Câu 4.
a) DA2 = DC.DB
Ta có $\widehat{ACB}={{90}^{\circ }}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Þ AC ^ BC hay AC ^ BD.
Ta có $\widehat{DAB}={{90}^{\circ }}$ (Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có
DA2 = DC.DB
b) Tứ giác AHCD nội tiếp.
Xét tứ giác AHCD có $\widehat{AHD}=\widehat{ACD}={{90}^{\circ }}$ Þ Hai đỉnh C và H kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới góc 900 Þ Tứ giác AHCD nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
c. CH ^ CF
Do tứ giác AHCD nội tiếp nên $\widehat{FHC}=\widehat{ADC}$ (cùng bù với $\widehat{AHC}$)
Xét tam giác FHC và tam giác ADC có:
$\widehat{CFH}=\widehat{DAC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
$\widehat{FHC}=\widehat{ADC}$ (cmt);
DFHC ~ DADC (g-g) Þ $\widehat{FCH}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{ACD}={{90}^{\circ }}\Rightarrow \widehat{FCH}={{90}^{\circ }}\Rightarrow CH\bot CF$
d) $\dfrac{BH.BC}{BF}=2R$
Xét tam giác vuông OAD vuông tại A có OH là đường cao ta có OA2 = OD.OH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà OA = OB = R Þ OB2 = OD.OH Þ $\frac{OB}{OH}=\frac{OD}{OB}$.
Xét tam giác OBH và ODB có:
$\widehat{BOD}$ chung;
$\frac{OB}{OH}=\frac{OD}{OB}$ (cmt);
DOBH ~ DODB (c.g.c) Þ $\widehat{OBH}=\widehat{ODB}$.
Mà $\widehat{ODB}=\widehat{CAF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCD).
$\widehat{CAF}=\widehat{CBF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF của đường tròn (O)).
$\Rightarrow \widehat{OBH}=\widehat{CBF}\Rightarrow \widehat{OBH}+\widehat{HBC}=\widehat{CBF}+\widehat{HBC}\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{HBF}=\widehat{ABC}$
Xét tam giác BHF và tam giác BAC có:
$\widehat{BFH}=\widehat{BCA}={{90}^{\circ }}$ (góc BFC nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
$\widehat{HBF}=\widehat{ABC}$ (cmt);
DBFH ~ DBCA (g-g) Þ $\frac{BF}{BC}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow \frac{BH.BC}{BF}=BA=2R.$
