{2}^{\frac{1}{x}}}=3\Leftrightarrow \frac{1}{x}={{\log }_{2}}3\Leftrightarrow x=\frac{1}{{{\log }_{2}}3}={{\log }_{3}}2$
Câu 31: Đáp án D
Phương pháp giải: Lý thuyết $F\left( x \right)$là một nguyên của hàm số $f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)$
Lời giải:
Vì $F\left( x \right)$là một nguyên của hàm số $f\left( x \right)\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow F'\left( 4 \right)={{4}^{2}}=16$
Câu 32: Đáp án C
Phương pháp giải: Ta có $z=a+bi\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)}=\frac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Lời giải: Ta có $z=1+i\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{{{1}^{2}}-{{i}^{2}}}=\frac{1-i}{2}$
Câu 33: Đáp án B
Phương pháp giải: Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định điểm cực trị, cực trị của hàm số
Lời giải:
Ta có y’ đổi dấu từ + sang - khi đi qua $x=1$. Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=1$.
Câu 34: Đáp án C
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S=4\pi {{R}^{2}}$
Lời giải: Diện tích cần tính là ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{2}^{2}}=16\pi \,c{{m}^{2}}$
Câu 35: Đáp án B
Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương và đi qua trung điểm AB
Lời giải: Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$và trung điểm M của AB là $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)$
Vì $\left( P \right)\bot AB$ và $\left( P \right)$đi qua M => Phương trình $\left( P \right)$là $x-y+2z=0$
Câu 36: Đáp án B
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải: Ta có $y=\frac{\cot \,x-2}{\cot x-m}\Rightarrow y'=\left( \cot x \right)'.\frac{2-m}{{{\left( \cot x-m \right)}^{2}}}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}.\frac{2-m}{{{\left( \cot x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y'<0;\forall x\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Mà $-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}<0;\forall x\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$ suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{2-m}{{{\left( \cot x-m \right)}^{2}}}>0;\forall x\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - m > 0\\
m = \cot x \notin \left( {0;1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 \le m < 2\\
m \le 0
\end{array} \right.$
Vậy $\left[ \begin{array}{l}
1 \le m < 2\\
m \le 0
\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.
Câu 37: Đáp án A
Phương pháp giải:
Để ${{i}^{n}}$là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4
Lời giải:
Xét $n=2k,$khi đó ${{i}^{n}}={{i}^{2k}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{k}}={{\left( -1 \right)}^{k}}$là số nguyên dương khi k chẵn.
Kết hợp với $n\in \left\{ 10;11;...;99 \right\}$suy ra $\frac{k}{2}\in \left\{ 5;\frac{11}{2};...;\frac{99}{2} \right\}$và $k\in \mathbb{Z}$ là số chẵn.
Với mỗi bộ số $\left\{ 5;\frac{11}{2};...;\frac{19}{2} \right\}\to $có 2 số k thỏa mãn, $\left\{ 10;\frac{21}{2};...;\frac{29}{2} \right\}\to $có 3 số k thỏa mãn.
Vậy có tất cả $2.5+3.4=22$số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}.}$
Lời giải: Xét khai triển ${{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{40}}={{\left( \frac{1}{2}+x \right)}^{40}}=\sum\limits_{k=0}^{40}{C_{40}^{k}.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{40-k}}.{{x}^{k}}}$
Hệ số của ${{x}^{25}}$ứng với ${{x}^{k}}={{x}^{25}}\Rightarrow k=25.$Vậy ${{a}_{25}}=C_{40}^{25}.{{\left( \frac{12}{2} \right)}^{15}}=\frac{1}{{{2}^{15}}}.C_{40}^{25}$
Câu 39: Đáp án D
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích của khối tròn xoay là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$
Lời giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx}$
Câu 40: Đáp án B
Phương pháp giải:
Dựng hình, xác định góc và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính tang
Lời giải:
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AC$là hình chiếu của SC trên $\left( ABCD \right)$
Suy ra $SC;\left( ABCD \right)=\left( SC;AC \right)=SCA=\alpha \left( {{0}^{0}};{{90}^{\circ }} \right)$
Tam giác SACvuông tại A, có $\tan \,SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
Vậy tan góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng $\left( ABCD \right)$là $\frac{1}{2}$
Câu 41: Đáp án C
Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên $IA=R$ suy ra tọa độ tâm I
Lời giải:
Vì I thuộc tia Ox $\Rightarrow I\left( a;0;0 \right)\,\,\,\left( a>0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( a-1;2;-3 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+13}$
