|
Câu IV |
|
(3,0điểm) |
|
1 (1,0 điểm) |
|
|
|
+ Chỉ ra được $\widehat{AMH}={{90}^{0}}$ $\widehat{ANH}={{90}^{0}}$ |
0,25
0,25 |
|
|
nên M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AH. ( hoặc $\widehat{AMH}+\widehat{ANH}={{180}^{0}}$) |
0,25 |
|
|
+ Vậy tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. |
0,25 |
|
|
2 (1,0 điểm) |
+ Tứ giác AMPC có $\widehat{APC}={{90}^{0}}$ (do H là trực tâm tam giác ABC) và $\widehat{AMC}={{90}^{0}}$ |
0,25
|
|
nên tứ giác AMPC nội tiếp đường tròn đường kính AC (Hoặc hai tam giác BMC và tam giác BPA đồng dạng) |
0,25 |
|
|
Chỉ ra được $\frac{BM}{BP}=\frac{BC}{BA}$ Từ đó suy ra BM.BA = BP.BC |
0,25
0,25 |
|
|
3 (0,5 điểm) |
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH Tam giác ABC đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm $\Rightarrow AH=\frac{2}{3}\,.AP=\frac{2}{3}.\frac{AB\sqrt{3}}{2}\,\,=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\,$( hoặc tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là $R=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$) |
0,25 |
|
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng $\pi \text{.}AH\text{ = }\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$ ( Hoặc tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo công thức $2\pi R$) Kết luận : Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng $\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$ |
0,25 |
|
|
4 (0,5 điểm) |
Ta có AH.AP = AM.AB = AE2 $\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{AE}{AP}$. Hai tam giác $AHE$ và $AEP$ có $\frac{AH}{AE}=\frac{AE}{AP}$ và $\widehat{EAP}$ chung nên tam giác $AHE$ đồng dạng với tam giác $AEP$ suy ra $\widehat{AHE}=\widehat{AEP}$ (1) Tương tự, ta có: $\widehat{AHF}=\widehat{AFP}$ (2) |
0,25 |
|
Mặt khác: tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường tròn đường kính $AO$ nên năm điểm A,E,P,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$. Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên $\widehat{AEP}+\widehat{AFP}={{180}^{0}}$ (3). Từ (1),(2) và (3) $\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{AHF}=\widehat{AEP}+\widehat{AFP}={{180}^{0}}$$\Rightarrow \widehat{EHF}={{180}^{0}}$. Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng. |
0,25 |
|
|
Câu V |
|
(0,5điểm) |
|
(0,5 điểm) |
Với $x>0$, ta có: $P=9x+\frac{1}{9x}+2025-\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}$ $=\left( 9x-2+\frac{1}{9x} \right)+\left( 9-\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1} \right)+2018$ $={{\left( 3\sqrt{x}-\frac{1}{3\sqrt{x}} \right)}^{2}}+\frac{{{(3\sqrt{x}-1)}^{2}}}{x+1}+2018\ge 2018$.
|
0,25 |
|
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & 3\sqrt{x}-\frac{1}{3\sqrt{x}}=0 \\ & 3\sqrt{x}-1=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}$ ( thỏa mãn). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2018 khi $x=\frac{1}{9}.$ |
0,25 |
