Câu 4. (0,75 điểm)
${{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x+{{m}^{2}}-2m=0$ có $\Delta ={{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-2m \right)=4{{m}^{2}}-12m+9-4{{m}^{2}}+8m=-4m+9$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow -4m+9>0\Leftrightarrow -4m>-9\Leftrightarrow m<\frac{9}{4}$
Áp dụng định lý Vi et ta có:\(\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-3 \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2m \\ \end{align} \right. \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=7\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=49\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=49\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=49 \)
Thay \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-3 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2m \\ \end{align} \right.\)
Ta được ${{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-2m \right)=49\Leftrightarrow -4m+9=49\Leftrightarrow m=-10$ (t/m đk)
Câu 5. ( 3 điểm)
1. Tự giải
2. Tứ giác ACHM nội tiếp $\Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {MHB}$ (cùng bù $\widehat {CHM}$)
$\Delta MAD$ ∽ $\Delta MHB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MH}} = \frac{{MD}}{{MB}} \Rightarrow MA.MB = MD.MH$
3. Dễ thấy AE và BC là hai đường cao của $\Delta DAB \Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta DAB$
$\Rightarrow AH \bot DB\left( 1 \right)$(1).
$\widehat {AEB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) $\Rightarrow AE \bot DB\left( 2 \right)$ (2)
(1) và (2) suy ra ba điểm A,H,E thẳng hàng
4. Gọi F là giao điểm của MP và NQ. Dễ thấy $MP//AE \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {FMN}$ (đồng vị). $BC//NQ \Rightarrow \widehat {HBA} = \widehat {FNM}$ (đồng vị).Lại có $AB = MN\left( {gt} \right)$ do đó $\Delta AHB = MFN\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow HB = FN$ mà $HB//FN$ suy ra tứ giác HFNB là hình bình hành $\Rightarrow HF//BN$ lại có $\Rightarrow DH \bot BN \Rightarrow DH \bot HF \Rightarrow \widehat {DHF} = {90^0}$. Do đó $\widehat {DQF} = \widehat {DHF} = \widehat {DPF} = {90^0} \Rightarrow$ 5 điểm D,Q,H,P,F cùng thuộc một đường tròn hay bốn điểm D, Q, H, P cùng thuộc một đường tròn.