Mà A thuộc mặt cầu $\left( S \right):R=IA\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=49\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow a=7$
Vậy phương trình mặt cầu (S) là ${{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=49$
Câu 42: Đáp án B
Phương pháp giải: Quãng đường đạo hàm ra vận tốc (ứng dụng tích phân trong vật lý)
Lời giải: Ta có $v\left( t \right)=S'\left( t \right)=\left( \frac{1}{2}g{{t}^{2}} \right)=gt\Rightarrow v\left( 4 \right)=4g=39,2\,m/s$
Câu 43: Đáp án C
Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Lời giải:
Ta có $f'\left( x \right) = {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 4
\end{array} \right.$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}
x \in \left( {1;4} \right) \to f'\left( x \right) < 0\\
x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right) \to f'\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;4 \right)$và đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$và $\left( 4;+\infty \right)$
Vì $\left( 2;3 \right)\subset \left( 1;4 \right)$suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 2;3 \right)$
Câu 44: Đáp án D
Phương pháp giải: Số phức $z=a+bi$có môđun là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Lời giải: Ta có $z=-3+4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$
Câu 45: Đáp án C
Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$đến trục Ox là $d=\sqrt{y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox $\Rightarrow H\left( -2;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 0;-3;-4 \right)$
Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là $AH=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=5$
Câu 46: Đáp án B
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\Rightarrow S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của $\left( {{P}_{1}} \right),\left( {{P}_{2}} \right)$là nghiệm phương trình: $a{{x}^{2}}-4-2a{{x}^{2}}\Leftrightarrow \text{a}{{\text{x}}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2}{a}}$
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là $S=\int\limits_{-\sqrt{\frac{2}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}{\left| a\,{{x}^{2}}-2-4+2a{{x}^{2}} \right|}dx=3\int\limits_{-\sqrt{\frac{3}{a}}}^{\sqrt{\frac{3}{a}}}{\left| a\,{{x}^{2}}-2 \right|dx}$
$=3\int\limits_{-\sqrt{\frac{2}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}{\left( 2-a\,{{x}^{2}} \right)}dx=3\left. \left( 2x-\frac{a\,{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-t}^{t}=12t-2a{{t}^{3}}$với $t=\sqrt{\frac{2}{a}}\Rightarrow 12\sqrt{\frac{2}{a}}-4\sqrt{\frac{2}{a}}=16\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$
Câu 47: Đáp án A
Phương pháp giải:
Tìm không gian mẫu khi gieo súc sắc và áp dụng quy tắc đếm tìm biến cố
Lời giải:
Tung 1 con súc sắc hai lần liên tiếp => Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=6.6=36$
Gọi x, y lần lượt là số chấm xuất hiện khi tung con súc sắc trong 2 lần liên tiếp.
Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}
1 \le x,y \le 6\\
x + 1 = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {5;6} \right)} \right\}$
Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là $n=5.$Vậy $P=\frac{n\left( X \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{5}{36}$
Câu 48: Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right),y=0,x=a,x=b$
Lời giải:
Ta có $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx+}\int\limits_{b}^{c}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}$ Mà $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {a;b} \right)\\
f\left( x \right) < 0\,\,\,khi\,\,x \in \left( {b;c} \right)
\end{array} \right.$
Khi đó $S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{b}^{c}{-f\left( x \right)dx=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx-\int\limits_{b}^{c}{f\left( x \right)dx}}}}$
Câu 49: Đáp án A
Phương pháp giải:
Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn
Lời giải:
Ta có $f'\left( x \right)=-{{x}^{2}}-1<0;\forall x\in \left( a;b \right)$suy ra $f\left( x \right)$là hàm số nghịch biến trên $\left[ a;b \right]$
Mà $a<b\Rightarrow f\left( a \right)>f\left( b \right).$ Vậy $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)$
Câu 50: Đáp án C
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng, giao điểm với hai trục tọa độ của đồ thị hàm số để tìm hàm số
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
$\bullet $ Đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox => Hàm số mũ $y={{a}^{x}}$
$\bullet $ Hàm số nghịch biến trên $R\Rightarrow $Hệ số $a<1$
Vậy hàm số cần tìm là $y={{\left( 0,8 \right)}^{x}}$
