|
Câu 4 |
Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $\left( O,R \right)$. Đường tròn $\left( O,R \right)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,\,\,AB$ lần lượt tại $D,\,\,N$. Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn $\left( O,R \right)$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left( O,R \right)$ tại $I$ cắt các cạnh $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $E,\,\,F$. 1) Chứng minh tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn. 2) Chứng minh tam giác $BOE$ vuông và $EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}$. 3) Gọi ${{A}_{1}}$ là giao điểm của $AO$ với cạnh $BC$, ${{B}_{1}}$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$, ${{C}_{1}}$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$. Chứng minh: $\dfrac{AO}{A{{A}_{1}}}+\dfrac{BO}{B{{B}_{1}}}+\dfrac{CO}{C{{C}_{1}}}=2$. |
(3 đ) |
|||
|
1)
|
|
+ Vì $\left( O,R \right)$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ tại $N$, suy ra $ON\bot AB$ tại $N$, tức là $N$ nhìn đoạn $OE$ một góc ${{90}^{0}}$ (1). |
0,50 |
||
|
+ Lập luận tương tự ta cũng có $I$ nhìn đoạn $OE$ một góc ${{90}^{0}}$ (2). * Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn (đường tròn đường kính $OE)$. |
0,50 |
||||
|
2) |
+ Có $\left\{ \begin{array}{l} + Tương tự ta có $\widehat{NOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{NOI}$. |
0,25 |
|||
|
Vậy $\widehat{BOE}=\widehat{BON}+\widehat{NOE}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{DON}+\widehat{NOI} \right)=\dfrac{1}{2}\widehat{DOI}={{90}^{0}}$ nên $\Delta BOE$ vuông tại đỉnh $O$. |
0,25 |
||||
|
+ Do $\Delta BOE$ vuông tại đỉnh $O$ và có $ON$là một đường cao, suy ra $NE.NB=O{{N}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow EI.BD={{R}^{2}}$ |
0,25 |
||||
|
+ Tương tự ta có $FI.CD={{R}^{2}}$. Vậy $EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}$. |
0,25 |
||||
|
3) |
+ Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$ thì $AH\parallel OD$, dẫn đến $\dfrac{{{A}_{1}}O}{{{A}_{1}}A}=\dfrac{OD}{AH}=\dfrac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$ |
0,25 |
|||
|
+ Tương tự ta có $\dfrac{{{B}_{1}}O}{{{B}_{1}}B}=\dfrac{{{S}_{\Delta OAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}};\,\,\dfrac{{{C}_{1}}O}{{{C}_{1}}C}=\dfrac{{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}$ |
0,25 |
||||
|
+ Do $O$ là điểm thuộc miền trong $\Delta ABC$ nên ta có: $\dfrac{{{A}_{1}}O}{{{A}_{1}}A}+\,\dfrac{{{B}_{1}}O}{{{B}_{1}}B}+\dfrac{{{C}_{1}}O}{{{C}_{1}}C}=\dfrac{{{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta OAC}}+{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=1$ |
0,25 |
||||
|
$\Rightarrow 1-\dfrac{AO}{{{A}_{1}}A}+\,1-\dfrac{BO}{{{B}_{1}}B}+1-\dfrac{CO}{{{C}_{1}}C}=1$$\Rightarrow \dfrac{AO}{{{A}_{1}}A}+\,\dfrac{BO}{{{B}_{1}}B}+\dfrac{CO}{{{C}_{1}}C}=2$ |
0,25 |
||||
|
Câu 5 |
1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2) Cho $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số thực dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4$. Chứng minh rằng: $2a+b+c\le \dfrac{9}{2}.$ |
(1 đ) |
|||
|
1) |
+ Phương trình (1) tương đương với: $(x-2-y)\left[ {{(x-2)}^{2}}+(x-2)y+{{y}^{2}}+1 \right]=0$ $\Leftrightarrow y=x-2,$ vì ${{(x-2)}^{2}}+(x-2)y+{{y}^{2}}+1>0,\,\,\forall x,\forall y.$ |
0,25 |
|||
|
+ Thay $y=x-2$ vào phương trình (2), biến đổi thu được phương trình: $\,\,\left( \sqrt{3x+3}-3 \right)-\left( \sqrt{5-2x}-1 \right)-(2x-5)(x-2)=0\,\,\,\,(a)$. + Với điều kiện: $\,-1\le x\le \dfrac{5}{2}\,\,(*)$, phương trình $\,(a)$ tương đương với: $\Leftrightarrow (x-2)\left[ \dfrac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\dfrac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(5-2x) \right]=0$ $\Leftrightarrow x=2,$ do $\dfrac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\dfrac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(5-2x)>0$ với mọi $\,x$ thỏa mãn $(*)$. + Nhận thấy $x=2$ thỏa mãn $(*)$, dẫn đến $y=0$. * Vậy tất cả các nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình là: $(2;0)$. |
0,25 |
||||
|
2) |
+ Từ $a,b,c>0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc=4\,\Rightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4<0;\,4-{{b}^{2}}>0;\,4-{{c}^{2}}>0.$ + Do đó, phương trình bậc hai (ẩn a) ${{a}^{2}}+(bc)a+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-4=0$ có hai (phân biệt) nghiệm trái dấu. + Có ${{\Delta }_{a}}=(4-{{b}^{2}})(4-{{c}^{2}})$. Vì $a>0$ nên $a=\dfrac{-bc+\sqrt{(4-{{b}^{2}})(4-{{c}^{2}})}}{2}$. |
0,25
|
|||
|
+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dương $4-{{b}^{2}}$ và $4-{{c}^{2}}$ ta được: $2a\le -bc+\dfrac{(4-{{b}^{2}})+(4-{{c}^{2}})}{2}\Rightarrow 2a\le \dfrac{8-{{(b+c)}^{2}}}{2}$$\Rightarrow 2a+b+c\le \dfrac{9-{{(b+c-1)}^{2}}}{2}$$\Rightarrow 2a+b+c\le \dfrac{9}{2}$ (đpcm). |
0,25 |
||||
