Đáp án
|
1-A |
2-A |
3-B |
4-B |
5-A |
6-B |
7-C |
8-C |
9-B |
10-D |
|
11-D |
12-B |
13-A |
14-B |
15-C |
16-C |
17-D |
18-C |
19-B |
20-A |
|
21-D |
22-B |
23-C |
24-D |
25-A |
26-C |
27-D |
28-C |
29-D |
30-C |
|
31-B |
32-B |
33-A |
34-A |
35-D |
36-B |
37-A |
38-A |
39-D |
40-A |
|
41-D |
42-C |
43-B |
44-C |
45-A |
46-B |
47-A |
48-C |
49-D |
50-D |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A.
Ta có: $y'=6{{x}^{2}}+18ax+12{{a}^{2}}=6\left( x+a \right)\left( x+2a \right).$ Để hàm số có cực trị thì $a\ne 0.$ Khi đó cực tiểu của hàm số là $x=-a$ hoặc $x=-2a.$ Xảy ra các trường hợp sau:
TH1: $\left\{ \begin{array}{l}
- a = 1\\
- 2a < 1
\end{array} \right. \Rightarrow VN$
TH2: $\left\{ \begin{array}{l}
- 2a = 1\\
- a < 1
\end{array} \right. \Rightarrow a = - \frac{1}{2}.$
Vậy $a=-\frac{1}{2}.$
Câu 2: Đáp án A.
Điều kiện: $cos5x\ne 0.$ Khi đó, phương trình đã cho $\Leftrightarrow cos3x.\frac{\sin 5x}{cos5x}=\sin 7x$ $\Leftrightarrow cos3x.\sin 5x=cos5x.\sin 7x$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right)=\frac{1}{2}\left( \sin 12x+\sin 2x \right)$ $\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
12x = 8x + k2\pi \\
12x = \pi - 8x + k2\pi
\end{array} \right..$
Câu 3: Đáp án B.
Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.;$ $y''=6x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=6>0\Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2\Rightarrow $ điểm cực tiểu $A\left( 2;-2 \right)$
Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung là: $d\left( A;Oy \right)=\frac{\left| 2 \right|}{1}=2.$
Câu 4: Đáp án B.
Do $\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{BAD}={{60}^{0}}\Rightarrow $ A’ABD là tứ diện đều.
Dựng $A'H\bot \left( ABCD \right)$ suy ra H là trọng tâm tam giác đều ABD. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD\\
BD \bot A'H
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AA'C'C} \right)$
Dựng $OK\bot AC'\Rightarrow $ OK là đoạn vuông góc chung của AC’ và BD.
Dựng CE//AH $AE=4AH=4.\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$CE=AH=\sqrt{AA{{'}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \tan \widehat{C'AH}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
Do đó $OK=OA\sin \widehat{C'AH}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$
Câu 5: Đáp án A.
Ta có: $y'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.$ Gọi $A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm, trong đó ${{x}_{0}}\ne 1,{{y}_{0}}=\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}$
Để đường thẳng $y=-2x+m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ thì $y'\left( {{x}_{0}} \right)=-2$ $ \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = - 2$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = 0
\end{array} \right.$
Với ${{x}_{0}}=2\Rightarrow {{x}_{0}}=3\Rightarrow 3=-2.2+m\Rightarrow m=7$
Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\Rightarrow -1=-2.0+m\Rightarrow m=-1.$
Câu 6: Đáp án B.
Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Thể tích hình nón nội tiếp hình chóp là: ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp là: ${{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$ $\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$
Câu 7: Đáp án C.
Bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3}+1 \right]>-x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3}+1 \right]>x\left( \sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+3}+1 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( x+2 \right)>f\left( -x \right)$
Ta có: $f'\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}+3}+1+\frac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+3}}>0$ nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Do đó $\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow x+2>-x\Leftrightarrow x>-1.$
Câu 8: Đáp án C.
Số cách lấy ngẫu nhiên 4 quả là: $C_{10}^{4}$ (cách)
Số cách lấy được 2 quả đỏ, 2 trắng là: $C_{4}^{2}.C_{7}^{2}$ (cách)
Xác suất để lấy được đúng 2 quả đỏ là: $P=\frac{C_{4}^{2}.C_{7}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{10}.$
Câu 9: Đáp án B.
