Câu 1. ( 2,25 điểm)
1. Phương trình $2{x^2} + 5x - 7 = 0$ có $a + b + c = 2 + 5 - 7 = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2} = \frac{{ - 7}}{2}$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y = 5\\
5x - 2y = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 6y = 10\\
x + 3y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
17x = 34\\
x + 3y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
2 + 3y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.$
3. ${x^4} + 9{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (vì ${x^2} + 9 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x$)
Câu 2. (2,25 điểm)
Cho hai hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}$ và $y=x-1$ có đồ thị lần lượt là (P) và (d)
1. Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
* $\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}$
|
x |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
|
y |
$\frac{9}{4}$ |
$1$ |
$\frac{1}{4}$ |
$0$ |
$\frac{1}{4}$ |
$1$ |
$\frac{9}{4}$ |
* $\left( d \right):y=x-1$
$x=0\Rightarrow y=-1\,\,\,\,\,\,\,\,A\left( 0;-1 \right)$
$x=1\Rightarrow y=0\,\,\,\,\,\,\,\,B\left( 1;0 \right)$
2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d).
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: $\frac{1}{4}{{x}^{2}}=x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4x-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=2$
Thay $x=2$ vào $y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}$ Ta được $y=\frac{1}{4}\cdot {{2}^{2}}=1$.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) là (2;1)
Câu 3. (1,75 điểm)
1. \( \begin{align} & S=\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{{{\left( \sqrt{a} \right)}^{3}}-{{1}^{3}}}{a-\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{\left( \sqrt{a}-1 \right)\left( a+\sqrt{a}+1 \right)}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}} \\ & =\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=2 \\ \end{align} \)
2. Gọi vận tốc của xe máy là $x\left( km/h \right)$. ĐK $x>0$
Vận tốc của xe ô tô là $x+20\left( km/h \right)$.
Thời gian xe máy đi từ A đến B là: $\frac{60}{x}\left( h \right)$
Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là: $\frac{60}{x+20}\left( h \right)$
Vì xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là $30\text{ph }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ t}=\frac{1}{2}\,h$ nên ta có PT
\(\begin{align} & \frac{60}{x}-\frac{60}{x+20}=\frac{1}{2}\Rightarrow 120\left( x+20 \right)-120x=x\left( x+20 \right) \\ & \Rightarrow 120x+2400-120x={{x}^{2}}+20x\Rightarrow {{x}^{2}}+20x-2400=0 \\ & \Rightarrow {{x}^{2}}+20x-2400=0 \\ & \Delta '=100+2400=2500>0\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{2500}=50 \\ \end{align}\)
Phương trình có hai nghiệm
${{x}_{1}}=-10+50=40$ (t/m đk)
${{x}_{2}}=-10-50=-60$ (không t/m đk)
Vậy vận tốc của xe máy là $40km/h$.
Vận tốc của xe ô tô là $40+20=60\left( km/h \right)$.
