Câu 4.
a) DA2 = DC.DB
Ta có $widehat{ACB}={{90}^{circ }}$
Ta có $widehat{DAB}={{90}^{circ }}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có
DA2 = DC.DB
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
Xét tứ giác AHCD có $widehat{AHD}=widehat{ACD}={{90}^{circ }}$ Þ Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 900 Þ Tứ giác AHCD nội tiếp
c. CH ^ CF
Do tứ giác AHCD nội tiếp nên $widehat{FHC}=widehat{ADC}$
Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:
$widehat{CFH}=widehat{DAC}$
$widehat{FHC}=widehat{ADC}$
DFHC ~ DADC
Mà $widehat{ACD}={{90}^{circ }}Rightarrow widehat{FCH}={{90}^{circ }}Rightarrow CHbot CF$
d) $dfrac{BH.BC}{BF}=2R$
Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có OA2 = OD.OH
Mà OA = OB = R Þ OB2 = OD.OH Þ $frac{OB}{OH}=frac{OD}{OB}$.
Xét tam giác OBH và ODB có:
$widehat{BOD}$ chung;
$frac{OB}{OH}=frac{OD}{OB}$
DOBH ~ DODB
Mà $widehat{ODB}=widehat{CAF}$
$widehat{CAF}=widehat{CBF}$
$Rightarrow widehat{OBH}=widehat{CBF}Rightarrow widehat{OBH}+widehat{HBC}=widehat{CBF}+widehat{HBC}Rightarrow widehat{OBC}=widehat{HBF}=widehat{ABC}$
Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:
$widehat{BFH}=widehat{BCA}={{90}^{circ }}$
$widehat{HBF}=widehat{ABC}$
DBFH ~ DBCA