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {{6}^{x+1}}-{{36}^{x}}=5\Leftrightarrow {{6.6}^{x}}-{{\left( {{6}^{x}} \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow {{\left( {{6}^{x}} \right)}^{2}}-{{6.6}^{x}}+5=0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} = 1\\
{6^x} = 5
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = {\log _6}5
\end{array} \right..$
Câu 10: Đáp án D.
Ta có: $f\left( x \right)=\operatorname{sinx}+1-2si{{n}^{2}}x.$ Đặt $t=\operatorname{sinx},t\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow g\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+t+1,t\in \left[ 0;1 \right]$
Ta có: $g'\left( t \right)=-4t+1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}.$ Mà $g\left( 0 \right)=1,g\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{9}{8},g\left( 1 \right)=0\Rightarrow Maxf\left( x \right)=\frac{9}{8}.$
Câu 11: Đáp án D.
Gọi H là trung điểm của B’C’. Khi đó $A'H\bot \left( BCC'B' \right)$
Ta có: $A'H=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Thể tích khối tứ diện A’BB’C là: $V=\frac{1}{3}A'H.{{S}_{BB'C}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}2a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}}{3}.$
Câu 12: Đáp án B.
Ta có $f'\left( x \right)={{5}^{2x+1}}\ln 5,g'\left( x \right)=\left( {{5}^{x}}+4 \right)\ln 5.$
Suy ra $f'\left( x \right) > g'\left( x \right) \Leftrightarrow {5^{2x + 1}} > {5^x} + 4 \Leftrightarrow 5{\left( {{5^x}} \right)^2} - {5^x} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{5^x} > 1\\
{5^x} < - \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow {5^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0.$
Câu 13: Đáp án A.
PT $\Leftrightarrow -\cos x+\sqrt{3}\operatorname{sinx}=-cos3x\Leftrightarrow cos3x-cosx+\sqrt{3}\operatorname{sinx}=0\Leftrightarrow -2sin2xsinx+\sqrt{3}\operatorname{sinx}=0$
$ \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \left( { - 2\sin 2x + \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\\
sin2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\\
x = \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right..$
$x \in \left[ { - \frac{{4\pi }}{3};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{{4\pi }}{3} \le {k_1}\pi < \frac{\pi }{2}\\
- \frac{{4\pi }}{3} \le \frac{\pi }{3} + {k_2}\pi < \frac{\pi }{2}\\
- \frac{{4\pi }}{3} \le \frac{\pi }{6} + {k_3}\pi < \frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{4}{3} \le {k_1} < \frac{1}{2}\\
- \frac{5}{3} \le {k_2} < \frac{1}{6}\\
- \frac{3}{2} \le {k_3} < \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} \in \left\{ { - 1;0} \right\}\\
{k_2} \in \left\{ { - 1;0} \right\}\\
{k_3} \in \left\{ { - 1;0} \right\}
\end{array} \right..$
Câu 14: Đáp án B.
Gọi $K=AC\cap BD.$ Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
Ta có: $\frac{KH}{KD}=\frac{BB'}{B'D}\Leftrightarrow \frac{KH}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow KH=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}.$
Câu 15: Đáp án C.
Ta có: $\frac{x+1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x}+1}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}}=\left( \sqrt[3]{x}+1 \right)-\left( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)=\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.$
Suy ra $P={{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{10-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{\left( {{x}^{-\frac{1}{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{\frac{20-5k}{6}}}.$
Số hạng không chứa $x\Leftrightarrow 20-5k=0\Leftrightarrow k=4\Rightarrow {{a}_{4}}=C_{10}^{4}{{\left( -1 \right)}^{4}}=210.$
Câu 16: Đáp án C.
Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right..$
Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( 0;2 \right),B\left( 2;-2 \right)\Rightarrow I\left( 1;0 \right)$ là trung điểm AB.
PT đường trung thực của AB là d’: $\left( x-1 \right)-2y=0\Leftrightarrow x-2y-1=0.$
Điểm cần tìm là $M\left( 1;0 \right)=d\cap d'.$
Câu 17: Đáp án D.
