Câu 1.
1. Thực hiện phép tính $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$
2. Rút gọn biểu thức P = $\left( \frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{9+x}{9-x} \right).\left( 3\sqrt{x}-x \right)$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.
Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 9.
P = $\left( \frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{9+x}{9-x} \right).\left( 3\sqrt{x}-x \right)$
= $\left( \frac{\sqrt{x}(3-\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}+\frac{9+x}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})} \right).\left( 3\sqrt{x}-x \right)$
= $\frac{9+3\sqrt{x}}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}.\left( 3\sqrt{x}-x \right)$
= $\frac{3(3+\sqrt{x})}{3+\sqrt{x}}.\sqrt{x}$
= $3\sqrt{x}$
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; –2) và B(–3; 2) nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
2a + b = - 2\\
- 3a + b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5a = - 4\\
b = 2 + 3a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{4}{5}\\
b = - \frac{2}{5}
\end{array} \right.$
Vậy ta có: $a=-\frac{4}{5}$; $b=-\frac{2}{5}$
Câu 2.
1. Giải phương trình: x2 – 4x + 4 = 0 Û (x – 2)2 = 0 Û x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.
2. Tìm giá trị của m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn |x1| + |x2| = 10
+) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi
m ≥ D’ ≥ 0 Û ( + 1)2 – 2 – 3 ≥ 0 Û 2 + 2 + 1 – m2 – 3 ≥ 0 Û 2 ≥ 2 Û 1
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1)\,\,(2) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\ \end{align} \right.\)
Từ đề bài ta có: |x1| + |x2| = 10 Û x12 + x22 + 2|x1x2| = 100 Û (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2|x1x2| = 100
Lại có x1x2 = m2 + 3 > 0 "m Þ |12| = 12 = m2 + 3.
Khi đó ta có: |x1| + |x2| = 10 Û (|x1| + |x2|)2 = 100
x12 + 2|x1x2| + x22 = 100
(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2x1x2 = 100
(x1 + x2) 2 = 100
x1 + x2 = ±10.
+) TH1: x1 + x2 = 10 kết hợp với (2) ta được: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2(m+1) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2(m+1)=10\Leftrightarrow m=4(tm)\)
+)TH2: x1+x2 = –10 kết hợp với (2) ta được: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-10 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2(m+1) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2(m+1)=-10\Leftrightarrow m=-6\)(ktm)
Vậy m = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 3.
Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi. Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36 km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32 km/h. Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là x (km/h) (x > 0)
Thời gian ô tô đi từ A đến B là: \ [\frac{156}{x}$ (giờ)
Quãng đường lúc về là: 156 – 36 = 120 (km)
Vận tốc của ô tô lúc về là: x + 32 (km/h).
Thời gian của ô tô lúc về là: $\frac{120}{x+32}$ (giờ)
Đổi: 1 giờ 45 phút = $1+\frac{45}{60}=\frac{7}{4}$ giờ.
Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{{156}}{x} - \frac{{120}}{{x + 32}} = \frac{7}{4}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 156.4.(x + 32) - 120.4.x = 7x(x + 32)\\
\Leftrightarrow 624x + 19968 - 480x = 7{x^2} + 224x\\
\Leftrightarrow 7{x^2} + 80x - 19968 = 0\\
\Leftrightarrow (x - 48)(7x + 416) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 48 = 0\\
7x + 416 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 48(tm)\\
x = - \frac{{416}}{7}(ktm)
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là 48 km/h.
