Lời giải chi tiết đề 5-trang 2

Câu 4

$1,5đ$

a)

$Delta $ = $2m–1$² – 4(m² – 1) = 5 – 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m<frac{5}{4}$

b)

Phương trình có nghiệm $Leftrightarrow mle frac{5}{4}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: (left{ begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1 \  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1 \ end{align} right.)

Theo đề bài:

={{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \  & Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m \ end{align})

Ta có hệ phương trình:(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m – 1\ {x_1} – 3{x_2} = 5 – 4m end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_1} = frac{{m + 1}}{2}\ {x_2} = frac{{3$m–1$}}{2} end{array} right.)

$beginarraylRightarrowfracm+12cdotfrac3(m–1)2=m^2–1Leftrightarrow3left(m^2–1right$ = 4left$m^2–1right$\ Leftrightarrow {m^2} – 1 = 0\ Leftrightarrow m = pm 1 end{array})

Kết hợp với điều kiện $Rightarrow m=pm 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 5

$3,5đ$

a)

Ta có: $widehat{ADB}={{90}^{0}}$ $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$

$Rightarrow widehat{ADC}={{90}^{0}}$ $kềbùvới\$widehatADB\$$

Tứ giác ACDH có $widehat{AHC}=widehat{ADC}={{90}^{0}}$

$Rightarrow $ Tứ giác ACDH nội tiếp

Tứ giác ACDH nội tiếp $Rightarrow {{widehat{A}}_{1}}={{widehat{H}}_{1}}$

Mà ${{widehat{A}}_{1}}=widehat{ABC}$ $cùngphụvớigócACB$

$Rightarrow {{widehat{H}}_{1}}=widehat{ABC}$

b)

Áp dụng hệ thức lượng vào $Delta $ vuông AOC, có:

      OA² = OH.OC$RightarrowOB2=OH.OC(vìOA=OB$ Rightarrow frac{OB}{OC}=frac{OH}{OB} Delta OHB và Delta OBC có: widehat{BOC}text{ chung ; }frac{OB}{OC}=frac{OH}{OB})

$RightarrowDeltaOHBDeltaOBC(c.g.c$)

 $DeltaOHBDeltaOBCRightarrow{widehatH}_4=widehatOBCRightarrow{widehatH}_4={widehatH}_{1}textleft(textdo{widehatH}_1=widehatABCright$ Mà {{widehat{H}}_{1}}+{{widehat{H}}_{2}}={{widehat{H}}_{3}}+{{widehat{H}}_{4}}left$={90}^{0}right$ Rightarrow {{widehat{H}}_{2}}={{widehat{H}}_{3}} )

$Rightarrow$ HM là tia phân giác của góc BHD.

c)

$Delta $HBD có HM là đường phân giác trong tại đỉnh H

Mà HC $bot $ HM

$Rightarrow $ HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, có:

Gọi N là giao điểm thứ hai của AH và $O$. \  & Rightarrow widehat{ONC}=widehat{OAC}={{90}^{0}} \ end{align})

$O$ có K là trung điểm của dây BD khác đường kính

$RightarrowOKbotBDRightarrowwidehatOKC={90}^0$

Do đó, 5 điểm A, C, N, K, O cùng thuộc đường tròn đường kính OC

Dễ chứng minh bài toán phụ: Nếu hai dây AB và CD của $O$ cắt nhau tại I thì IA.IB = IC.ID.

Áp dụng bài toán trên, ta có:

$O$ có hai dây AN và BD cắt nhau tại M nên MA.MN = MB.MD

Đường tròn đường kính OC có hai dây AN và CK cắt nhau tại M nên

MA.MN = MC.MK

Do đó MB.MD = MC.MK.

d)

 $O$ có hai dây AN và IJ cắt nhau tại M nên MA.MN = MI.MJ
$RightarrowMI.MJ=MC.MKRightarrowfracMIMK=fracMCMJRightarrowDeltaMICDeltaMKJRightarrow{widehatC}_1={widehatJ}_{1}Mà{widehatC}_1={widehatE}_{1}left(={90}^0-widehatCOEright$Rightarrow {{widehat{E}}_{1}}={{widehat{J}}_{1}})
$Rightarrow$ Tứ giác EJKM nội tiếp

$RightarrowwidehatEJM=widehatEKM={90}^0$

Gọi F là giao điểm thứ hai của CO với $O$

$RightarrowwidehatIJF={90}^0$ $gócnộitiếpchắnnửađườngtròn$

$RightarrowwidehatEJF={180}^0$

$Rightarrow$ E, J, F thẳng hàng

$Rightarrow$ OC và EJ cắt nhau tại điểm F thuộc $O$.