PT $\Leftrightarrow a=\left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} \right)\left( {{3}^{x}}-{{3}^{-x}} \right)\Leftrightarrow a={{9}^{x}}-{{9}^{-x}}\xrightarrow{t={{9}^{x}}}a=t-\frac{1}{t}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-at-1=0$ (1).
Dễ thấy PT (1) có tích hai nghiệm bằng $-1\Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có 1 nghiệm dương, suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a\in \mathbb{R}.$
Câu 18: Đáp án C.
Ta có $y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..$
Suy ra tọa độ ba điểm cực trị là $A\left( { - 1;3} \right),\,B\left( {1;3} \right),\,C\left( {0;4} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{C^2} = B{C^2} = 2\\
A{B^2} = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại C.
Suy ra $r=\frac{S}{P}=\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{2} \right):\left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{2} \right)=\sqrt{2}-1.$
Câu 19: Đáp án B.
Mỗi cạnh của tứ diện tạo thành 2 vecto thỏa mãn đề bài, suy ra có $6.2=12$ vecto.
Câu 20: Đáp án A.
Ta có $y'=3{{x}^{2}}+3\sqrt{3}a.$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow a<0.$
Hàm số là hàm lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ, do đó đường thẳng nối cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
Câu 21: Đáp án D.
Họi H là trung điểm của AB. Khi đó $SH\bot \left( ABCD \right)$
Thể tích khối chóp là: $V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Câu 22: Đáp án B.
Ta có $f'\left( x \right)={{2.3}^{{{\log }_{81}}x}}.\ln 3\frac{1}{x\ln 81}=\frac{{{3}^{{{\log }_{81}}x}}}{2x}\Rightarrow f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}.$
Câu 23: Đáp án C.
Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC.
Khi đó: $\left( \left( SBC \right);\left( SAC \right) \right)=\widehat{AED}$
Ta có: $AD=\frac{a}{\sqrt{2}},AE=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}},$
$\sin \widehat{AED}=\frac{AD}{AE}=\frac{AD}{AE}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \widehat{AED}={{60}^{0}}.$
Câu 24: Đáp án D.
Ta có (1) $\Leftrightarrow cos3x=1\Leftrightarrow 3x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\frac{2\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
(2) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Suy ra nghiệm chung của hai phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Câu 25: Đáp án A.
Ta có ${x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 4
\end{array} \right..$
Mặt khác $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=\infty ,\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=-\frac{1}{8}.$
Suy ra $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 26: Đáp án C.
Ta có ${{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( x\sqrt{x} \right)}^{n-k}}}{{\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{\frac{9n-11k}{6}}}}.$
Suy ra tổng các hệ số của khai triển bằng $\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=128.}$
Mặt khác ${{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{1}^{n-k}}{{.1}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}}=128\Rightarrow n=7.$
Suy ra $\frac{9n-11k}{6}=5\Leftrightarrow \frac{5.7-11k}{6}=5\Leftrightarrow k=3\Rightarrow {{a}_{3}}=C_{7}^{3}{{x}^{5}}=35{{x}^{5}}.$
Câu 27: Đáp án D.
BPT $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{4x + 6}}{x} > 0\\
\frac{{4x + 6}}{x} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 4 + \frac{6}{x} \le \Leftrightarrow - 4 < \frac{6}{x} \le - 3 \Leftrightarrow - 2 \le x < - \frac{3}{2}.$
Câu 28: Đáp án C.
Ta có $f'\left( x \right)={{e}^{-3x}}\left( 1-3x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)>0\Leftrightarrow 1-3x>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{3}.$
Câu 29: Đáp án D.
Ta có $y = 5 \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 2
\end{array} \right..$
Có $y' = 4{x^3} - 6x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y'\left( 2 \right) = 20\\
y'\left( { - 2} \right) = - 20
\end{array} \right..$
Suy ra PTTT thỏa mãn đề bài là $\left[ \begin{array}{l}
y = 20\left( {x - 2} \right) + 5\\
y = - 20\left( {x + 2} \right) + 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 20x - 35\\
y = - 20x - 35
\end{array} \right..$
